函数的性质及应用（教师版）
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．设（C ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2.函数y=f(x)的图象与y=2的图象关于y轴对称，若y=f-1(x)是y=f(x)的反函数，则y=f-1(x2-2x)的单调增区间是（ D ）
A.[1，+∞] B.（2，+∞） C.（-∞，1 ） D.（-∞，0）
3.在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)上的任意x1,x2(x1x2)， |f(x1)-f(x2)|<|x2-x1|恒成立”的只有(A )
A. B. C. D.
4.已知函数，若f(x)为奇函数，则________。
5.对a,bR,记max|a,b|=函数f（x）＝max||x+1|,|x-2||(xR)的最小值是___.
6.对定义域是Df、Dg的函数y=f(x)、y=g(x)，规定：函数
。
（1）若函数，g(x)=x2，写出函数h(x)的解析式；
（2）求问题（1）中函数h(x)的值域；
（3）若g(x)= f(x)，其中是常数，且[]，请设计一个定义域为R的函数y=f(x)，及一个的值，使得h(x)=cos4x，并予以证明。
【专家解答】：
(1)
(2) 当x≠1时, h(x)= =x-1++2,
若x>1时, 则h(x)≥4,其中等号当x=2时成立
若x<1时, 则h(x)≤ 0,其中等号当x=0时成立
∴函数h(x)的值域是(-∞,0]∪{1}∪[4,+∞)
(3)令 f(x)=sin2x+cos2x,α=
则g(x)=f(x+α)= sin2(x+)+cos2(x+)=cos2x-sin2x,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (sin2x+co2sx)( cos2x-sin2x)=cos4x.
另解令f(x)=1+sin2x, α=,
g(x)=f(x+α)= 1+sin2(x+π)=1-sin2x,
于是h(x)= f(x)·f(x+α)= (1+sin2x)( 1-sin2x)=cos4x.
★★★高考要考什么
【考点透视】
1.了解映射的概念，理解函数的概念。
2.了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质.掌握指数函数的概念、图像和性质。
5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图像和性质。
6.能够运用函数的性质，特别是指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
【热点透析】
1. 直接通过具体函数考查某些性质
2. 以导数为工具围绕函数、不等式、方程综合考查
3. 函数与解析几何、数列等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题等综合性强的新颖试题。
★★★高考将考什么
【范例1】已知函数的最大值是，最小值是，求的值。
解：
=， ∵，且
∴当即时，
∴ ∴，又最大值是，，
∴ 即 ， ∴ ∴
【点晴】（1）注意挖掘隐含条件“”；（2）掌握复合函数最值问题的求解方法。
【文】函数y=a2x+2ax-1(a>0,a≠1)在区间[-1,1]上的最大值为14，求a的值。
解：令u=ax,y=(u+1)2-2.因为-1≤x≤1
当a>1时
当0
综上得，
【范例2】
设函数，且在闭区间[0，7]上，只有
（1）试判断函数的奇偶性；
（2）试求方程在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.
解:（1）由已知得f(-1)=f(2-3)=f(2+3)=f(5)0，故f(-1)f(1),
从而知函数y= f(x) 非奇非偶函数不是奇函数；
(2)由
f(x)= f(x+10),从而知函数y= f(x)的周期为T=10
由f(7-x)=f(7+x)得，f(x)的图象关于x=7对称，且在闭区间[0，7]上，只有f(1)=f(3)=0.
∴在［0，10］上，只有f(1)=f(3)=0，
∴10是f(x)的最小正周期，
∵在［0，10］上，只有f(1)=f(3)=0，
∴在每一个最小正周期内f(x)=0只有两个根，
∴在闭区间[-2005,2005]上的根的个数是802．
【点晴】本题关键是通过抽象函数的对称性研究其周期性
【文】
已知奇函数满足的值为 。
解：
【范例3】设a为实数，函数
（1）讨论f(x)的奇偶性；
（2）求f(x)的最小值.
解：（1）当为偶函数.
当
.
此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.
（2）（i）当
若上单调递减，从而，函数上的最小值为
若，则函数上的最小值为
（ii）当时，函数
若
若
综上，当
当
当，。
【点晴】要重视分类讨论的思想和逻辑思维能力的培养。
【文】已知定义域为的函数是奇函数。
（1）求的值；
（2）若对任意的，不等式恒成立，
求的取值范围；
解：（1）因为f(x)是奇函数，所以f(x)=0，即
又由f（1）= -f（-1）知
（2）解法一：由（Ⅰ）知，易知f(x)在上为减函数。又因f(x)是奇函数，从而不等式：
等价于，因f(x)为减函数，由上式推得：
．即对一切有：，
从而判别式
解法二：由（Ⅰ）知．又由题设条件得：
，
即 ：，
整理得
上式对一切均成立，从而判别式
【范例4】已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数.
（1）求实数a的值组成的集合A；
（2）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由.
解：（1）f＇(x)== ，
∵f(x)在[－1，1]上是增函数，
∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立，
即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立. ①
设 (x)=x2－ax－2，
①
－1≤a≤1，
∵对x∈[－1，1]，f(x)是连续函数，且只有当a=1时，f＇(-1)=0以及当a=－1时，f＇(1)=0
∴A={a|－1≤a≤1}.
（2）由=，得x2－ax－2=0， ∵△=a2+8>0
∴x1，x2是方程x2－ax－2=0的两非零实根，
x1+x2=a，
∴ 从而|x1－x2|==.
x1x2=－2，
∵－1≤a≤1，∴|x1-x2|=≤3.
要使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，
当且仅当m2+tm+1≥3对任意t∈[－1，1]恒成立，
即m2+tm－2≥0对任意t∈[－1，1]恒成立. ②
设g(t)=m2+tm－2=mt+(m2－2)，
方法一：
g(－1)=m2－m－2≥0，
②
g(1)=m2+m－2≥0，
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
方法二：
当m=0时，②显然不成立；
当m≠0时，
m>0， m<0，
② 或
g(－1)=m2－m－2≥0 g(1)=m2+m－2≥0
m≥2或m≤－2.
所以，存在实数m，使不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[-1，1]恒成立，其取值范围是{m|m≥2，或m≤－2}.
【点晴】利用导数研究函数的单调性和最值.在解决函数综合问题时要灵活运用数学思想和方法化归为基本问题来解决.
【文】设函数定义在R上，对于任意实数，总有，且当时，
（1）证明：，且时
（2）证明：函数在R上单调递减
（3）设，若，确定的取值范围。
（1）解：令，则，对于任意实数恒成立，
设，则，由得，
当时， 当时, ,
（2）证法一：设，则，
,函数为减函数
证法二：设，则
=
,
故 ,函数为减函数
（3）解：∵， ∴
若，则圆心到直线的距离应满足，解之得，
【自我提升】
1．函数的图象大致是 （ D ）
2．下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（D ）
A. B. C. D.
3. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x∈[3，5]时，f(x)=2－|x－4|，则（ D ）
A．f(sin)f(cos1)
C．f(cos)f(sin2)设，函数
4．设函数 区间[a,b](aA．0个 B.1个 C.2个 D.无穷多个
5.设函数，为的反函数，又函数与函数的图象关于直线对称，则 .
6. 对于函数f(x)定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：
①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；② f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)③>0；
④.当f(x)=lgx时，上述结论中正确结论的序号是 ②③ .
7.. 已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称，且f(x)＝x2＋2x．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)解不等式g(x)≥f(x)－|x－1|；
(3)若h(x)＝g(x)－f(x)＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．
解：（1）设函数的图象上任一点关于原点的对称点为,
则 即 .
