长安中学 2022-2023 学年度下期高二年级期中考试数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C D D C C C C ABC AC ACD BD
1．因为C2 Cn5 5 ，则n 2或2 n 5，所以，n 2或3 .
2．因为P(A | B)
3 P(B) 7 ， ，所以P(AB)
3 7 1
P(A | B)P(B) .
7 9 7 9 3
3．采用插空法，让 4盏需要关闭的灯插空，有C 45 5种方法.
4．从 2至 8的 7个整数中随机取 2个不同的数，共有C27 21种不同的取法，若两数不互质，不同的取
法有： 2,4 , 2,6 , 2,8 , 3,6 , 4,6 , 4,8 , 6,8 21 7 2，共 7种，故所求概率P .
21 3
5．依题意， X 2 1 1 X 3，即事件 X 2 1的对立事件是 X 4的事件，
所以P X 2 1 1 P(X 4) 1 1 5 .
6 6
6．由于是不放回地随机摸出 20个球作为样本，所以由超几何分布得定义得 X 服从超几何分布，所以
E X 40 20 =8 .
100
7．若按要求用 5种颜色任意涂色：
先涂中间块，有 5种选择，再涂上块，有 4种选择.再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块和右
块均有 3种选择；若下块与上块涂不同颜色，则下块有 3种选择，左块和右块均有 2种选择.
则共有5 4 (1 3 3 3 2 2) 420种方法.
若恰只用其中 4种颜色涂色：
先在 5种颜色中任选 4种颜色，有C45 种选择.先涂中间块，有 4种选择，再涂上块，有 3种选择.
再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块有 2种选择，为恰好用尽 4种颜色，则右块只有 1种选
择；若下块与上块涂不同颜色，则下块有 2种选择，左块和右块均只有 1种选择.
240 4
则共有C45 4 3 (1 2 1 2 1 1) 240种方法，故恰用 4种颜色的概率是 .420 7
8 5 4． 2n 512，n 9，T C524 ax ，T C425 ax ，T C6236 9 5 9 7 9 ax
6
，
C524 a5 C425a4 ,
第 6 9 9项的系数最大， 5 4 5 6 3 6 ，则 2 a 3 .
C92 a C92 a ,
9．A.从10个人中选出 2人去劳动，与顺序无关，故错误；
B.从10个人中选出 2人去参加数学竞赛，与顺序无关，故错误；
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C.从班级内30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，故错误；
D.从数字 5、6、7、8中任取 2个不同的数做 loga b中的底数与真数，底数与真数位置不同，即与顺序
有关，故正确.
10．对于 A，由 P AB P A P B A 1 1 1 ，故 A正确；
3 5 15
对于 B，由P B A 1 P B A 1 4 1 ，故 B错误；5 5
对于 C，D，由P A 1 P A 2 ， P B A 1 P B A 2 ，3 5
则 P B P A P B A P A P B A 1 1 2 2 1 ，故 C正确；D错误．
3 5 3 5 3
11 1．对于 A：选一个盒子放两个球，另外两个盒子放一个球，共有C3 3种放法，故 A正确；
B, 482022 3 (49 1)20 22 3 49 2022 C1 49 2021 C2 2020 2021 2022对于 2022 202249 C2 02249 C 2022 3
492022 C1 4920212022 C
2 2020 2021
202249 C2022 49 2，展开式中只有最后一项-2不是 7的倍数，所以 482022 3
被 7除后的余数为 5，故 B错误；
对于 C：在 (x 1)5 (x 1)4 a0 a1x a
2 3
2x a3x a4x
4 a5x
5
中，
4 5
令 x 1，得a0 a1 a2 a3 a4 a5 2 16，令 x= 1，得， a0 a1 a2 a3 a4 a5 2 32，
两式相加除以 2，得a0 a2 a4 8，故 C正确；
对于 D：在一次抛掷两枚骰子的过程中，点 P共有 36种情况，其中在圆 x2 y2 16内的有
(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2)，共 8 2种，所以掷这两枚骰子一次，点 P在圆内的概率为 9 ．因
~ B 3, 2 为 ，所以 的均值为3
2 2
，故 D正确，
9 9 3
12 5．对于 A选项，在“杨辉三角”第6行中，从左到右第6个数是C6 6，A错；
B 0 1 2 n n对于 选项，由二项式系数的性质知Cn Cn Cn Cn 2 ，B对；
在“杨辉三角”中，当n 10时，从第1行起，
每一行的第2个数之和为1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55，C错；
对于 D选项，取 k 2，则Ck k 2n 1 Cn Cn 1 C
2 C1n n n，
因为 n 1 n 1 C2，所以数列 n 1 C2n 为公差为1的等差数列，D对．
13．0.14．
答案第 2页，共 6页
因为 X N 2, 2 ，所以 P X 2 P X 2 0.5，因此
P X 2.5 P X 2 P 2 X 2.5 0.5 0.36 0.14 ．
14．5%
令 A表示“取到的是一件次品”，B1，B2， B3 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然
B1,B2 ,B3是样本空间 S的一个划分，且有P B1 0.45，P B2 0.35，P B3 0.2 .由于P A B1 0.02，
P A B2 0.03，设P A B3 m，
由全概率公式得：P A P A B1 P B1 P A B2 P B2 P A B3 P B3 0.02 0.45 0.03 0.35 m 0.2，
而P A 2.95%，故m 5% .
