第八章：二元一次方程组练习题2021-2022学年山西省七年级下学期人教版数学期末试题选编 含解析

第八章：二元一次方程组 练习题
一、单选题
1．（2022春·山西吕梁·七年级统考期末）若方程组的解满足，则等于（ ）
A． B．2021 C．2023 D．2027
2．（2022春·山西临汾·七年级统考期末）在解二元一次方程组时，我们常常采用的方法是消元法，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解．下面是甲、乙两个同学解方程组的解题思路：
甲同学：①+②，得③．③①得到一元一次方程再求解．
乙同学：②-①，得③．由③，得．再代入原方程组中的任意一个方程中，转化为一元一次方程求解．
通过阅读可知，下列对甲、乙两同学的思路判断正确的是（ ）
A．只有甲同学的思路正确 B．只有乙同学的思路正确
C．甲、乙两同学的思路都不正确 D．甲、乙两同学的思路都正确
3．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）解方程组：①②③④比较适宜的方法是（ ）
A．①②用代入法，③④用加减法 B．①③用代入法，②④用加减法
C．②③用代入法，①④用加减法 D．①④用代入法，②③用加减法
4．（2022春·山西朔州·七年级统考期末）已知二元一次方程组，如果用加减法消去n，则下列方法可行的是（　　）
A．①×4+②×5 B．①×5+②×4 C．①×5﹣②×4 D．①×4﹣②×5
5．（2022春·山西忻州·七年级统考期末）为响应国家号召，某单位积极组织员工去接种新冠疫苗．该单位共有x名员工，分y组接种疫苗，若每组60人，则只有一组缺2人；若每组50人，则余下38人根据题意，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022春·山西吕梁·七年级统考期末）在数学课上老师给了同学们一个长方体盒子和一把钢卷尺，让同学们求出课桌的高度，规定不能用钢卷尺直接测量长方体的棱长和课桌的高度．下图是小明设计的方案，若设长方体的高为，宽为，桌子的高为，则下列所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022春·山西忻州·七年级统考期末）七（1）班班长买钢笔和铅笔共30支，其中钢笔的支数比铅笔支数的2倍少3支.若设买钢笔支，铅笔支，根据题意，可得方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）被誉为“中国天眼”的500米口径球面射电望远镜，于2020年通过国家验收正式开放运行，这是南仁东教授率团队历时20多年，从追赶到建成了世界最大且最灵敏的射电望远镜．为进一步了解这一科技创举，班级计划购买《南仁东传》和中国天眼模型．若购买1本《南仁东传》和1个中国天眼模型需要860元，班级拿出2020元购买了7本《南仁东传》和2个中国天眼模型．若设每一本《南仁东传》为x元，每一个中国天眼模型y元，则可列二元一次方程组为（ ）．
A． B． C． D．
9．（2022春·山西吕梁·七年级统考期末）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．求有几个人及该物品的价格．设有x人，该物品价格为y元/件，依题意得（ ）
A． B． C． D．
10．（2022春·山西临汾·七年级统考期末）6月18日，最开始是京东的周年庆，2013年后，618就成了各大电商平台的网购节了．在618当日，小梦在某电商平台上选择了甲乙丙三种商品，当购物车内选3件甲，2件乙，1件丙时显示价格为420元；当选2件甲，3件乙，4件丙时显示价格为580元，那么购买甲、乙、丙各两件时应该付款（ ）
A．200元 B．400元 C．500元 D．600元
二、填空题
11．（2022春·山西朔州·七年级统考期末）已知是关于x，y的二元一次方程，则mn=__________．
12．（2022春·山西临汾·七年级统考期末）已知关于和的方程组的解是，则另一关于、的方程组的解是______．
13．（2022春·山西忻州·七年级统考期末）已知关于x，y的方程组和有相同的解，则的值为________．
14．（2022春·山西吕梁·七年级统考期末）如图，在3×3的网格内填写了一些数和代数式，已知各行各列及对角线上的三个数之和都相等，则的值为________．
三、解答题
15．（2022春·山西临汾·七年级统考期末）下面是王斌同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：，