∵点在函数的图象上.
即 故g(x)＝.
(2)由可得：
当1时，
此时不等式无解。
当时，
因此，原不等式的解集为[-1, ].
(3)
1 当时，＝在[-1,1]上是增函数，
②当时，对称轴的方程为
(i) 当时，，解得。
(ii) 当时，1时，解得
综上,
8. 对于函数f(x)，若存在，使f(x0)= x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数
f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1)
（1）当a=1，b=-2时，求函数f(x)的不动点；
（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数y=f(x)的不动点，且A、B两点关于直线对称，求b的最小值。
解：（1）当a=1，b=-2时，f(x)= x2-x-3
由题意可知x= x2-x-3，得x1=-1,x2=3
故当a=1，b=-2时，f(x)的两个不动点为-1,3
（2）因为f(x)=ax2+(b+1)x+(b-1) 恒有两个不动点，
所以x=ax2+(b+1)x+(b-1)，
即ax2+bx+(b-1)=0恒有两个相异的实数根，得
恒成立
于是，解得0故当，f(x)恒有两个相异的不动点时，a的取值范围为0（3）由题意，A、B两点应在直线y=x上，
设A(x1,y1)、B(x2,y2)
因为点A、B关于直线对称，
所以k=-1，
设AB的中点为M(x’,y’)
因为x1, x2是方程ax2+(b+1)x+(b-1)=0的两个根
所以，
于是，由M在直线上，得
即
因为a>0，所以
当且仅当，即时取得等号
故，得b的最小值为。第二轮专题复习：导数的综合应用（教师版）
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【考题回放】
2．（06江西卷）对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1) f (x) 0，则必有（ C ）
A． f(0)＋f(2)2f(1) B. f(0)＋f(2) 2f(1)
C. f(0)＋f(2) 2f(1) D. f(0)＋f(2) 2f(1)
解：依题意，当x1时，f (x)0，函数f(x)在（1，＋）上是增函数；当x1时，f (x)0，f(x)在（－，1）上是减函数，故f(x)当x＝1时取得最小值，即有f(0)f(1)，f(2)f(1)，故选C
3．（06全国II）过点（－1，0）作抛物线y=x2+x+1的切线，则其中一条切线为
（A）2x+y+2=0 （B）3x-y+3=0 （C）x+y+1=0 （D）x-y+1=0
解：y=2x+1，设切点坐标为(x0,y0)，则切线的斜率为2x0+1，且y0=x02+x0+1
于是切线方程为y-(x02+x0+1)=(2x0+1)(x-x0)，因为点（－1，0）在切线上，可解得
x0＝0或－4，代入可验正D正确。选D
4.（06四川卷）曲线y=4x-x3在点(-1,-3)处的切线方程是
（A）y=7x+4 （B）y=7x+2 （C）y=x-4 （D）y=x-2
解：曲线y=4x-x3，导数y=4-3x2，在点(-1,-3)处的切线的斜率为k=1，所以切线方程是y=x-2，选D.
5.（06天津卷）函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D． 4个
解析：函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f (x)在(a,b)内的图象如图所示，函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值的点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个，选A.
6.（浙江卷）f (x)=x3-3x2+2在区间[-1,1]上的最大值是
(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4
解：f (x)=3x2-6x=3x(x-2)，令f (x)=0可得x＝0或2（2舍去），当－1x0时，f (x)0，当0x1时，f (x)0，所以当x＝0时，f(x)取得最大值为2。选C
9.（湖南卷）曲线和y=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积
是 .
解析：曲线和y=x2在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=－x+2和y=2x－1，它们与x轴所围成的三角形的面积是.
（安徽卷）设函数f(x)=x3+bx2+cx(xR)，已知g(x)= f(x)- f (x)是奇函数。
（Ⅰ）求b、c的值。
（Ⅱ）求g(x)的单调区间与极值。
【专家解答】：（Ⅰ）∵f(x)=x3+bx2+cx，∴f (x)=3x2+2bx+c.从而g(x)= f(x)- f (x)= x3+bx2+cx-(3x2+2bx+c)＝x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数，所以g(0)=0得c=0，由奇函数定义得b=3；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知g(x)=x3-6x，从而g (x)=3x2-6，由此可知，
和是函数g(x)是单调递增区间；
是函数g(x)是单调递减区间；
g(x)在时，取得极大值，极大值为，g(x)在时，取得极小值，极小值为。
★★★高考要考什么
【考点透视】
从近几年的高考命题分析，高考对到导数的考查可分为三个层次：
第一层次是主要考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。
第二层次是导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的增减性等；
第三层次是综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。
【热点透析】
导数综合试题,主要有以下几方面的内容:
1. 函数，导数，不等式综合在一起,解决单调性，参数的范围等问题,这类问题涉及到含参数的不等式,不等式的恒成立,能成立,恰成立的求解;
2. 函数，导数，方程,不等式综合在一起,解决极值，最值等问题, 这类问题涉及到求极值和极值点,求最值,有时需要借助于方程的理论解决问题;
3. 利用导数的几何意义,求切线方程,解决与切线方程有关的问题;
4. 通过构造函数,以导数为工具,证明不等式.
5. 导数与其他方面的知识的综合
★★★高考将考什么
【范例1】设函数f(x)=ax3-2bx2+cx+4d(a、b、c、d∈R)的图象关于原点对称，且x=1时，f(x)取极小值-。
(1)求a、b、c、d的值；
(2)当x∈[-1,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的结论；
(3)若x1,x2∈[-1,1]时，求证：|f(x1)-f(x2)|≤。
解答(1) ∵函数f(x)图象关于原点对称，∴对任意实数x，都有f(-x)=- f(x).
∴-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bx2-cx-4d，即bx2-2d=0恒成立.
∴b=0,d=0,即f(x)=ax3+cx. ∴f′(x)=3ax2+c.
∵x=1时,f(x)取极小值-. ∴f′(1)=0且f(1)=- ,
即3a+c=0且a+c=-. 解得a=,c=-1.
(2)证明：当x∈[-1,1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在
两点A(x1,y1)、B(x2+y2)，使得过这两点的切线互相垂直，
则由f′(x)=x2-1，知两点处的切线斜率分别为k1=x12-1,k2=x22-1,
且(x12-1)(x22-1)=-1. (*)
∵x1、x2∈[-1,1], ∴x12-1≤0，x22-1≤0
∴(x12-1)(x22-1)≥0，这与(*)相矛盾，故假设不成立.
(3)证明：∵f′(x)=x2-1,由f′(x)=0,得x=±1.
当x∈(-∞，-1)或（1，+∞）时，f′(x)＞0; 当 x∈(-1，1)时，f′(x)＜0.
∴f(x)在[-1,1]上是减函数，且fmax(x)=f(-1)= , fmin(x)=f(1)= -.
∴在[-1,1]上，|f(x)|≤.
于是x1,x2∈[-1,1]时，|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)|+|f(x2)|≤+=.
故x1,x2∈[-1,1]时,|f(x1)-f(x2)|≤.
【点晴】①若x0点是y=f(x)的极值点，则f′(x0)=0,反之不一定成立；
②在讨论存在性问题时常用反证法；
③利用导数得到y=f(x)在[-1,1]上递减是解第(3)问的关键.
【文】设函数
（1）求函数的单调区间、极值.
（2）若当时，恒有，试确定a的取值范围.
