山西2023中考热点题型——二次函数（含答案）

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山西中考热点题型——二次函数
一、热点题型归纳
【题型一】 二次函数的图像与性质
【题型二】 二次函数与方程、不等式及其他函数的综合
【题型三】 二次函数的综合运用
【题型一】 二次函数的图像与性质
【典例分析】
1.（2023 泰山区校级一模）已知抛物线如图所示，它与轴的两交点的横坐标分别是，5．
对于下列结论：
①；
②方程的根是，；
③；
④当时，随着的增大而增大．
其中正确的结论是 　 　（填写结论的序号）．
【提分秘籍】
1.根据二次函数的解析式求图象对称轴与顶点坐标的问题
求二次函数图象的对称轴与顶点坐标，通常分为两种情况：
(1)若二次函数的解析式为()的形式，则二次函数图象的对称轴为直线x=h，顶点坐标为(h，k)；
(2)若二次函数的解析式为()的形式，则二次函数图象的对称轴是直线 顶点坐标是 。
求抛物线的顶点坐标时，若抛物线的解析式为一般式，则通常运用配方法化成顶点式进行求解，或直接把a，b，c代入顶点坐标式求得。
2.二次函数的字母系数的问题
抛物线的开口方向决定了a的符号：若开口向上，则a>0；若开口向下，则a<0。
抛物线对称轴的位置决定了a，b的符号：若对称轴在y轴左侧，则a，b同号；若对称轴在y轴上，则b=0；若对称轴在y轴右侧，则a，b异号。
抛物线与y轴的交点位置决定了c的符号：若交点在y轴正半轴上，则c>0；若交点在原点上，则c=0；若交点在y轴负半轴上，则c<0。
3.抛物线的平移问题
抛物线的平移，应关注的是顶点位置的改变，也就是说，抛物线的平移，实际上是抛物线顶点的平移。通常把抛物线的解析式化成顶点式后，再求其平移后的解析式，此时平移遵循的规律为“左加右减，上加下减”。由于抛物线平移后的形状不变，故a不变。
4.抛物线的对称性问题
抛物线的对称性的应用，主要体现在求一个点关于对称轴对称的点的坐标，或者是已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴。
解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线。
【变式演练】
2．抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3.抛物线经过平移得到抛物线，平移过程正确的是　　
A．先向左平移6个单位，再向上平移3个单位
B．先向左平移6个单位，再向下平移3个单位
C．先向右平移6个单位，再向上平移3个单位
D．先向右平移6个单位，再向下平移3个单位
4.（2023 成武县校级一模）如图，一条抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），其顶点在线段上移动．若点、的坐标分别为、，点的横坐标的最大值为4，则点的横坐标的最小值为　　
A． B． C． D．
【题型二】二次函数与方程、不等式及其他函数的综合
【典例分析】
5.（2023 东平县校级一模）如图，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于、两点，下列结论：①；②抛物线与轴的另一个交点坐标是；③；④方程有两个不相等的实数根；⑤当时，则．其中正确结论的个数为　　
A．2 B．3 C．4 D．5
【提分秘籍】
1.二次函数的图象与其他函数的图象共存问题
在同一平面直角坐标系，判断两个函数图象的位置时，应先确定一个函数图象的位置，然后再看另一个函数的图象位置是否符合要求。
2.二次函数与一元二次方程之间的关系问题
一元二次方程 (a≠0)可以看作是二次函数y= (a≠0)当y=0时的一种特殊情况，所以二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根。
二次函数 (a≠0)的图象和x轴的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根之间的关系：△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数，当△=b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；当△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；当△=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。
【变式演练】
6.二次函数的图象如图所示，比较下列各式与0的大小．
①abc_____0；② _____0；③ ________0
7.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a≠0）的图象过点(﹣1，0)，对称轴为直线x＝1，且2＜c＜3，则下列结论正确的是（　　）
A．abc＞0 B．3a+c＞0
C．a2m2+abm≤a2+ab（m为任意实数） D．﹣1＜a＜﹣
8.（2023 滕州市一模）如图是二次函数图象的一部分，图象过点，对称轴为直线，①②③当时，④若，为函数图象上的两点，则，以上结论中正确的有　　
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【题型三】二次函数的综合运用
【典例分析】
9.二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接、，交于点Q，过点P作轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接，当时，求直线的表达式；
（3）请判断：是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．
【提分秘籍】
用待定系数法可求二次函数的解析式，根据不同条件选择不同的设法
(1)设一般式 ：若已知二次函数图象上的三点的坐标时，通常设二次函数的解析式为一般式，然后列出关于a，b，c的三元一次方程组求解。
(2)设交点式 ：若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)，(x2，0)，通常设二次函数的解析式为交点式，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式。
(3)设顶点式 ：若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值（最小值），通常设二次函数的解析式为顶点式，然后代入另一点的坐标，即可列出关于a的一元一次方程，最后将所求出的抛物线的解析式化为一般形式.