22
15．
9
依题可知，随机变量 X 的取值可能为 2,3，
P X 2 p 2 1 p 2 2p 2 2p 1 ， P X 3 C1 22 p 1 p C12 1 p
2 p 2 p 2 p2，
2
所以E X 2 2 p2 2p 1 3 2p 2 p2 2p 2 2p 2 1 5 2 p ，
2 2
而0 p
1 1
，所以当 p 时，E X 22的最大值为 ．
3 3 9
16．-28
y 8 8 y
因为 1 x y = x y x y
8
，
x x
1 y 8所以
x y 的展开式中含 x2 y6 C6x2 y6 y C5 3 5 2 6
x
的项为
8 x 8
x y 28x y ，
1 y x y 8 的展开式中 x2 y6x 的系数为-28
A5 12 11 10 9 8
17 4．（1） 123 2C7 2
7 6 5 4
2678
A 7 .7 6 5 4 3 2 1 7
3 3 3
（2）C3 C4 C12 C
4 C3 C3 C44 4 12 5 C
3 C35 12
C4 13 12 11 10 13 715 .4 3 2 1
n
18 1 ．（1）由题意 2 x n N * 的展开式的二项式系数和为 64，即 2n 64，解得n 6；
x
答案第 3页，共 6页
19．（2）因为n 6，根据展开式中间项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为T4，
3
1 3
即T C3 (2 x )34 6 160x 2 .
x
19 2 1 2．（1）“每个项目都有人报名”，则必有两人报同一个项目，故此时报名情况有C4C3A2 36种；
（2）“四名同学最终只报了两个项目”，此时可先选出两个项目，
报名情况为分别有两人报这两个项目，或者一人报其中一个，另三人报名另一个项目，
2 2 1 2
故共有C3 C4 C4A2 42种报名情况，
42 14
则“四名同学最终只报了两个项目”的概率是 4 ；3 27
（3）事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，有C2A3 36 P A 36 44 3 种报名方法，则 ，34 9
事件 B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，
若A， B同时发生，即恰有 2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目，
2
P AB
则有C2A2
6 2
3 2 6种报名方法，则P AB 4 ，故 P B A
27 1
3 27 P A 4 6 ．
9
20．（1）记“甲、乙两家公司共答对 2道题” 的事件为A，它是甲乙各答对 1道题的事件、甲答对 2题
乙没答对题的事件和，它们互斥，
C1C2 2 2 2 1P(A) 4 2 C1( )1(1 ) 2 C C则有 4 2
2 1
(1 ) 3
C3 36 3 3 C
3
6 3 15
，
1
所以甲、乙两家公司共答对 2道题目的概率是 .
15
（2）设甲公司答对题数为 X ，则 X 的取值分别为1, 2,3，
1 2 2 1 3 0
P X 1 C4C2 1 3 , P X 2
C4C2 3 , P X 3 C4C 1 2
C 5 C36 6 5 C
3 ，
6 5
则 X 的分布列为：
X 1 2 3
1 3 1
P
5 5 5
答案第 4页，共 6页
E X 1 1 2 3期望 3 1 2 2 1 2 3 2 1 2，方差D X (1 2) (2 2) (3 2) .
5 5 5 5 5 5 5
（3）设乙公司答对题数为Y ，则Y 的取值分别为0,1,2,3，
P(Y 0) (1)3 1 ,P(Y 1) C1 2 (1 2 2
3 27 3
) ，
3 3 9
P(Y 2) C2 2 2 1 4 2 83 ( ) ,P(Y 3) ( )
3 ，
3 3 9 3 27
则Y 的分布列为：
Y 0 1 2 3
1 2 4 8
P
27 9 9 27
E Y 0 1 1 2 2 4 3 8期望 2，
27 9 9 27
方差D Y (0 2)2 1 (1 2)2 2 (2 2)2 4 (3 2)2 8 2 ，
27 9 9 27 3
显然E X E Y ,D X D Y ，
所以甲公司竞标成功的可能性更大.