解答：（1）=
令得
列表如下：
x （-∞，a） a （a，3a） 3a （3a，+∞）
- 0 + 0 -
极小 极大
∴在（a，3a）上单调递增，在（-∞，a）和（3a，+∞）上单调递减
时，，时，
（2）
∵0∴在[a+1，a+2]上单调递减
∴，
依题，
即
解得，又0∴a的取值范围是
【范例2】已知
(1)当时, 求证f(x)在(-1,1)内是减函数;
(2)若y= f(x)在(-1,1)内有且只有一个极值点, 求a的取值范围.
解答：(1) ∵∴
∵, ∴
又∵二次函数f (x)的图象开口向上,
∴在内f (x)<0, 故f(x)在内是减函数.
(2)设极值点为则f (x0)=0
当时, ∵
∴在内f (x)>0, 在内f (x)<0.
即f(x)在内是增函数, f(x)在内是减函数.
当时f(x)在内有且只有一个极值点, 且是极大值点.
当时, 同理可知, f(x)在内且只有一个极值点, 且是极小值点.
当时, 由(1)知f(x)在内没有极值点.
故所求a的取值范围为
【点晴】三次函数求导后为二次函数，考查导函数的性质，结合一元二次方程根的分布，考查代数推理能力、语言转换能力和待定系数法是近年高考的热点题型。
【文】已知函数（、）。
（Ⅰ）若的图像在部分在轴的上方，且在点处的切线与直线平行，求的取值范围；
（Ⅱ）当、，且时，不等式恒成立，求的取值范围。
解答：（Ⅰ）。依题意，有，所以。
因为的图像在部分在轴上方，所以在区间上的最小值大于零。令，于是由，，，知：在区间上的最小值为，故有；
（Ⅱ）（），即当时，，即恒成立，由此得
。
【范例3】设函数f(x)与数列{an}满足下列关系：①a1＞a，其中a是方程f(x)=x的实数根；②an+1=f(an) (nN*)；③f(x)的导函数f′(x)∈（0，1）；
⑴证明：an＞a；(nN*)；⑵判断an与an+1的大小，并证明你的结论。
解答：（1）证明：用数学归纳法
①n=1时，a1＞a成立
②假设n=k时，ak＞a成立，
则n=k+1时，由于f′(x)>0，∴f(x)在定义域内递增
∴，即
∴n=k+1时，命题成立
由①②知，对任意，均
（2）解：令，则∵，∴∴递减，
∴时，，即，∴
猜测，下证之
①n=1时，成立
②假设n=k时，成立
则n=k+1时，由于递增，∴，即
∴n=k+1时，命题成立
由①②知，对任意，均
【点晴】由导数研究函数的单调性，再由单调性来证明不等式、数列有关的综合问题必将会成为今后高考的重点内容，在复习中要足够地重视。
【文】已知平面向量=(,-1).=(,).
(1)证明⊥；
(2)若存在不同时为零的实数k和t，使=+(t2-3) ，=-k+t，⊥，试求函数关系式k=f(t)；
(3)据(2)的结论，讨论关于t的方程f(t)-k=0的解的情况.
解答：(1)∵=×+(-1)×=0 ∴⊥.
(2)∵⊥，∴=0 即[+(t2-3) ]·(-k+t)=0.
整理后得-k+[t-k(t2-3)] + t(t2-3)·=0
∵=0，=4，=1，
∴上式化为-4k+t(t2-3)=0，即k=t(t2-3)
(3)讨论方程t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线f(t)=t(t2-3)与直线y=k的交点个数.
于是f′(t)= (t2-1)= (t+1)(t-1).
令f′(t)=0,解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f′(t)、f(t)的变化情况如下表：
t (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+ ∞)
f′(t) + 0 - 0 +
F(t) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
当t=-1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=.
当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=-.
函数f(t)=t(t2-3)的图象如图13－2－1所示，
可观察出：
(1)当k＞或k＜-时,方程f(t)-k=0有且只有一解；
(2)当k=或k=-时,方程f(t)-k=0有两解；
(3) 当-＜k＜时,方程f(t)-k=0有三解.
【点晴】导数的应用为作函数的草图提供了新途径，方程根的个数与极值的正负有关。
【范例4】已知双曲线与点M（1，1）.
（1）求证：过点M可作两条直线，分别与双曲线C两支相切；
（2）设（1）中的两切点分别为A、B，其△MAB是正三角形，求m的值及切点坐标。
解答：（1）证明：设，要证命题成立只需要证明关于t的方程有两个符号相反的实根。
，且t≠0，t≠1。
设方程的两根分别为t1与t2，则由t1t2=m<0，知t1，t2是符号相反的实数，且t1，t2均不等于0与1，命题获证。
（2）设，由（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，从而
，即线段AB的中点在直线上。
又，AB与直线垂直。
故A与B关于对称，
设，则
有t2-2mt+m=0 ①
由及夹角公式知
，即 ②
由①得 ③
从而
由②知，代入③知
因此，。
【点晴】本题的关键在于实现了导数的几何意义和曲线切线的斜率和谐的沟通。应深切领会导数的几何意义在解析几何综合问题中的特殊作用
【文】设抛物线y=x2与直线y=x+a（a是常数）有两个不同的交点，记抛物线在两交点处切线分别为l1，l2，求值a变化时l1与l2交点的轨迹。
解答：将y=x+a代入y=x2整数得x2－x－a=0①,为使直线与抛物线有两个不同的交点，必须△= (－1)2＋4a＞0，所以a＞－
设此两交点为(α，α2)，(β, β2)，α＜β，由y=x2知y′=2x，则切线l1，l2的方程为y=2αx－α2，y=2βx－β2.