由得，……第一步，
把代入，得，……第二步
整理得，……第三步
解得，即．……第四步
把代入，得，
则方程组的解为．……第五步
任务一：填空：
以上求解过程中，王斌用了______消元法；（填“代入”或“加减”）
第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；
任务二：直接写出该方程组求解后的正确结果．
16．（2022春·山西忻州·七年级统考期末）下面是小颖同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解方程组：解：①，得③………………第一步 ②－③，得，…………………第二步 ．……………第三步 将代入①，得．…………第四步 所以，原方程组的解为．……………第五步
填空：
（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做__________法；以上求解步骤中，第一步的依据是____________________；
（2）第__________步开始出现错误，具体错误是_____________________；
（3）直接写出该方程组的正确解：_____________________．
17．（2022春·山西临汾·七年级校联考期末）仔细阅读下面解方程组得方法，然后解决有关问题．
解方程组时，如果直接消元，那将时很繁琐的，若采用下面的解法，则会简单很多．
解：①－②，得，即③，
③×16，得④，
②－④，得：，
将代入③得：，
∴方程组的解为：．
(1)问题解决，请你采用上述方法解方程组
(2)延伸探究：请你采用上述方法填空：，则＝ ．
18．（2022春·山西临汾·七年级统考期末）（1）解方程：；
（2）解方程组：
19．（2022春·山西吕梁·七年级校考期末）解方程（组）．
(1)；
(2)．
20．（2022春·山西忻州·七年级统考期末）阅读材料：我们已经学过利用“代入消元法”和“加减消元法”来解二元一次方程组，通过查阅相关资料，“勤奋组”的同学们发现在解方程组：时可以采用一种“整体代入”的解法．
解：将方程②变形为4x＋2y＋y＝6，即2（2x＋y）＋y＝6③，把方程①代入方程③，得2×0＋y＝6．
所以y＝6，把y＝6代入方程①得x＝﹣3，所以方程组的解为．请你利用“整体代入”法解方程组：．
21．（2022春·山西忻州·七年级统考期末）当k为何值时，方程组的解m，n的值互为相反数？
22．（2022春·山西吕梁·七年级统考期末）疫情期间，某校分三次在某商店购买防疫物资A，B，第一次和第二次均按原价购买，第三次购买时，物资A，B同时打折且折数相等，三次购买物资A，B的数量及费用如下表：
防疫物资A的数量/个 防疫物资B的数量/个 总费用/元
第一次 5 4 740
第二次 8 2 480
第三次 10 3 544
求第三次购买物资A，B时打了几折？
23．（2022春·山西忻州·七年级统考期末）列二元一次方程组解决问题：
随着地铁2号线一期的开通，太原正式进入地铁时代．已知2号线一期采用按里程分段计价的票制，其中全程最高票价为6元，学生可享受半价．周日，八年级某班师生共36人从始发站“西桥”乘地铁至终点站“尖草坪”，感受“地铁速度”，其中学生均购半价票，单程共付车票费用126元．求他们购买全价票与半价票各多少张？
24．（2022春·山西朔州·七年级统考期末）阅读理解
（Ⅰ）我国古代很早就开始对一次方程组进行研究，其中不少成果被收录在中国古代数学著作《九章算术》中，它的方程章中就有许多关于一次方程组的内容．
下面的两幅算筹图就表示了两个二元一次方程组：
把它们写成我们现在的方程组是与．
（Ⅱ）对于二元一次方程组的解法，我们可以将，的系数和相应的常数项排成一个数表，通过运算使数表变为，即可求得的方程组的解为．用数表简化解二元一次方程组的过程如下：
所以方程组的解为．
解答下列问题：
（1）直接写出下面算筹图表示的关于，的二元一次方程组；
（2）仿照阅读材料（Ⅱ）中数表的解法格式解（1）中你写出的二元一次方程组．
25．（2022春·山西大同·七年级统考期末）阅读下列材料：
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”
译文：公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？结合你学过的知识，解决下列问题：
(1)若设公鸡有x只，母鸡有y只，
①则小鸡有______只，买小鸡一共花费______文钱；(用含x，y的式子表示)
