冀教版九年级数学上册第24章一元二次方程单元综合测试题 （含解析）

冀教版九年级数学上册《第24章一元二次方程》单元综合测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x+＝2 C．2（x﹣1）2＝4 D．x3+x＝1
2．用配方法解方程3x2﹣6x+2＝0，则方程可变形为（　　）
A．（x﹣3）2＝ B．3（x﹣1）2＝ C．（3x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝
3．关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣ B．k≤﹣ C．k＞﹣且k≠0 D．k≥﹣且k≠0
4．关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0的两实数根分别为x1、x2，且x1+3x2＝4，则m的值为（　　）
A． B． C． D．3
5．若关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0有一根小于1，一根大于1，则k的取值范围是（　　）
A．k≠1 B．k＜0 C．k＜﹣1 D．k＞0
6．已知a，b是方程x2+2019x+1＝0两个根，则（1+2021a+a2）（1+2021b+b2）的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．有1人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，设每轮传染中每人传染x人，其中20%的人因自身抵抗力强而未患流感，则根据题意可列方程为（　　）
A．0.2（1+x）2＝81 B．（1+0.2x）2＝81
C．0.8（1+x）2＝81 D．（1+0.8x）2＝81
8．如图，把一块长为20cm，宽为15cm的矩形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体纸盒．若该无盖纸盒的底面积为150cm2，设剪去的小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）
A．（20﹣2x）（15﹣x）＝150 B．（20﹣x）（15﹣2x）＝150
C．（20﹣x）（15﹣x）＝150 D．（20﹣2x）（15﹣2x）＝150
二．填空题（共10小题，满分40分）
9．已知关于x的方程（m﹣1）x+2x﹣3＝0是一元二次方程，则m的值为　 　．
10．若关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+2x+a2﹣4＝0有一个根为0，则a的值为 　 　．
11．已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣4＝0的两根，则+＝　 　．
12．已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，则这个等腰三角形的周长为　 　．
13．已知α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，则代数式（α﹣2021）（β﹣2021）＝　 　．
14．已知菱形ABCD的一条对角线的长为4，边AB的长是x2﹣5x+6＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为　 　．
15．一元二次方程4x（x﹣2）＝x﹣2的解为　 　．
16．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是　 　．
17．已知x为实数，若（x2+3x）2+2（x2+3x）﹣3＝0，则x2+3x＝　 　．
18．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个各队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？若设应邀请x各队参赛，可列出的方程为　 　．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．解方程
（1）（x+2）2﹣25＝0（直接开平方法）
（2）4x2﹣3x﹣1＝0（用配方法）
（3）2x2﹣7x+3＝0（公式法）
（4）（x2﹣3）2﹣3（3﹣x2）+2＝0．
20．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若两实数根分别为x1和x2，且，求m的值．
21．阅读材料题：
我们知道a2≥0，所以代数式a2的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用a2±2ab+b2＝（a±b）2来求一些多项式的最小值．
例如，求x2+6x+3的最小值问题．
解：∵x2+6x+3＝x2+6x+9﹣6＝（x+3）2﹣6，
又∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2﹣6≥﹣6，
∴x2+6x+3的最小值为﹣6．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
（1）探究：x2﹣4x+5＝（x﹣　 　）2+　 　；
（2）代数式x2+x有最 　 　（填“大”或“小”）值为 　 　；
（3）应用：若A＝x2﹣1与B＝2x﹣3，试比较A与B的大小；
22．如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．
（1）设花圃的一边AB长为x米，请你用含x的代数式表示另一边AD的长为　 　米；
（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的长与宽．
23．建设美丽城市，改造老旧小区．某市2019年投入资金1000万元，2021年投入资金1440万元，现假定每年投入资金的增长率相同．
（1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率；
（2）2021年老旧小区改造的平均费用为每个80万元．2022年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加15%．如果投入资金年增长率保持不变，求该市在2022年最多可以改造多少个老旧小区？
24．某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）设每件童装降价x元时，每天可销售 　 　件；（用x的代数式表示）
（2）每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元；
（3）平均每天盈利有可能1600元吗？请说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分32分）
1．解：A、因为a可能为0，所以不一定是一元二次方程，故此选项错误；
B、因为含有分式，所以不是一元二次方程，故此选项错误；
C、因为符合一元二次方程的定义，所以是一元二次方程，故此选项正确；
D、因为最高是三次，所以不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：C．
2．解：移项得3x2﹣6x＝﹣2，
二次系数化为1得x2﹣2x＝﹣，
方程两边加上1得x2﹣2x+1＝﹣+1，
所以（x﹣1）2＝．
故选：D．
3．解：①当k＝0时，3x﹣1＝0，
解得x＝；
②当k≠0时，此方程是一元二次方程，
∵关于x的方程kx2+3x﹣1＝0有实数根，
∴Δ＝32﹣4×（﹣1）k≥0，解得k≥﹣；
由①②得，k的取值范围是k≥﹣．
故选：A．
4．解：∵x1、x2是一元二次方程x2﹣3x+m＝0的解，
∴x1+x2＝3．