两切线交点为(x，y) 则
因为α，β是①的解，由违达定理可知α＋β=1，αβ=－a
由此及②可得x=，y=－a＜
从而，所求的轨迹为直线x=上的y＜的部分
【自我提升】
1．设曲线y＝和曲线y＝在它们交点处的两切线的夹角为θ，则tanθ＝（C ）
A．1 B． C． D．
2．函数y= f(x)的图象关于直线x=1对称，则导函数y= f (x)的图象(C)
A. 关于直线x=1对称 B. 关于直线x=-1对称
C. 关于点（1，0）对称 D. 关于点（－1，0）对称
3．函数y= f(x)在定义域内可导，其图象如图所示．记y= f(x)的导函数为y= f (x)，则不等式f (x)≤0的解集为 （ A ）
A．
B．
C．
D．
4．如果函数f(x) = ax3－x2 + x－5在(－, + )上单调递增，则实数a的取值范围是 (D)
A．(0，+ ) B． C． (，+ ) D．
5．设f (x) = x3 +bx2 + cx + d ，又k是一个常数. 已知当k < 0或 k > 4时，f (x)– k = 0只有一个实根；当0 < k < 4时，f (x)– k = 0有三个相异实根, 现给出下列命题：
(1) f (x) – 4 = 0和f (x) = 0有一个相同的实根；(2) f (x) = 0和f (x) = 0有一个相同的实根；(3) f (x)+3 = 0的实根大于f (x)– 1 = 0的任一实根；(4) f (x) + 4 = 0的实根小于f (x)– 2 = 0的任一实根.；
其中，错误命题的个数是（ D ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．设f (x)，g (x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f (x)g (x)+ f (x) g (x)>0且则不等式f (x) g (x)<0的解集是=___
7．（文）如果f(x)=x2+1，g(x)=f[f(x)],设F(x)=g(x)-f(x)，问是否存在适当的，使F(x)在上是减函数，在上是增函数？若存在，求出的值，若不存在，说明理由。
=3
8．（理）已知函数，
（Ⅰ）求的单调区间和值域；
（Ⅱ）设，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围
解：对函数f(x)求导，得
令f (x)=0解得 或
当变化时，f (x)、f(x)的变化情况如下表：
x 0
0
所以，当时，f(x)是减函数；当时，f(x)是增函数；
当时，f(x)的值域为
（Ⅱ）对函数g(x)求导，得
因此，当时，
因此当时，为减函数，从而当时有
又，，即当时有
任给，，存在使得，则
即
解式得 或
解式得
又，
故：的取值范围为
9．已知函数F(x)=|2x－t|－x3+x+1（x∈R，t为常数，t∈R）
（1）写出此函数F(x)在R上的单调区间；
（2）若方程F(x)－k=0恰有两解，求实数k的值。
解：（1）
∴
由－3x2+3=0 得x1=－1，x2=1，而－3x2－1<0恒成立
∴ i) 当<－1时，F(x)在区间(－∞，－1)上是减函数
在区间(－1，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数
ii) 当1>≥－1时，F(x)在区间(－∞，)上是减函数
在区间(，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上是减函数
iii) 当≥1时，F(x)在(－∞，+∞)上是减函数
（2）由1）可知
i) 当<－1时，F(x)在x=－1处取得极小值－1－t，
在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解，
此时m=－1－t或m=3－t
ii) 当－1≤<1，F(x)在x=处取值为，
在x=1处取得极大值3－t，若方程F(x)－m=0恰有两解，
此时m=或m=3－t
iii) 当≥1时，不存在这样的实数m，使得F(x)－m=0恰有两解
10．（理）已知0≤x≤1，n为大于1的正整数，求证：≤xn＋(1－x)n≤1
解答：设f(x)= xn＋(1－x)n ，则f (x)=n[xn-1-(1－x)n-1]，
令，得xn-1=(1－x)n-1，由于0≤x≤1，则有x=1－x，解得x=
又经比较知f(x)在[0，1]上的最小值、最大值分别为、1所以≤xn＋(1－x)n≤1
11．（理）A、B两队进行某项运动的比赛，以胜三次的一方为冠军，设在每次比赛中A胜的概率为p，B胜的概率为，又A得冠军的概率为P，冠军的概率为Q，决定冠军队的比赛次数为N.
（1）求使P－p为最大的p值；
（2）求使N的期望值为最大的p值及期望值。
（1）要决定冠军队，至少需要比赛三次，最多需要比赛5次。
解答：如果比赛3次A获冠军，A需连胜三次，其获冠军的概率为p3；
如果比赛4次A获冠军，前三次有一次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为
如果比赛5次A获冠军，前四次有两次B胜，其余三次A胜，A获冠军的概率为
于是
将代入整理得
令
即
当时，又
（2）随机变量N的概率分布为
N 3 4 5
Q
则
而
这时，
y
x
O
1
2
-1
3专题6 三角函数的求值
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．若且同时满足和，那么角θ的取值范围是（ A ）
（A） （B） （C） （D）
2．函数，若，则的所有可能值为
（ B ）
（A）1 （B） （C） （D）
3. 在△OAB中，O为坐标原点，，则当△OAB的面积达最大值时， （ D ）
（A） （B） （C） （D）
4．△ABC中，若的值为 .
5．设给出值的四个答案：
①；②；③；④.其中正确的是 ①④.
6．已知函数f(x)＝－sin2x＋sinxcosx．
(Ⅰ) 求f()的值； (Ⅱ) 设∈(0，)，f()＝－，求sin的值．
【专家解答】(Ⅰ)
(Ⅱ) ，
解得
★★★高考要考什么
【考点透视】
本专题主要涉及同角三角函数基本关系，诱导公式，两角和差公式，倍角公式，升幂缩角、降幂扩角公式等公式的应用.
【热点透析】
三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 ( http: / / www. / wxc / ) 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍 ( http: / / www. / wxc / )
★★★突破重难点
【范例1】设
（1） 若用含的式子表示;
（2） 确定的取值范围，并求出的最大值.
解析（1）由有
（2）
即的取值范围是
在内是增函数，在内是减函数.
的最大值是
【点晴】间通过平方可以建立关系，“知其一，可求其二”．
【文】已知.
（I）求sinx－cosx的值；
（Ⅱ）求的值.
解析：法1（Ⅰ）由
即
故
（Ⅱ）
法二（Ⅰ）联立方程
由①得将其代入②，整理得
故
（Ⅱ）
【点晴】此题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数在各象限符号等基本知识，以及推理和运算能力.
【范例2】已知
（1） 求 求.
解析：(1)由则
(2)由知
由
在时，与矛盾，舍去.
在时，可取.因此.
【点晴】在求值时，要注意用已知角来表示所求角，讲究拆角、配角技术。
【文】已知且求的值.
解：
由知
由知
【点睛】如果要求解的角是由一些表达式给出的，则一是考虑所求解的角与已知条件中的角的关系，尽量将所求解的角用已知条件中的角表示出来；二是考虑求该角的某个三角函数值，具体哪个三角公式，一般可由条件中的函数去确定，一般已知正切函数值，选正切函数.已知正、余弦函数值时，选正、余弦函数。若角范围是，正、余弦函数均可，若角是时，一般选余弦函数，若是时，则一般选正弦函数。
【范例3】已知的面积S 满足且与的夹角为.
(1) 求的取值范围；
(2) 求函数的最小值.
解析 （1）由题意知， ①
②
由②①，得即由得
又为与的夹角，
（2）
＝
即时，的最小值为3
【点睛】本题体现了三角函数与平面向量的灵活应用。
【变式】已知向量和且求的值.
解析 法1：
由已知，得
又
法2：
由已知，得
【点睛】解决此题的关键是的计算，有两种途径，其解法二的运算量较小，由此得到的结果，找出与的联系。
【范例4】设关于x的函数y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为f()，试确定满足f()=的a值，并对此时的a值求y的最大值 ( http: / / www. / wxc / )
解析 由y=2(cosx－)2－及cosx∈［－1，1］得
f()＝
∵f ()=,
∴1－4a=a=［2,+∞或－－2a－1=，解得a=－1，
此时，y=2(cosx+)2+，当cosx=1时，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5 ( http: / / www. / wxc / )
【点晴】 此题三角函数与二次函数的综合应用
【变式】已知f（x）=2asin2x－2asinx+a+b的定义域是［0,］，值域是［－5，1］,求a、b的值.
解析 令sinx=t，∵x∈［0，］，∴t∈［0，1］，
f（x）=g（t）=2at2－2at+a+b=2a（t－）2+b.
当a＞0时，则 解之得a=6，b=－5.
当a＜0时，则 解之得a=－6，b=1.
【点睛】注意讨论的思想
★★★自我提升
1．若θ∈（0，2π]，则使sinθ（A）（） （B）（）（C）（） （D）（）
2．已知方程x2+4ax+3a+1=0(a＞1)的两根为tanα、tanβ，且α，β∈(－)，则tan的值是( B )
（A） (B）－2 (C) (D) 或－2
3．已知角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，终边为射线4x+3y=0(x＞0)，则sinα(sinα+cotα)+cos2α的值是( C )
(A) (B) (C) (D)
4．（理）
（文）sin220°+cos280°+cos20°cos80°＝________
5．已知的展开式中x2的系数与的展开式中x3的系数相等，则
6． 是正实数，设是奇函数}，若对每个实数，的元素不超过2个，且有使含2个元素，则的取值范围是
7. 已知00<α<β<900，且sinα，sinβ是方程=0的两个实数根，求sin(β-5α)的值。
解析 由韦达定理得sinα+sinβ=cos400，sinαsinβ=cos2400-
∴ sinβ-sinα=
又sinα+sinβ=cos400 ∴
∵ 00<α<β< 900 ∴ ∴ sin(β-5α)=sin600=
【文】（1）已知8cos(2α+β)+5cosβ=0，求tan(α+β)·tanα的值；
（2）已知，求的值。
解析 （1）∵ 2α+β=(α+β)+α，β=(α+β)-α ∴ 8cos[(α+β)+α]+5cos[(α+β)-α]=0
展开得13cos(α+β)cosα-3sin(α+β)sinα=0 同除以cos(α+β)cosα得tan(α+β)tanα=
（2）∵ ∴ ∴ tanθ=2
∴
8．是否存在锐角α、β使得（1）；（2）
同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，说明理由.