②根据题意列出一个含有x，y的方程：______；
(2)若对“百鸡问题”增加一个条件：公鸡数量是母鸡数量的3倍，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
参考答案：
1．C
【分析】运用整体思想直接将两个方程相加可得，再结合条件即可求出k．
【详解】解：
①+②得5x+5y=5k-5，
，
∵，
∴，
∴k=2023，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是掌握用整体思想解二元一次方程组的方法．
2．D
【分析】根据解二元一次方程组的方法和步骤进行判断即可．
【详解】解：在解二元一次方程组时，甲同学运用了加减消元法，乙同学运用了代入消元法，解方程思路都正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键．
3．D
【分析】根据代入消元法和加减消元法的特性选择适宜方法，转化一元一次方程，即可解得方程组的解．
【详解】解：①中的第一个方程为，显然可用代入法；
②中的的系数互为相反数，显然用加减法；
③中的第二个方程可以乘以2得，即可用加减法进行消元；
④中的第一个方程可以转化为，即可用代入法进行消元．
①④用代入法，②③用加减法选第二个答案．
故答案选 ．
【点睛】根据代入消元法和加减消元法的定义，细心观察方程组的特点，灵活选择简便方法是解题的关键．是否熟练掌握代入消元法（即用其中一个未知数表示另一个未知数，再代入其中一个方程，转化为一元一次方程，进而求解）和加减消元法（即将其中一个未知数的系数化为相同或相反时，用加减法即可达到消元的目的，转化为一元一次方程）是解题的重点．
4．B
【分析】利用加减消元法消去n即可.
【详解】解：已知二元一次方程组，
如果用加减法消去n，则下列方法可行的是①×5+②×4，
故选：B.
【点睛】此题考查二元一次方程组的解法，解题的关键是掌握代入消元法或加减消元法，根据每个方程组的特点选择适合是解法.
5．D
【分析】根据“若每组60人，则只有一组缺2人；若每组50人，则余下38人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】解：∵若每组60人，则只有一组缺2人，
∴60y＝x+2；
∵若每组50人，则余下38人，
∴50y＝x﹣38．
∴根据题意，可列方程组为．
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．D
【分析】根据题意可知课桌的高+长方体的高-长方体的宽=100，课桌的高+长方体的宽-长方体的长=60，结合等量关系列出方程组即可．
【详解】根据题意，得
.
故选：D．
【点睛】本题主要考查了列二元一次方程组，确定等量关系是解题的关键．
7．D
【详解】试题解析：设钢笔x只，铅笔y只，根据题意得：
故选D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是从题目中找到两个等量关系并列出方程组．
8．A
【分析】设每一本《南仁东传》为x元，每一个中国天眼模型y元，根据两种买法各列一个方程组成方程组即可．
【详解】解：设每一本《南仁东传》为x元，每一个中国天眼模型y元，由题意得：
，
故选A．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，仔细审题，找出题目的已知量和未知量，设两个未知数，并找出两个能代表题目数量关系的等量关系，然后列出方程组求解即可．
9．B
【分析】设有x人，该物品价格为y元/件，根据等量关系，列出方程组，即可．
【详解】根据题意得：，
故选B
【点睛】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，找到等量关系“每人出8元，多3元；每人出7元，少4元”，列出方程组，是解题的关键．
10．B
【分析】设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，由题意可得方程组，用①+②可得，即可求得答案．
【详解】解：设甲、乙、丙三种商品的单价分别为x元、y元、z元，
由题意可得方程组，
①+②可得，
∴，
故购买甲、乙、丙各两件时应该付款400元；
故选：B．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用，分析题意列出方程组是解题的关键．
11．0