【变式演练】
10.如图，抛物线（其中）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
（1）直接写出的度数和线段AB的长（用a表示）；
（2）若点D为的外心，且与的周长之比为，求此抛物线的解析式；
（3）在（2）的前提下，试探究抛物线上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11. 如图，抛物线经过点，点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点P，使的面积是面积的4倍，若存在，请直接写出点P的坐标：若不存在，请说明理由．
12.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
二、最新模考题组练
13. 抛物线与轴的交点到坐标原点的距离是（　　）
A． B． C． D．
14. 如图，已知抛物线与直线交于、两点，则关于的不等式的解集是______．
15.某商场销售的一种进价为元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量（台）与销售单价（元）满足，设销售这种台灯每天的利润为（元）
(1)求与之间的函数关系式
(2)在保证销售量尽可能大的前提下，该商场每天想获得元的利润，应将销售单价定为多少元？
16. 已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点是x轴上的动点．
　　　
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若，过点N作x轴的垂线交抛物线于点P，交直线于点G．过点P作于点D，当n为何值时，；
（3）如图2，将直线绕点B顺时针旋转，使它恰好经过线段的中点，然后将它向上平移个单位长度，得到直线．
①______；
②当点N关于直线的对称点落在抛物线上时，求点N的坐标
山西中考热点题型——二次函数（答案）
1.【答案】②③④．
【分析】由抛物线开口方向，对称轴，以及与轴的交点即可判断①；根据抛物线与轴的交点即可判断②；根据图形即可判断③；求得对称轴，根据二次函数的性质即可判断④．
【详解】解：抛物线开口向下、顶点在轴右侧、抛物线与轴交于正半轴，
，，，
，故①错误；
抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，5．
方程的根是，，故②正确；
当时，，
，故③正确；
抛物线与轴的两交点的横坐标分别是，5，
抛物线的对称轴为直线，
抛物线开口向下，
当时，随着的增大而增大，故④正确；
故答案为：②③④．
【点睛】本题考查了抛物线的开口方向，对称轴，增减性。熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
2．B
【分析】根据二次函数的顶点式可得顶点坐标为即可得到结果．
【详解】∵二次函数解析式为 ，
∴顶点坐标为；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数顶点式的顶点坐标的求解，准确理解是解题的关键．
3.【答案】
【分析】先利用顶点式得到抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，然后利用点平移的规律确定抛物线的平移情况．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为，而点先向右平移6个单位，再向上平移3个单位后可得点，
所以抛物线先向右平移6个单位，再向上平移3个单位后可得抛物线，
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的平移规律，遵循的规律为“左加右减，上加下减”，解题的关键是通过抛物线顶点的平移确定抛物线的平移.