解析 由，
是一元二次方程的两根，解得. 若矛盾，不合；
，，故存在满足条件.
【文】角A、B、C是ΔABC的内角，，向量，且。
（1）求sinA的值； （2）求的值。
解析（1）∵向量，
∴ ①
又 ②
由①②得 得或
又 ∴， 故
（2）∵A+B=，
∴
①②
《专题6 三角函数的求值》第8页（共8页）专题4 等差数列与等比数列
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．设数列｛an｝的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2（n∈N），则a1＋a2＋……
＋a17＝ 153 .
2．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若＝，则＝( A )
（A） （B） （C） （D）
3．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且
，．设（），则数列的前10项和等于（ C ）
（A）55 （B）70 （C）85 （D）100
4．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（ C ）
(A) (B) (C) (D)
5. 若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中：①S1与S2； ②a2与S3； ③a1与an； ④q与an．
其中一定能成为该数列“基本量”的是第 ①④ 组．(写出所有符合要求的组号)
6．设数列{an}的首项，且，记．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（III）（理）求．
【专家解答】
（I）a2＝a1+= a+，a3=a2 =a+；
（II）∵ a4 = a3+=a+， ∴ a5=a4=a+，
所以b1=a1－=a－， b2=a3－= (a－)， b3=a5－= (a－)，
猜想：{bn}是公比为的等比数列．证明如下：
因为bn+1＝a2n+1－=a2n－= (a2n－1－)=bn， (n∈N*)
所以{bn}是首项为a－， 公比为的等比数列·
（III）（理）．
★★★高考要考什么
【考点透视】
本专题主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．
【热点透析】
高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查
间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何 等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．
★★★突破重难点
【范例1】已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk = 2550．
(Ⅰ) 求a及k的值； (Ⅱ) 求(…)．
解析（Ⅰ）设该等差数列为｛an｝，则a1 = a，a2 = 4，a3 = 3a，Sk = 2550．
由已知得a＋3a = 2×4， 解得a1 = a = 2，公差d = a2－a1= 2．
由得 ，解得 k = 50．
∴ a = 2，k = 50．
（Ⅱ）由得Sn= n (n＋1)，
∴
，
∴ ．
【点睛】错位相减法、裂项相消法等等是常用的数列求和方法．
【文】是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项．
解析 由已知得， 即 ，
解得或 或
经验证 或 均满足题意，即为所求．
【点睛】若是等差数列的前n项和，则数列也是等差数列．本题是以此背景设计此题．
【范例2】已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1, a3, a15成等比数列，求数列{an}的通项an .
解析 ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)， ②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)．
当a1=3时，a3=13，a15=73． a1， a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时， a3=12， a15=72， 有 a32=a1a15 ， ∴a1=2， ∴an=5n－3．
【点睛】求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知Sn，求通项，破解方法：利用Sn-Sn-1= an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。
【文】已知等比数列的前项和为，且．
（1）求、的值及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
解析 （1）当时，．
而为等比数列，得，即，从而．
又．
（2），
两式相减得，
因此，．
【范例3】下表给出一个“三角形数阵”：
，
，，
… … … …
已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i行第j列的数为aij ( i≥j， i， j∈N*)．
(1) 求a83；
(2) 试写出a ij关于i， j的表达式；
(3) 记第n行的和为An，求
解析 （1）由题知成等差数列，且，所以公差。
又成等比数列，且．又公比都相等，∴每行的公比是．
∴．
（2）由（1）知，，∴．
（3）．
【点睛】在新颖背景——数表中运用数列知识．
【文】在等比数列{a n}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am， am+2， am+1成等差数列 ( http: / / www. / wxc / )
（1）写出这个命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明 ( http: / / www. / wxc / )
解析（１）逆命题：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am， am+2， am+1成等差数列，则 Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列 ( http: / / www. / wxc / )
（２）设{an}的首项为a1，公比为q. 由已知得2am+2= am + am+1
∴2a1qm+1=a1+a1qm ∵a1≠0 q≠0 ，∴2q2－q－1=0 ， ∴q=1或q=－ ( http: / / www. / wxc / )
当q=1时，∵Sm=ma1， Sm+2= (m+2)a1，Sm+1= (m+1)a1，
∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2， ∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列 ( http: / / www. / wxc / )
当q=－时， ，
∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 ， ∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列 ( http: / / www. / wxc / )
综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q≠1时，逆命题为真 ( http: / / www. / wxc / )
【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处．
【范例4】已知数列在直线x-y+1=0上．
（1） 求数列{an}的通项公式；
（2）若函数
求函数f (n)的最小值；
(3)设表示数列{bn}的前n项和． 试问:是否存在关于n 的整式g(n)， 使得对于一切不小于2的自然数n恒成立 若存在，写出g(n)的解析式，并加以证明;若不存在，说明理由．
解析 （1）在直线x-y+1=0上
（2） ，
，
．
（3），
．
……………………………………
故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立．
【点睛】点在直线上的充要条件是点的坐标满足直线的方程，即得递推式．第（3）小题的探索性设问也是本题的升华．
【变式】设数列是等差数列，．
（Ⅰ）当时，请在数列中找一项，使得成等比数列；
（Ⅱ）当时，若满足，
使得是等比数列，求数列的通项公式．
解析（Ⅰ）设公差为，则由，得
∵成等比数列，∴ 解得．故成等比数列．
（Ⅱ），∴，故．
又是等比数列，
则，∴，
又，∴，∴
【点睛】等差数列中寻找等比子数列是数列的重要内容．
★★★自我提升
1．在等差数列中，，则（ A ）
（A） （B） （C） （D）-1或1
2．（理）已知数列的值为（ C ）
（A） （B） （C）1 （D）－2
（文）直角三角形三边成等比数列，公比为，则的值为（ D ）
（A） （B） （C） （D）
3．设{a n}为等差数列，a 1>0 ，a 6+ a 7>0， a6 a 7<0，则使其前n项和Sn>0成立的最大自然数n是（ B ）
（A）11 （B）12 （C）13 （D）14
4．三个数成等比数列，且，则的取值范围是（ D ）
（A） （B） （C） （D）
5．令a n为的展开式中含xn项的系数，则数列{a n}的前n项和为__________．
6．这是一个计算机程序的操作说明：
（1）初始值为x=1，y=1，z=0，n=0；
（2）n＝n+1（将当前n+1的值赋予新的n）
（3）x = x+2（将当前的x=2的值赋予新的x）
（4）y =2 y （将当前2y的值赋予新的y）
（5）z = z + x y（将当前z+xy的值赋予新的z）
（6）如果z>7000，则执行语句（7），否则回语句（2）继续进行；
（7）打印n，z；
（8）程序终止．
由语句（7）打印出的数值为 n=8，z=7682 ．
7．已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上．
（Ⅰ） 求数列的通项公式；
（Ⅱ） 设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；
解析 （Ⅰ）设二次函数f (x)＝ax2+bx (a≠0)，则=2ax+b，又=6x－2，得a=3 ， b=－2， 所以 f(x)＝3x2－2x．
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5．
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5 （）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，
故Tn＝＝＝（1－）．
因此，要使（1－）<（）恒成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10．
【文】设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn..