∵x1+3x2＝4，即3+2x2＝4，
∴x2＝．
将x2＝代入原方程，得：﹣+m＝0，
∴m＝．
故选：A．
5．解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一根小于1，一根大于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
故选：B．
6．解：∵a，b是方程x2+2019x+1＝0的两个根，
∴a2+2019a+1＝0，b2+2019b+1＝0，
∴a2＝﹣2019a﹣1，b2＝﹣2019b﹣1，
∴（1+2021a+a2）（1+2021b+b2）＝（1+2021﹣2019a﹣1）（1+2021b﹣2019b﹣1）
＝2a×2b
＝4ab，
∵a，b是方程x2+2019x+1＝0的两个根，
∴ab＝1，
∴（1+2021a+a2）（1+2021b+b2）＝4×1＝4．
故选：D．
7．解：依题意得（1+0.8x）2＝81，
故选：D．
8．解：设剪去小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面为长（20﹣2x）cm，宽为（15﹣2x）cm的长方形，
依题意，得：（20﹣2x）（15﹣2x）＝150．
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分40分）
9．解：由一元二次方程的定义得：m2+1＝2，且m﹣1≠0，
解得：m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
10．解：把x＝0代入方程得：a2﹣4＝0，
（a﹣2）（a+2）＝0，
可得a﹣2＝0或a+2＝0，
解得：a＝2或a＝﹣2，
当a＝2时，a﹣2＝0，此时方程不是一元二次方程，舍去；
则a的值为﹣2．
故答案为：﹣2．
11．解：根据题意得x1+x2＝，x1x2＝﹣2，
所以＝＝＝＝﹣．
故答案为﹣．
12．解：a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，
a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，
（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
解得，a＝3，b＝4，
当a是腰长时，等腰三角形的周长＝3+3+4＝10，
当b是腰长时，等腰三角形的周长＝3+4+4＝11，
故答案为：10或11．
13．解：∵α、β是一元二次方程x2﹣2021x+2020＝0的两实根，
∴α+β＝2021，αβ＝2020，
∴（α﹣2021）（β﹣2021）＝αβ﹣2021（α+β）+20212
＝2020﹣2021×2021+20212
＝2020．
故答案为：2020．
14．解：x2﹣5x+6＝0，
（x﹣2）（x﹣3）＝0，
x﹣2＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝2，x2＝3，
∵菱形ABCD的一条对角线的长为4，
∴AB的长为3，
∴菱形ABCD的周长＝4×3＝12．
15．解：4x（x﹣2）＝x﹣2
4x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0
（x﹣2）（4x﹣1）＝0
x﹣2＝0或4x﹣1＝0
解得x1＝2，x2＝．
故答案为：x1＝2，x2＝．
16．解：根据题意，得：Δ＝（﹣2）2﹣4×（m﹣2）×1≥0且m﹣2≠0，
解得m≤3且m≠2，
故答案为：m≤3且m≠2．
17．解：设y＝x2+3x，则y2+2y﹣3＝0，
整理，得（y+3）（y﹣1）＝0．
所以y+3＝0或y﹣1＝0．
解得y＝﹣3或y＝1．
当y＝﹣3时，x2+3x＝﹣3，此时该方程无解，故舍去．
综上所述，x2+3x＝1．
故答案是：1．
18．解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）＝28．
故答案为：x（x﹣1）＝28．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．解：（1）（x+2）2﹣25＝0，
x+2＝±5，
x1＝3，x2＝﹣7．
（2）4x2﹣3x﹣1＝0，
＝0
x1＝﹣，x2＝1．
（3）2x2﹣7x+3＝0，
∵a＝2，b＝﹣7，c＝3，
∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×3＝25＞0，
∴，
∴．
（4）（x2﹣3）2﹣3（3﹣x2）+2＝0．
[（3﹣x2）﹣1][（3﹣x2）﹣2]＝0
3﹣x2＝1，3﹣x2＝2
．
20．解：（1）∵关于x的一元二次方程 x2﹣2x﹣m＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2+4m≥0，
解得：m≥﹣1．
故m的取值范围是m≥﹣1；
（2）根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣m，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝6，
∴22+2m＝6，
解得：m＝1．
故m的值是1．
21．解：（1）∵x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1，
故答案为：2；1；
（2）∵x2+x＝x2+x+＝，
又∵≥0，
∴≥﹣．
∴代数式x2+x有最小值为﹣．
故答案为：小；﹣；
（3）A﹣B＝（x2﹣1）﹣（2x﹣3）＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1＞0，
∴A﹣B＞0，
∴A＞B．
22．解：（1）设宽AB为x，
则长AD＝BC＝22﹣3x+2＝（24﹣3x）米；
（2）由题意可得：（22﹣3x+2）x＝45，
解得：x1＝3；x2＝5，
∴当AB＝3时，BC＝15＞14，不符合题意舍去，
当AB＝5时，BC＝9，满足题意．
答：花圃的长为9米，宽为5米．
23．解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x，
依题意得：1000（1+x）2＝1440，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．
（2）设该市在2022年可以改造y个老旧小区，
依题意得：80×（1+15%）y≤1440×（1+20%），
解得：y≤，
又∵y为整数，
∴y的最大值为18．
答：该市在2022年最多可以改造18个老旧小区．
24．解：（1）∵销售价为120元时，每天可售出20件，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件，
∴当每件童装降价x元时，每天可售出（20+2x）件．
故答案为：（20+2x）．
（2）设每件童装降价y元，则每件的销售利润为（120﹣y﹣80）元，每天可售出（20+2y）件，
依题意得：（120﹣y﹣80）（20+2y）＝1200，
整理得：y2﹣30y+200＝0，
解得：y1＝10，y2＝20．
又∵要尽快减少库存，
∴y＝20．
答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元．
（3）平均每天盈利不可能达到1600元，理由如下：
设每件童装降价m元，则每件的销售利润为（120﹣m﹣80）元，每天可售出（20+2m）件，
依题意得：（120﹣m﹣80）（20+2m）＝1200，
整理得：m2﹣30m+400＝0．
∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣30）2﹣4×1×400＝﹣700＜0，
∴原方程无实数根，
∴平均每天盈利不可能达到1600元．