4.【答案】
【分析】根据顶点在线段上移动，又知点、的坐标分别为、，分别求出对称轴过点和时的情况，即可判断出点横坐标的最小值．
【详解】解：根据题意知，
点的横坐标的最大值为4，此时对称轴过点，点的横坐标最大，此时的点坐标为，
当对称轴过点时，点的横坐标最小，此时的点坐标为，点的坐标为，
故点的横坐标的最小值为，
故选：．
； ；
【分析】①抛物线开口向下得到，对称轴在轴的左侧，与同号，得到，抛物线与轴的交点在轴的下方得到，于是；
②抛物线与轴有2个交点，所以△；
③取，观察图象得到图象在轴下方，则，；取，观察图象得到图象在轴下方，则，．所以可以推知③的符号．
【详解】解：①抛物线开口向下，则，对称轴在轴的左侧，则，则，抛物线与轴的交点在轴的上方，则，
．
故答案为：；
②抛物线与轴有2个交点，所以△．
故答案为：；
③当自变量为1时，图象在轴下方，则时，；
当自变量为时，图象在轴上方，则时，．
则③．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象与系数的关系，对于二次函数的图象：
①二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；
②一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右（简称：左同右异）；
③常数项决定抛物线与轴交点．抛物线与轴交于．
④抛物线与轴交点个数：△时，抛物线与轴有2个交点；△时，抛物线与轴有1个交点；△时，抛物线与轴没有交点．
D
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：A．抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，
故abc＜0，不正确，不符合题意；
B．函数的对称轴为直线x=-=1，则b=-2a，
∵从图象看，当x=-1时，y=a-b+c=3a+c=0，
故不正确，不符合题意；
C．∵当x=1时，函数有最大值为y=a+b+c，
∴（m为任意实数），
∴，
∵a＜0，
∴（m为任意实数）
故不正确，不符合题意；
D．∵-=1，故b=-2a，
∵x=-1，y=0，故a-b+c=0，
∴c=-3a，
∵2＜c＜3，
∴2＜-3a＜3，
∴-1＜a＜﹣，故正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．
8.【答案】
【分析】根据二次函数的图象与性质解答．
【详解】解：由题意可知二次函数图象与轴有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，
，故①正确；
由函数图象对称性可得函数图象经过和两点，
①，②，
①②并化简得：，
，故②正确；
由函数图象对称性可得函数图象经过和两点，
由函数整个图象可得当时，，故③正确；
设时，函数值为，则由函数图象的对称性可得：，
，
由函数的增减性可得：，
，故④错误；
故正确的有①②③，共3个，
故选：．
9.【答案】（1）；（2）；（3）有最大值为，P点坐标为
【分析】
（1）将，代入中，列出关于a、b的二元一次方程组，求出a、b的值即可；
（2）设与y轴交于点E，根据轴可知，，当，即，由此推断为等腰三角形，设，则，所以，由勾股定理得，解出点E的坐标，用待定系数法确定出BP的函数解析式即可；
（3）设与交于点N，过B作y轴的平行线与相交于点M．由A、C两点坐标可得所在直线表达式，求得 M点坐标，则，由，可得，，设，则，根据二次函数性质求解即可．
【详解】
解：（1）由题意可得：
解得：，
∴二次函数的表达式为；
（2）设与y轴交于点E，
∵轴，
，
，
，
，
，设，
则，，
在中，由勾股定理得，
解得，
，
设所在直线表达式为
解得
∴直线的表达式为．
（3）设与交于点N．
过B作y轴的平行线与相交于点M．
由A、C两点坐标分别为，
可得所在直线表达式为
∴M点坐标为，
由，可得，
设，则
，
∴当时，有最大值0.8，
此时P点坐标为．
【点睛】
本题主要考查二次函数以及一次函数解析式的确定，函数图像的性质，相似三角形，勾股定理等知识点，熟练运用待定系数法求函数解析式是解题关键，本题综合性强，涉及知识面广，难度较大，属于中考压轴题．
10.【答案】（1）∠OCA=45°，AB= a+1；（2）；（3）存在，P1（，），P2（1，-2）．
【分析】
（1）根据二次函数解析式可得A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），即可得出OA=OB=a，OB=1，即可证明△OCA是等腰直角三角形，可得∠OCA=45°，根据线段的和差关系可表示AB的长；