【分析】根据二元一次方程的定义得出2m+1=1，n-3=1，求出m，n再代入求出mn即可．
【详解】解：∵是关于x、y的二元一次方程，
∴2m+1=1，n-3=1，
∴m=0，n=4
∴mn=0×4=0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，能熟记二元一次方程的定义的内容是解此题的关键．
12．
【分析】由题意可得 即可求方程组的解．
【详解】解：方程组 的解是
解得
故答案为：
【点睛】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，用整体思想解题是关键．
13．1
【分析】求出第一个方程组的解即可，然后将第一个方程组的解代入第二个方程组求出a、b的值，再代入求出即可．
【详解】解：∵方程组
①+②得：7x=14，
解得：x=2，
将x=2代入①得：y=3，
方程组的解为，
∴它们的相同的解是；
把代入方程组，
得：，
解得：，
∴.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组和求代数式的值等知识点，能求出两方程组的相同的解是解此题的关键．
14．0
【分析】根据“各行各列及对角线上的三个数之和都相等”可列出相应的一元一次方程式组，解出x和y的值，进而求出m的值．
【详解】解：根据题意得：
，
解得： ，
各行各列及对角线上的三个数之和为：4×1﹣3+2＝3，
2+y+m＝3，
即2+1+m＝3，
解得m＝0．
故答案为：0．
【点睛】本题考查了二元一次方程组，读懂题意，找出等量关系，并据此列出方程组是解题的关键．
15．代入 ，三 ，去括号错误 ；
【分析】任务一：用代入消元法解方程组；注意去括号变号；
任务二：用代入消元法解二元一次方程组即可．
【详解】解：任务一：方程组用代入消元法解方程组，
故答案为：代入；
第三步出现错误，去括号时没有变号，
故答案为：三，去括号错误；
任务二： ，
由得 ，
把代入，得，
整理得，
解得，即，
把代入，得，
则方程组的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．
16．（1）加减消元；等式的性质；（2）二；②-③的计算中，合并同类项计算错误，结果应该是；（3）
【分析】（1）根据加减消元法解二元一次方程组的步骤进行解答；
（2）根据整式的加减法则进行解答；
（3）按照加减消元法解二元一次方程组的步骤进行计算求解
【详解】解：（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，在以上求解步骤中，第一步的计算依据的是等式的性质，将等式左右两边同时乘4，等式仍然成立；
故答案为：加减消元；等式的性质
（2）题目中的解答过程从第二步开始出现错误，具体错误是，②-③的计算中，合并同类项计算错误，结果应该是
故答案为：二；②-③的计算中，合并同类项计算错误，结果应该是
（3）
解：①，得③
②－③，得
将代入①，得
所以，原方程组的解为
故答案为：．
【点睛】本题考查加减消元法解二元一次方程组，掌握解方程组的步骤和计算法则正确计算是解题关键．
17．(1)
(2)1
【分析】（1）先把两式相减得出x+y的值，再把x+y的值与2011相乘，再用加减消元法求出x的值，再代入方程求出y的值即可；
（2）先把两式相减得出（a﹣b）x+（a﹣b）y＝a﹣b的值，由a－b≠0，得到x＋y＝1，再用加减消元法求出y的值，再代入方程求出x的值即可．
【详解】（1）解：，
① ②，得：2x＋2y＝2，即x＋y＝1③，
③×2011，得：2011x＋2011y＝2011④，．
② ④，得：x＝ 1，．
将x＝ 1代入③得：y＝2，
∴方程组的解为：；
（2）解：，
①－②，得：（a－b）x＋（a－b）y＝a－b，
∵ a≠b，
∴a－b≠0，
∴x＋y＝1③，
③×（b＋2），得：（b＋2）x＋（b＋2）y＝b＋2④，
④－②，得：y＝2，
把y＝2代入③得：x＋2＝1，
解得：x＝﹣1，
∴方程组的解为：，
∴x＋y＝1．
故答案为：1
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解答此题的关键．
18．（1）；（2）；
【分析】（1）先去括号，然后移项合并，系数化为1，即可求出答案；
（2）利用加减消元法解方程组，即可得到答案．
【详解】解：（1）
去括号，得，
移项合并，得，
系数化为1，得；
（2），
由①5+②，得，
解得，
把代入①，解得，
∴方程组的解为；