(Ⅰ)若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.
解析：（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14, 又a11=a1+10d=0,故解得d=－2,a1=20.
因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…
（Ⅱ）由得即
由①+②得－7d＜11。即d＞－. 由①+③得13d≤－1，即d≤－.
于是－＜d≤－， 又d∈Z,故d=－1，将④代入①②得10＜a1≤12.
又a1∈Z, 故a1=11或a1=12.
所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…
8．（理）数列{}的前项和满足：
（1）求数列{}的通项公式；
（2）数列{}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．
解析：（1）当时有：
两式相减得：
∴数列{}是首项6，公比为2的等比数列．
从而
（2）假设数列{}中存在三项，它们可以构成等差数列，
因此只能是，
即
、、均为正整数，
∴（*）式左边为奇数右边为偶数，不可能成立。
因此数列{}中不存在可以构成等差数列的三项。
【文】在等差数列中，，前项和满足，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和．
解析（Ⅰ）设等差数列的公差为，由得，
所以，即，所以．
（Ⅱ）由，得．故，
当时，；
当时，，
即．
《专题4 等差数列与等比数列》第1页（共8页）专题5 点列、递归数列和数学归纳法
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．已知数列{ an }的前n项和为Sn，且Sn=2(an -1)，则a2等于( A )
A. 4 B. 2 C. 1 D. -2
2．在数列中，，且，则 35 ．
3．在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=__2 n+1-3___.
4．对正整数n，设曲线在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为，则数列的前n项和的公式是 2n+1-2 .
5．已知n次式项式.
若在一种算法中，计算的值需要k－1次乘法，计算P3（x0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），则计算P10（x0）的值共需要 65 次运算.
下面给出一种减少运算次数的算法：P0（x）=a0，Pk+1（x）=xPk（x）+ak+1（k=0，1，2，…，n－1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算Pn（x0）的值共需要 2n 次运算.
6．已知函数f (x)=，数列｜x｜(x＞0)的第一项x＝1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f (x)在处的切线与
经过（0，0）和（x,f (x)）两点的直线平行（如图）.
求证：当n时，
(Ⅰ) x
（Ⅱ）.
【专家解答】(I ) 证明：因为
所以曲线在处的切线斜率
即和两点的直线斜率是 以.
（II）因为函数，当时单调递增，
而，
所以，即 因此
又因为 令 则
因为 所以
因此 故
★★★高考要考什么
【考点透视】
本专题是等差（比）数列知识的综合应用，同时加强数学思想方法的应用，是历年的重点内容之一，近几年考查的力度有所增加，体现高考是以能力立意命题的原则．
【热点透析】
高考中常常把数列、极限与函数、方程、不等式、解析几何等等相关内容综合在
一起，再加以导数和向量等新增内容，使数列综合题新意层出不穷．常见题型：
（1）由递推公式给出数列，与其他知识交汇，考查运用递推公式进行恒等变形、
推理与综合能力．
（2）给出Sn与an的关系，求通项等，考查等价转化的数学思想与解决问题能力．
（3）以函数、解析几何的知识为载体，或定义新数列，考查在新情境下知识的迁移能力．
理科生需要注意数学归纳法在数列综合题中的应用，注意不等式型的递推数列．
★★★突破重难点
【范例1】已知数列中，对一切自然数，都有且
．
求证：(1)；
(2)若表示数列的前项之和，则．
解析： (1)由已知得，
又因为，所以, 因此，即．
(2) 由结论(1)可知 ，即，
于是，
即．
【点睛】从题目的结构可以看出，条件是解决问题的关键，必须从中找出和的关系．
【文】记
（Ⅰ）求b1、b2、b3、b4的值；
（Ⅱ）求数列的通项公式及数列的前n项和
解析（I）
整理得
（Ⅱ）由
所以
【范例2】设数列的前项的和，
（Ⅰ）求首项与通项；
（Ⅱ）设，，证明：
解析 (Ⅰ)由 Sn=an－×2n+1+, n=1,2,3，… ①
得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2.
再由①有 Sn－1=an－1－×2n+, n=2,3，4,…
将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×(2n+1－2n), n=2,3, …
整理得: an+2n=4(an－1+2n－1),n=2,3, …, 因而数列{an+2n}是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列，即an+2n = 4×4 n－1= 4 n, n=1,2,3, …, 因而an=4n－2n, n=1,2,3, …
(Ⅱ) Sn= ×(4n－2n)－×2n+1 + = ×(2n+1－1)(2n+1－2) = ×(2n+1－1)(2n－1)
Tn= = × = ×( － )
所以 = － ) = ×( － ) <
【点睛】Sn与an始终是我们的重点，需要我们引起重视；注意总结积累数列不等式放缩的技巧．
【文】设数列的前n项和为Sn，若是首项为S1各项均为正数且公比为q的等比数列.
（１）求数列的通项公式（用S1和q表示）；
（２）试比较的大小，并证明你的结论.
解析 （１）∵是各项均为正数的等比数列， ∴．
当n=1时，a1=S1； 当．
∴
（２）当n=1时，
∴．
当时，
∵
①当q=1时，
②当
③当
综上可知：当n=1时，．当
若 若
【范例3】由坐标原点O向曲线引切线，切于O以外的点P1，再由P1引此曲线的切线，切于P1以外的点P2），如此进行下去，得到点列{ Pn}}.
求：（Ⅰ）的关系式；
（Ⅱ）数列的通项公式；
（Ⅲ）当时，的极限位置的坐
解析 （Ⅰ）由题得
过点P1（的切线为
过原点
又过点Pn（的
因为过点Pn-1（
整理得
（Ⅱ）由（I）得
所以数列{xn-a}是以公比为的等比数列
（法2）通过计算再用数学归纳法证明.
（Ⅲ）
的极限位置为（
【点睛】注意曲线的切线方程的应用，从而得出递推式．
【文】数列的前项和为，已知
（Ⅰ）写出与的递推关系式，并求关于的表达式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
解析 由得，
即，所以，对成立．
由，，…，
相加得，又，所以，
当时，也成立．
（Ⅱ）由，得．
而，
，
.
【范例4】设点(，0)，和抛物线：y＝x2＋an x＋bn(n∈N*)，其中an＝－2－4n－，由以下方法得到：
x1＝1，点P2 (x2，2)在抛物线C1：y＝x2＋a1x＋b1上，点A1(x1，0)到P2的距离是A1到C1上点的最短距离，…，点在抛物线：y＝x2＋an x＋bn上，点(，0)到的距离是 到 上点的最短距离．
(Ⅰ)求x2及C1的方程．
(Ⅱ)证明{}是等差数列．
解：(Ⅰ)由题意,得A(1,0), C1：y=x2-7x+b1.
设点P(x,y)是C1上任意一点,则|A1P|=
令f (x)=(x-1)2+(x2-7x+b1)2, 则
由题意得, 即
又P2(x2,0)在C1上, ∴2=x22 -7x2+b1
解得x2=3, b1=14. 故C1方程为y=x2-7x+14.