（2）如图，作△ABC的外接圆⊙D，根据等腰直角三角形的性质可得AC=，利用两点间距离公式可用a表示出BC的长，根据圆周角定理可得∠D=2∠OAC=90°，可得△DBC是等腰直角三角形，即可证明△DBC∽△OCA，根据相似三角形周长之比等于相似比列方程求出a值即可得答案；
（3）如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作AC的垂线，交x轴于F，过点O作OG⊥AC于G，连接AP交CF于E，可得△OCF是等腰直角三角形，利用待定系数法可得直线CF的解析式，根据外心的定义及等腰直角三角形的性质可求出点D坐标，即可得出BH、DH的长，根据，∠BHD=∠ACE=90°可证明△BHD∽△ACE，根据相似三角形的性质可求出CE的长，根据两点间距离公式可得点E坐标，利用待定系数法可得直线AE解析式，联立直线AE与抛物线的解析式求出点P坐标即可得答案．
【详解】
（1）∵抛物线（其中）与x轴交于A、B两点，交y轴于点C．
∴当x=0时，y=-a，
当y=0时，，
解得：，，
∴A（a，0），C（0，-a），B（-1，0），
∴OB=1，OA=OC=a，
∴△OCA是等腰直角三角形，
∴∠OCA=45°，AB=OA+OB=a+1．
（2）如图，作△ABC的外接圆⊙D，
∵点D为的外心，
∴DB=DC，
∵△OCA是等腰直角三角形，OA=a，
∴∠OAC=45°，AC=，
∵∠BDC和∠BAC是所对的圆心角和圆周角，
∴∠BDC=2∠BAC=90°，
∴∠DBC=45°，
∴∠DBC=∠OAC，
∴△DBC∽△OCA，
∵与的周长之比为，
∴，即，
解得：，
经检验：是原方程的根，
∵,
∴a=2，
∴抛物线解析式为：=．
（3）如图，过点D作DH⊥AB于H，过点C作AC的垂线，交x轴于F，过点O作OG⊥AC于G，连接AP交CF于E，
∵a=2，
∴C（0，-2），A（2，0），AC=，
∵∠OCA=45°，
∴∠OCF=45°，
∴△OCF是等腰直角三角形，
∴F（-2，0），
设直线CF的解析式为y=kx+b，
∴，
解得：，
∴直线CF的解析式为，
∵△OCA是等腰直角三角形，OG⊥AC，
∴OG所在直线为AC的垂直平分线，点G为AC中点，
∵点D为的外心，
∴点D在直线OG上，
∵A（2，0），C（0，-2），
∴G（1，-1），
设直线OG的解析式y=mx，
∴m=-1，
∴直线OG的解析式y=-x，
∵点D为△ABC的外心，
∴点D在AB的垂直平分线上，
∴点D的横坐标为=，
把x=代入y=-x得y=-，
∴D（，-），
∴DH=，BH=1+=，
∵，∠BHD=∠ACE=90°，
∴△BHD∽△ACE，
∴，即，
解得：，
∵点E在直线CF上，
∴设点E坐标为（n，-n-2），
∴CE==，
解得：，
∴（，），（，），
设直线AE1的解析式为y=k1x+b1，
∴，
解得：，
∴直线AE1的解析式为，
同理：直线AE2的解析式为，
联立直线AE1解析式与抛物线解析式得，
解得：，（与点A重合，舍去），
∴P1（，），
联立直线AE2解析式与抛物线解析式得，
解得：，（与点A重合，舍去），
∴P2（1，-2）．
综上所述：存在点P，使得，点P坐标为P1（，），P2（1，-2）．
【点睛】
本题考查二次函数的综合，考查了二次函数的性质、待定系数法求一次函数解析式、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题关键
(1)
(2)存在，，
【分析】（1）将点，点，代入抛物线得，求出的值，进而可得抛物线的解析式．
（2）将解析式化成顶点式得，可得点坐标，将代入得，，可得点坐标，求出的值，根据可得，设，则，求出的值，进而可得点坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线过点，点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为：．
（2）解：存在．
∵，
∴，
将代入得，，
∴，
又∵B（2，-3），
∴BC//x轴，
∴到线段的距离为1，，
∴，
∴，
设，由题意可知点P在直线BC上方，
则，
整理得，，
解得，或，
∴，，
∴存在点P，使的面积是面积的4倍，点P的坐标为，．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数顶点式，二次函数与三角形面积综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