【点睛】本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握运算法则进行计算．
19．(1)
(2)
【分析】（1）先去分母，再去括号、移项、合并同类项、系数化为1求出方程的解；
（2）运用加减消元法解此题．
（1）
解： ，
去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
系数化为，得．
（2）
①，得③；
②，得④．
④③，得．
．
将代入，得．
．
这个方程组的解为．
【点睛】本题主要考查解一元一次方程、解二元一次方程组，熟练掌握一元一次方程的解法、二元一次方程组的解法是解决本题的关键．
20．
【分析】把2x﹣y＝5变形为x＋（5x﹣y）＝15，再用整体代换的方法解题即可．
【详解】解：，
将方程②变形为﹣x＋6x﹣3y＝20，即﹣x＋3（2x﹣y）＝20③，
把方程①代入方程③，得﹣x＋15＝20．
所以x＝﹣5．
把x＝﹣5代入方程①得y＝﹣15，
所以方程组的解为．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解法，采用了阅读材料的形式，用“整体代换”的解法使复杂的二元一次方程组变得简单．
21．．
【分析】首先根据方程组表示出的值，然后由m，n的值互为相反数即可求出k的值．
【详解】解：
得：，即，
∵m，n的值互为相反数，
∴，即，
解得：．
【点睛】此题考查了二元一次方程组含参数问题，解题的关键是根据题意表示出的值．
22．八折
【分析】设防疫物资A的单价为元，B的单价为元，利用总价=单价×数量，结合前两次购买的数量以及总价，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再设第三次购买物资打了m折，根据原价×=实际价格，列出方程即可求出第三次购买物资的折扣．
【详解】解：设防疫物资A的单价为元，B的单价为元，
根据题意可得：
解得：
设第三次购买时打了折，
则：
解得：
答：第三次购买时打了八折．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次方程组的实际应用，能够找准等量关系是解决本题的关键．
23．全价票6张，半价票30张
【分析】设他们购买全价票x张，半价票y张，根据他们共购买36张票且共花费126元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设他们购买全价票x张，半价票y张，
依题意得：，解得：．
答：他们购买全价票6张，半价票30张．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
24．（1）；（2）
【分析】（1）观察图形，列出关于x、y的二元一次方程组即可；
（2）仿照阅读材料中数表的解法格式解二元一次方程组即可．
【详解】（1）第一个方程x的系数为2，y的系数为1，相加的结果为13；第二个方程x的系数为2，y的系数为3，相加的结果为19，
所以可列方程为：；
（2）解：
所以方程的解为．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，观察图形，读懂题意，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
25．(1)①(100-x-y)，(100-x-y)；②5x+3y+(100-x-y)=100；(2)公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只．
【分析】（1）①根据小鸡数量=100-公鸡数量+母鸡数量、小鸡每三只值一文钱可得；②根据“公鸡数量+母鸡数量+小鸡数量=100”可得答案；
（2）根据“公鸡数量+母鸡数量+小鸡数量=100、公鸡数量=母鸡数量×3”列方程组求解可得．
【详解】(1)若设公鸡有x只，母鸡有y只，
①则小鸡有(100-x-y)只，买小鸡一共花费(100-x-y)文钱；
②根据题意列出一个含有x，y的方程：5x+3y+(100-x-y)=100；
故答案为①100-x-y、(100-x-y)；
②5x+3y+(100-x-y)=100；
(2)设公鸡有x只，母鸡有y只．
根据题意，得： ,
解得 ，
100-x-y=100-12-4=84(只)．
答：公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只．
【点睛】本题主要考查二元一次方程方程组的应用问题，关键在于设合适的变量.