21．（1）①批次Ⅰ的血夜试剂经过前三道工序后的次品率为
P1 1 1 P1 1 P2 1 P 1
9 8 7 3
3 10 9 8 10
②设批次Ⅰ的血夜试剂智能自动检测合格为事件 A，人工抽检合格为事件 B，
P(A) 95由已知得 ,P(AB) 1 P1 1
3 7
100 10 10
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品为事件 B A，
P AB P B | A 7 100 14 73.68%
P A 10 95 19 .
（2）100 99个血液试剂中恰有 1个不合格的概率 p C1100 p 1 p
因此 p 100 1 p
99 99p 1 p 98 100 1 p
98 1 100p ，
令 p 0，得 p 0.01，
当 p 0,0.01 时， p 0；当 p 0.01,1 时 p 0 .
所以 p 的最大值为 p0 0.01.
答案第 5页，共 6页
22．（1）设事件A：选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”，
1 2
从物理 历史里选一门，生物学 化学 思想政治 地理 4门中选择 2门的方案有C2C4 12种等可能情况，
1
事件A即从剩余生物学 思想政治 化学三个科目中选择一个有C3 3种等可能情况，
C1
所以P A 3 1 3C1C2 12 4 .2 4
（2 2）设此次网络测试的成绩 X ~ N , .
①由题意可知 210，
91 0.02275 1 P 2 ≤ X≤ 2 1 0.9545因为 ，且 0.02275，
4000 2 2
即P X≥ 2 0.02275， 2 290，
290 210 640所以 40 .而 0.16，
2 4000
1 P ≤ X≤ P X 1 0.6827≥ 0.15865 0.16，
2 2
所以前 640名学生成绩的最低分低于 210 40 250，
而考生甲的成绩为 260分，所以甲同学能够获得荣誉证书.
②（结果是开放的，只要学生的统计理由充分，即可得分，以下两种理由供参考）
若考生乙所说为真，则 240，
1 P 2 ≤ X≤ 2 P X 2 1 0.9545≥ 0.02275，
2 2
91 0.02275 360 240而 ，所以 60，
4000 2
从而 3 240 3 60 420 425 .
理由 1：根据统计学中的3 原则，即认为 X 3 为小概率事件，即丙同学的成绩为 425分是小概率
事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假.
1 P 3 ≤ X≤ 3 2 P X 3 1 0.9973理由 ： ≥ 0.00135，4000名学生中成绩大于 420
2 2
分的约有4000 0.00135 5.4人，这说明 4000名考生中，也会出现约 5人的成绩高于 420分的“极端”
样本，由于样本的随机性，丙同学的成绩为 425分也有可能发生，所以可认为乙同学所说为真.
答案第 6页，共 6页沈丘县长安高中 2022-2023 学年度下期高二年级期中考试
数学试卷
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的.
1 C2．若 5 C
n
5 ，则n （ ）
A． 2 B．2或3 C．3 D．4
3 7
2．已知P(A | B) ， P(B) ，则P(AB) （ ）
7 9
3 4 1 27
A． B． C． D．
7 7 3 49
3．某村镇道路上有 10盏照明路灯，为了节约用电，需要关闭其中不相邻的 4盏，但考虑行人夜间出
行安全，两端的路灯不能关闭，则关灯方案的种数有（ ）
A．10 B．15 C．20 D．5
4．从 2至 8的 7个整数中随机取 2个不同的数，则这 2个数互质的概率为（ ）
1 1
A 1 2． B． C． D．
6 3 2 3
5．设随机变量 X 的概率分布列如下表，则P X 2 1 （ ）
X 1 2 3 4
1 1 1
P m
3 4 6
1 1 5 5
A． B． C． D．
4 6 6 12
6．一个袋子中 100个大小相同的球，其中有 40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出 20个球作
为样本，用随机变量 X 表示样本中黄球的个数，则 X 服从（ ）
A．二项分布，且E X 8 B．两点分布，且 E X 12
C．超几何分布，且E X 8 D．超几何分布，且E X 12
7．如图，这是第 24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵
爽的弦图为基础设计的.现给这 5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，
且每个区域只涂一种颜色.若有 5种颜色可供选择，则恰用 4种颜色的概率是（ ）
A 2
3 4 5
． 7 B． C． D．7 7 7
试卷第 1页，共 4页
8．若 2 ax n a 0 的展开式中各项的二项式系数之和为 512，且第 6项的系数最大，则 a的取值
范围为（ ）
A． ,0 2,3 B． , 0 1 , 1 C． 2,3
1 , 1D ．
3 2 3 2
二、多项选择题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中,有多
项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9．下列问题中不属于排列问题的是（ ）
A．从10个人中选出2人去劳动
B．从10个人中选出2人去参加数学竞赛
C．从班级内30名男生中选出5人组成一个篮球队
D．从数字5 6 7 8中任取 2个不同的数做 loga b中的底数与真数
1
10．已知事件 A，B，且 P A ， P B A 1 P B A 3 ， ，则 （ ）3 5 5
A． P AB 1 2 B． P B A C．P B 1 D．P B 3
15 5 3 5
11．下列说法中正确的是（ ）
A．将 4个相同的小球放入 3个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有 3种放法
B． 482022 3被 7除后的余数为 2
C 4 5 2 3 4 5．若 (x 1) (x 1) a0 a1x a2x a3x a4x a5x ，则 a0 a2 a4 8
D．抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点 P的横坐标，另一个的点数为点 P的纵坐标，连续抛掷这
2
两枚骰子三次，则点 P在圆 x2 y2 16内的次数 的均值为 3
12．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中
国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出
现，比欧洲发现早500年左右．如图所示，在“杨辉三角”中，除每
行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例
如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）
A．在“杨辉三角”第6行中，从左到右第6个数是15
B．由“第n行所有数之和为2n ” 0 1 2 n n猜想：Cn Cn Cn Cn 2
C．在“杨辉三角”中，从第1行起，前10行每一行的第 2个数之和为66
试卷第 2页，共 4页
D．存在 k N k k，使得 Cn 1 Cn 为等差数列
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分.