12.【分析】
（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）求出AB，OA，AC，利用相似三角形的性质求解即可．
（3）分两种情形：①PA为平行四边形的边时，点M的横坐标可以为±2，求出点M的坐标即可解决问题．②当AP为平行四边形的对角线时，点M″的横坐标为﹣4，求出点M″的坐标即可解决问题．
【解析】
（1）由题意抛物线经过B（0，3），C（1，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3
（2）对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，解得x＝﹣3或1，
∴A（﹣3，0），
∵B（0，3），C（1，0），
∴OA＝OB＝3OC＝1，AB＝3，
∵∠APO＝∠ACB，∠PAO＝∠CAB，
∴△PAO∽△CAB，
∴，
∴，
∴AP＝2．
（3）由（2）可知，P（﹣1，2），AP＝2，
①当AP为平行四边形的边时，点N的横坐标为2或﹣2，
∴N（﹣2，3），N′（2，﹣5），
②当AP为平行四边形的对角线时，点N″的横坐标为﹣4，
∴N″（﹣4，﹣5），
综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，3）或（2，﹣5）或（﹣4，﹣5）．
13.C
【分析】求得抛物线与y轴的交点坐标即可解决问题．
【详解】解：对于抛物线，
令，得到，
可得抛物线与y轴的交点为，
所以抛物线与y轴的交点到坐标原点的距离是1，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．
【详解】由图象可知，当时，抛物线在直线的上方，
关于的不等式的解集是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．
(1)
(2)元
【分析】（1）用每台的利润乘以销售量得到每天的利润；
（2）把代入函数，求出对应的的值，然后根据与的关系，舍去不合题意的值．
【详解】（1）解：根据题意得，，
故与之间的函数关系式．
（2）解：当时，，解方程得，，，
当时，，每天的销售量为台，符合题意；
当时，，每天的销售量为台，与保证销售量尽可能大不符合．
故应将销售单价定为元．
【点睛】本题主要考查一元二次方程，二次函数与实际问题的综合运用，理解题目的数量关系是列方程是解题的关键．
16.【答案】（1）；（2）；（3）①；②或．
【分析】
（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得；
（2）先根据抛物线的解析式可得点的坐标，再利用待定系数法可得直线的解析式，从而可得点的坐标，然后分别求出的长，最后根据全等三角形的性质可得，由此建立方程求解即可得；
（3）①先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据平移的性质可得直线的解析式，从而可得点的坐标，然后根据正切三角函数的定义即可得；
②先求出直线的解析式，再与直线的解析式联立求出它们的交点坐标，从而可得点的坐标，然后代入抛物线的解析式求解即可得．
【详解】
解：（1）将点，代入得：，
解得，
则抛物线的解析式为；
（2）由题意得：点的坐标为，
对于二次函数，
当时，，即，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
，
，，
，
，即，
解得或（与不符，舍去），
故当时，；
（3）①如图，设线段的中点为点，过点作轴的垂线，交直线于点，
则点的坐标为，点的横坐标为3，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
则直线的解析式为，
由平移的性质得：直线的解析式为，
当时，，即，
，
，
故答案为：；
②由题意得：，
则设直线的解析式为，
将点代入得：，解得，
则直线的解析式为，
联立，解得，
即直线与直线的交点坐标为，
设点的坐标为，
则，解得，即，
将点代入得：，
整理得：，
解得或，
则点的坐标为或．
【点睛】
本题考查了二次函数与一次函数的综合、全等三角形的性质、正切三角函数等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题关键．
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