(Ⅱ)设P(x,y)是C1上任意一点,则
|AnP|=
令g(x)=(x-xn)2+(x2+anx+bn)2,则,
由题意得,,即=0,
又∵,∴(xn+1-xn)+2n(2xn+1+an)=0(n≥1),
即(1+2n+1)xn+1- xn+2 n an =0, (*)
下面用数学归纳法证明xn=2n-1.
1 当n=1时,x1=1,等式成立.
2 假设当n=k时,等式成立,即xk=2k-1.
则当n=k+1时,由(*)知(1+2k+1)xk+1-xk+2kak=0, (*)
又ak=-2-4k-,∴.
即当n=k+1,时等式成立.
由①②知,等式对n∈N+成立,∴{xn}是等差数列.
【点睛】注意第（1）小题其实是第（2）小题的特例，对于求数列的通项公式，归纳猜想证明是十分常用的手段．
【文】已知数列满足
（I）证明：数列是等比数列；
（II）求数列的通项公式；
（II）若数列满足证明是等差数列．
解析 （I）证明：
是以为首项，2为公比的等比数列．
（II）解：由（I）得
（III）证明：
①
②
②－①，得
即 ③
④
④－③，得 即
是等差数列．
★★★自我提升
1. 设数列的前n项和为，令，称为数列，，…，的“理想数”，已知数列，，…，的“理想数”为2004，那么数列2， ，，……，的“理想数”为（A）
(A) 2002 (B) 2004 (C) 2006 (D) 2008
2. 数学拓展课上，老师定义了一种运算“*”，对于n∈N*满足以下运算性质：
(1) 2*2 = 1，(2) ( 2n + 2) * 2 = 3(2n * 2)．则2n*2用含n的代数式表示为 3n-1_
3. 若数列{an}满足若，则的值为（ B ）
(A) (B) (C) (D)
4. 弹子棋共有60颗大小相同的球形弹子，现在棋盘上将它叠成正四面体形的球垛，使剩下的弹子尽可能少，那么剩余的弹子有(B)
（A）0颗 （B）4颗 （C）5颗 （D）11颗
5. 一个机器猫每秒前进或后退一步，程序设计人员让机器猫以每前进3步，然后再后退2步的规律移动；如果将此机器猫放在数轴的原点上，面向正的方向，以1步的距离为1个单位长，令P（n）表示第n秒时机器猫所在的位置的坐标，且P（0）=0，那么下列结论中错误的是（ C）
（A）P(3)=3 （B）P(5)=1 （C）P(101)=21 （D）P(103)6. 已知函数f(x) = 2x2－x,则使得数列{}(n∈N+)成等差数列的非零常数p与q所满足的关系式为 .p=-2q
7. (理) 已知x轴上有一点列：P1(x1,0), P2(x2,0), …,Pn(xn,0),…点Pn+2 分有向线段
所成的比为λ，其中n∈N*，λ>0为常数，x1=1, x2=2.
（1）设an=xn+1－xn，求数列{a n}的通项公式；
（2）设f (λ)=x n，当λ变化时，求f (λ)的取值范围.
解析 （1）由题得
∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，
∴
∴当λ>0时
(文) 设曲线与一次函数y＝f（x）的图象关于直线 y＝x对称，若f (-1)=0，且点 在曲线上，又a1= a2．
（1）求曲线C所对应的函数解析式；
（2）求数列{a n}d的通项公式．
解析：（1）y＝x-1 (2) a n＝（n－1）！
8．（理）过P（1，0）做曲线C：y=xk(x(0,+),kN+，k>1)的切线，切点为Q1，设Q1在x轴上的投影为P1，又过P1做曲线C的切线，切点为Q2，设Q2在x轴上的投影为P2，…，依次下去得到一系列点Q1、Q2、Q3、…、Qn的横坐标为an，求证：
（Ⅰ）数列{an}是等比数列；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）
解：（Ⅰ）若切点是，
则切线方程为
当时，切线过点P（1，0）即得
当时，切线过点即得
∴数列是首项为，公比为的等比数列. …6分
（Ⅱ）
（Ⅲ）记，
则
两式相减
（文）已知曲线C：xy=1，过C上一点作一斜率为的直线交曲线C于另一点，点列的横坐标构成数列{}，其中．
（1）求与的关系式； （2）求证：{}是一等比数列.
解析：（1）过C：上一点作斜率为的直线交C于另一点，
则，于是 ．
（2）记，则
，
因为，
因此数列{}是等比数列．
y
x
《专题5 点列、递归数列和数学归纳法》 第9页（共9页）导数的概念及应用（教师版）
★★★高考在考什么
【考题回放】
1文．函数是减函数的区间为(D)
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
1（理）函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（B ）
A () B (π,2π) C () D (2π,3π)
2．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为A
A． B．
C． D．
3. 函数，已知在时取得极值，则=（B）
A.2 B.3 C.4 D.5
4. 在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是 （ D ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．曲线y x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x 2所围成的三角形的面积为______8/3____
6. 设a为实数,函数
(Ⅰ)求的极值.
(Ⅱ)当a在什么范围内取值时,曲线轴仅有一个交点.
【专家解答】：(I)=3－2－1
若=0，则==－，=1
当变化时，，变化情况如下表：
(－∞，－) － (－，1) 1 (1，+∞)
+ 0 － 0 +
极大值 极小值
∴的极大值是，极小值是
(II)函数
由此可知，取足够大的正数时，有>0，取足够小的负数时有<0，所以曲线=与轴至少有一个交点
结合的单调性可知：
当的极大值<0，即时，它的极小值也小于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(1，+∞)上。
当的极小值－1>0即(1，+∞)时，它的极大值也大于0，因此曲线=与轴仅有一个交点，它在(－∞，－)上。
∴当∪(1，+∞)时，曲线=与轴仅有一个交点
★★★高考要考什么
【考点透视】（理科）
1了解导数概念的实际背景,掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。
2熟记基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则.了解复合函数的求导法则.会求某些简单函数的导数。
3理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。
4会求一些实际问题的最值。
（文科）
1了解导数概念的某些实际背景。
2理解导数的几何意义。
3掌握函数，y=c(c为常数)、y=xn(n∈N+)的导数公式，会求多项式函数的导数。
4理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念.并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。
5会利用导数求某些简单实际问题的最值。
【热点透析】
1.考查导数的概念和某些实际背景，求导公式和求导法则。
2.导数的简单应用，利用导数研究函数的单调性和极值，复现率较高。
3.综合考查，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性、方程根的分布、解析几何中的切线问题等有机的结合在一起，设计综合试题。
★★★高考将考什么
【范例1】已知函数在处取得极值.
（1）讨论和是函数的极大值还是极小值；
（2）过点作曲线的切线，求此切线方程.
（1）解：，依题意，，即
解得. ∴.
令，得.
若，则，故
在上是增函数，
在上是增函数.
若，则，故在上是减函数.
所以，是极大值；是极小值.
（2）解：曲线方程为，点不在曲线上.
设切点为，则点M的坐标满足.
因，故切线的方程为
注意到点A（0，16）在切线上，有
化简得，解得.
所以，切点为，切线方程为.
【点晴】过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键.