13 2．已知随机变量 X服从正态分布 N 2, ，且P(2 X 2.5) 0.36，则P(X 2.5) ____________．
14．设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占 45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品
的次品率分别为 2%和 3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为 2.95%，则推测丙车间的次品率
为______.
15．甲 乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局，且每一局
1
比赛甲赢的概率都是 p，随机变量 X 表示最终比赛的局数，若0 p ，则E X 的最大值为__________.
3
y
16 8． 1 (x y )x 的展开式中 x
2 y6的系数为________________（用数字作答）．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）求值：（用数字作答）
A5
(1) 12 4 3 3 3
A3
2C7 (2)C3 C4 C12
7
n
18 12 1 ．（ 分）已知 2 x n N 的展开式的二项式系数和为 64.
x
(1)求 n的值；
(2)求展开式中二项式系数最大的项.
19．（12分）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环
境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件 A为“恰有两名同学所报项
目相同”，事件 B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”．求
(1)“每个项目都有人报名”的报名情况种数；
(2)“四名同学最终只报了两个项目”的概率；
(3)P B A ．
20．（12分）某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过
层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家
公司从 6个招标问题中随机抽取 3个问题，已知这 6个招标问题中，甲公司可正确回答其中 4道题目，
2
而乙公司能正确回答每道题目的概率均为 3 ，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响
的.
试卷第 3页，共 4页
(1)求甲、乙两家公司共答对 2道题目的概率；
(2)设甲公司答对题数为随机变量 X ，求 X 的分布列、数学期望和方差；
(3)请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
21．（12分）某医药企业使用新技术对某款血夜试剂进行试生产.
(1)在试产初期，该款血液试剂的 I批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测
评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款血夜试剂在生产中，前三道工序的次品率分别为
P 1 1 11 ,P2 ,P3 .10 9 8
①求批次 I的血液试剂经过前三道工序后的次品率P1；
②第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰，合格的血液试剂进入流水线并由工人
进行抽查检验.已知批次 I的血液试剂智能自动检测显示合格率为95%，求工人在流水线进行人工抽检
时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）；
(2)已知某批次血液试剂的次品率为 p(0 p 1)，设 100个血液试剂中恰有 1个为不合格品的概率为
p ，求 p 的最大值点 p0 .
22．（12分）2022年河南 陕西 山西 四川 云南 宁夏 青海 内蒙古 8省区公布新高考改革方案，这 8
省区的新高中生不再实行文理分科，今后将采用“3+1+2”高考模式.“3+1+2”高考模式是指考生总成绩由
全国统一高考的语文 数学 外语 3个科目成绩和考生选择的 3科普通高中学业水平选择性考试科目成
绩组成，满分为 750分.“3”是三门主科，分别是语文 数学 外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要
在物理 历史里选一门，按原始分计入成绩；“2”指考生要在生物学 化学 思想政治 地理 4门中选择 2
门，但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分.
(1)若按照“3+1+2”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”的概率；
(2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一
学生 4000名参加语数外的网络测试 满分 450分，并给前 640名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成
绩服从正态分布.
①考生甲得知他的成绩为 260分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为 210分，290分
以上共有 91人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；
②考生丙得知他的实际成绩为 425分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为 240分，360分以
上共有 91人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪.
附：P X 0.6827， P 2 X 2 0.9545， P 3 X 3 0.9973 .
试卷第 4页，共 4页
