高考数学题审题“八环节“[下学期]

高考数学题审题“八环节”
审题是解题的基础,是正确、迅速解题的前提.著名数学教育家波利亚说“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图.”事实上,学生常常对此掉以轻心,致使解题失误或陷入繁冗之中.本文对高考数学解题中,审题时要注意的几个环节综述如下.
1. 审视条件
条件是解题的主要材料,充分利用条件间的内在联系是解题的必径之路.审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息,发挥隐含条件的解题功能.
例1.(2001年全国高考题)过点、且圆心在直线上的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
解析:作为本题的常规解法,设圆的方程为,由题设条件布列方程组解得故选C.若利用好条件的凸显信息,考虑到选择题的特殊性,可检验四个选择支是否满足条件:首先选项(B)、(D)的圆心不在直线上,其次选项(A)的圆不过点.若挖掘条件的隐含信息,把握圆的几何特征(垂径分弦),则有简解:圆心在线段的垂直平分线上,由得圆心坐标.
2. 审视结论
结论是解题的最终目标,解决问题的思维很多情形下都是在目标意识下启动和定向的.审视结论要探索已知条件和结论间的联系与转化规律,善于从结论中捕捉解题信息,确定解题方向.
例2.(2002年全国高考题)设数列满足
(I)当时,求,并由此猜想的一个通项公式;
(II)当时,证明对所有的,有
(i); (ii).
解析:本题的(I)及(II)之(i)不难解决,(II)之(ii)难倒了不少考生.关键在于大部分考生不能正确利用结论信息,错误的利用结论,想通过证明,但.结论要证明小于等于,注意到,而 ,故只要能证明即可,即要证明.由,得 ,从而,问题得证.
若用数学归纳法证明,更要注意结论的分析.因为当从到时,用证明,由于只增加正项,而无法证明,所以需要把原结论加强.此时,可以通过证明新结论,完成证明.
3. 审视结构
结构是数学问题的搭配形式,某些问题已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关系.审视结构要对结构进行分析、加工和转化,以实现解题突破.
例3.(2000年全国高考题)设是首项为1的正项数列,且 ,则它的通项公式是 .
解析:从显式结构看,递推关系式较为繁杂,但本质是关于与的二次齐次方程,形如.将其结构式分解变形,得,注意到,得.再一次认识新结构,容易知道数列是常数数列,从而有,即有.
4. 审视数值
数值是数学运算中最基本的单元,特殊的数值往往能暗示解题的方向.审视数值要善于观察、分析数值,从数值本身的变化,数字与数字之间的联系去寻找解题的思路,获得优美的解法.
例4.(2002年全国高考题)已知函数,那么 .
解析:本题侧重思维能力的考查,但实际情况事与愿违.多数考生是硬算出来的:原式,没有领会“多考一点想,少考一点算”的高考命题意图.感觉敏锐的考生通过观察,凭借直觉应该抓住数值变化上的暗示信息:对于函数的值会比较特殊,由,得 .即使感觉不那么敏锐,在算出之后,也应该有所领悟,比较快地得出结果.
若将求值式改为,则更能体现上述思路的优越性,突出考查考生的思维灵活性.
5. 审视形象
形象是数学问题的几何形式.审视形象要把握形象的本质特征,或赋予问题中的某些代数关系以几何意义,借助图象作出透彻分析,从而提供解题途径.
例5.(2002年北京市高考题)已知是定义在上的奇函数,当时,的图象如图1所示,那么不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
解析:本题以函数图象为载体,考查函数与方程及不等式的关系. 只要利用函数的奇偶性,在同一坐标系内画出函数与在上的图象(如图2),根据的函数值异号,立刻可以找到的取值范围.
6. 审视范围
范围是对数学概念、公式、定理中涉及的一些量以及相关解析式的限制条件.审视范围要适时利用相关量的约束范围,从整体上把握问题的解决方向.
例6.(2000年全国高考题)设函数其中.
(I)解不等式
(II)求的取值范围,使函数在区间上是单调函数.
解析:在当年高考试题的阅卷过程中,发现众多考生都照搬无理不等式的一般解法:
致使解题过程复杂化.分析不等式,注意“”与“”的范围限制,挖掘“”这一隐性范围,将不等式化为求解,同时解二次不等式也紧扣该范围,会使解题过程更加优化与简单:
所以,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.
而第(II)问讨论函数单调性,对的正负判断,也要注意与的范围特征.
7. 审视语言
语言是问题的表述方式.审视语言要理解问题的文字语言、符号语言、图表语言,并正确地进行转换,以便理解题意,正确解题.
例7.(2002年上海市高考题)某工程由下列工序组成,则工程总时数为 天.
解析:本题用表格形式给出某一工程各工序的紧前工序与该工序的工时数.为了方便理解题意,理顺各工序间的关系,可以将该工程用树图形式表示(如图3).考虑到并行工序(a与b、d与e)可同时进行,而串行工序(如a与c、c与d、d与f)只能在前一工序完成后,下一工序才能开始.故工程总时数为3+2+5+1=11(天).
8. 审视方法
方法是解题的手段,数学思想方法是问题的主线.审视方法,选择适当的解题方法,往往使问题解决事半功倍.
例8.(2000年全国高考题)过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点.若线段与的长分别是、,则=( )
A. B. C. D.
解析:本题属直线与抛物线相交的弦长问题,解题的一般方法是联立方程组,通过解方程,利用根与系数的关系求解,但明显非常繁琐,不是一道选择题应有的工作量.仔细分析题意,是定值,不随直线位置的变化而变化.因此,可以采用特殊化手段,只考虑特殊位置的情况:直线平行于轴时,由定义得,所以.或将直线的位置极限化,当直线垂直于轴时,,所以.
(图3)
e
d
c
b
a
1
1
3
2
1
O
y
(图1)
x
-1
-3
3
2
1
O
y
(图2)
4
2
5
2
3
2
f
工序 a b c d e f
紧前工序工时数(天) －2 －3 a、b2 c5 c4 d 、e1