【文】
已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－与x＝1时都取得极值
（1） 求a、b的值与函数f（x）的单调区间
（1） 若对x〔－1，2〕，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范围。
解：（1）f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c，f（x）＝3x2＋2ax＋b
由f（）＝，f（1）＝3＋2a＋b＝0得a＝，b＝－2
f（x）＝3x2－x－2＝（3x＋2）（x－1），函数f（x）的单调区间如下表：
x （－，－） － （－，1） 1 （1，＋）
f（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 极大值 极小值
所以函数f（x）的递增区间是（－，－）与（1，＋），递减区间是（－，1）
（2）f（x）＝x3－x2－2x＋c，x〔－1，2〕，当x＝－时，f（x）＝＋c
为极大值，而f（2）＝2＋c，则f（2）＝2＋c为最大值。要使f（x）c2（x〔－1，2〕）恒成立，只需c2f（2）＝2＋c，解得c－1或c2
【范例2】设函数，求a的取值范围，使函数f(x)在区间上是单调函数。
解：
(1)当时，恒成立， f(x)在区间上是减函数。
（2）当时，解不等式得
上f(x)是单调递减速函数
得
上f(x)是单调递增函数
综合得：当且仅当a时，f(x)在区间上是单调函数。
【点晴】由导数研究函数的单调性在学习中要引起足够的重视
【文】设，点P（，0）是函数的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.
（Ⅰ）用表示a，b，c；
（Ⅱ）若函数在（－1，3）上单调递减，求的取值范围.
解：（I）因为函数，的图象都过点（，0），所以，
即.因为所以.
又因为，在点（，0）处有相同的切线，所以
而
将代入上式得 因此故，，
（II）解法一.
当时，函数单调递减.
由，若；若
由题意，函数在（－1，3）上单调递减，则
所以
又当时，函数在（－1，3）上单调递减.
所以的取值范围为
解法二：
因为函数在（－1，3）上单调递减，且是（－1，3）
上的抛物线，
所以 即解得
所以的取值范围为
【范例3】设定义在R上的函数f(x)＝a0x4+a1x3+a2x2＋a3x(其中ai∈R，i＝0，1，2，3)，当时，f(x)取得极大值，并且函数y＝f′(x)的图象关于y轴对称。
⑴求f(x)的表达式；
⑵试在函数f (x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间[－1，1]上；
⑶求证：|f(sinx)－f(cosx)|≤)(x∈R)．
解：∵f′(x)＝4a0x3＋3a1x2＋2a2x+a3为偶函数。
∴a0＝a2＝0，∴f(x)＝a1x3＋a3x
又当x＝－时，f(x)取得极大值
∴ 解得∴f(x)＝x3－x，f′(x)＝2x2－1
⑵解：设所求两点的横坐标为x1、x2，则(2x12－1)(2x22－1)＝－1
又∵x1，x2∈[－1，1]，∴2x12－1∈[－1，1]，2x22－1∈[－1，1]
∴2x12－1，2x22－1中有一个为1，一个为－1，
∴x1＝0，x2＝±1，∴所求的两点为(0，0)与(1，－)或(0，0)与(－1，)。
⑶证明：易知sinx∈[－1，1]，cosx∈[－1，1]。
当00。
∴f(x)在[0，]为减函数，在[，1]上为增函数，
又f(0)＝0，f()＝－ ，f(1)＝－，而f(x)在[－1，1]上为奇函数，
∴f(x)在[－1，1]上最大值为，最小值为－，
∴f(sinx)∈[－，]，f(cosx)∈[－，]，
∴|f(sinx)－f(cosx)|≤|f(sinx)|＋|f(cosx)|≤…
【点晴】本题证明不等式的关键是转化为求最值问题
【文】已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。
（I）求的解析式；
（II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。
解：（I）是二次函数，且的解集是
可设
在区间上的最大值是
由已知，得
（II）方程等价于方程
设则
当时，是减函数；
当时，是增函数。
方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，
所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。
【范例4】已知函数.
（1）求函数的反函数的导数
（2）假设对任意成立，求实数m的取值范围.
解：（1）；
（2）
令：
所以都是增函数.因此当时，的最大值为的最小值为而不等式②成立当且仅当即，于是得
解法二：由得
设
于是原不等式对于恒成立等价于 ③…7分
由，注意到
故有，从而可均在
上单调递增，因此不等式③成立当且仅当
即
【点晴】求参数的取值范围，凡涉及函数的单调性、最值问题时，用导数的知识解决较简单.
【文】如图所示，曲线段OMB ： 在点（即点M）处的切线PQ交x轴于点P，交线段AB于点Q，且BA轴于A，
(I)试用t表示切线PQ的方程；
(II)求QAP的面积g（t）的最大值. 同时指出g（t）
在（m ，n）上单调递减时的最小值。
解：（I）K= = 2 t,切线方程为 y–t 2 = 2t(x-t),
即y = 2 t x - t2 ( 0 < t < 6 )
(II)在切线方程中
令y = 0得 x =
函数在上单调递增；在上单调递减
依题知的最大值是6，
故 的最小值是
【自我提升】
1函数有极值的充要条件是（ B ）
A． B． C． D．
2．过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线方程为（D）
A. B. C. D.
3． （浙江卷11）设f '(x)是函数f(x)的导函数，y=f '(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是
（理4（理）．函数的单调减区间是（ A ）
A． B． C．及 D．
4（文）.函数在闭区间[-3，0]上的最大值、最小值分别是 ( )
A.1，-1 B.1，-17 C.3，-17 D.9，-19
5． 当 时，在上是减函数．
6．过点A（2，－1）作曲线y=x3+x2－2x的切线，则切线的方程
x+y=0或x+4y+2=0或31x－y－63=0
7. 已知函数，其中是的导函数
（Ⅰ）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；
（Ⅱ）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点。
解：（Ⅰ）由题意， 令，
对，恒有，即
∴ 即，解得
故时，对满足的一切的值，都有
（Ⅱ）
①当时，的图象与直线只有一个公共点
②当时，列表：
极大 极小
∴
又∵的值域是，且在上单调递增
∴当时函数的图象与直线只有一个公共点。
当时，恒有
由题意得，即，解得
综上，的取值范围是
8.（理） 设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．
解法一：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， ……5分
(i)当a≤1时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，＋∞)上是增函数，
又g(0)＝0，所以对x≥0，都有g(x)≥g(0)，
即当a≤1时，对于所有x≥0，都有 f(x)≥ax． ……9分
(ii)当a＞1时，对于0＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，ea－1－1)是减函数，
又g(0)＝0，所以对0＜x＜ea－1－1，都有g(x)＜g(0)，
即当a＞1时，不是对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立．
综上，a的取值范围是（－∞，1]． ……12分
解法二：令g(x)＝(x＋1)ln(x＋1)－ax，
于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立． ……3分
对函数g(x)求导数：g′(x)＝ln(x＋1)＋1－a
令g′(x)＝0，解得x＝ea－1－1， ……6分
当x＞ ea－1－1时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
当－1＜x＜ea－1－1，g′(x)＜0，g(x)为减函数， ……9分
所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea－1－1≤0．
由此得a≤1，即a的取值范围是（－∞，1]．
8（文）已知函数f(x)=,其中a , b , c是以d为公差的等差数列，且a＞0,d＞0.设［1-］上，，在，将点A， B， C
(I)求
(II)若⊿ABC有一边平行于x轴，且面积为，求a ,d的值
【解析】(I):
令,得
当时, ; 当时,
所以f(x)在x=-1处取得最小值即
(II) 的图像的开口向上,对称轴方程为
由知在上的最大值为
即
又由当时, 取得最小值为
由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以
又由三角形ABC的面积为得
利用b=a+d,c=a+2d,得
联立(1)(2)可得.
解法2:
又c>0知在上的最大值为即:
又由当时, 取得最小值为
由三角形ABC有一条边平行于x轴知AC平行于x轴,所以
又由三角形ABC的面积为得
利用b=a+d,c=a+2d,得
联立(1)(2)可得
y
x
P
o
A
M
Q
o
B
o