专题7 三角函数的图象与性质
★★★高考在考什么
【考题回放】
1.已知函数（、为常数，，）在处取得最小值，则函数是（ D ）
（A）偶函数且它的图象关于点对称
（B）偶函数且它的图象关于点对称
（C）奇函数且它的图象关于点对称
（D）奇函数且它的图象关于点对称
2．定义在R上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为 （ D ）
（A） （B） （C） （D）
3．函数y = －x·cosx的部分图象是( D )
4．① 存在使
② 存在区间（a，b）使为减函数而＜0
③ 在其定义域内为增函数
④ 既有最大、最小值，又是偶函数
⑤ 最小正周期为π
以上命题错误的为____________.①②③⑤
5．把函数y=cos(x+)的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y对称，则φ的最小正值为
6．设函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0）的最小正周期为π，并且当x=时，有最大值f（）=4.
（1）求a、b、ω的值；
（2）若角、β的终边不共线，f（）=f（β）=0，求tan（+β）的值.
【专家解答】（1）由=π，ω＞0得ω=2. ∴f（x）=asin2x+bcos2x.
由x=时，f（x）的最大值为4，得
（2）由(1)得f（x）=4sin（2x+）, 依题意4sin（2α+）=4sin（2β+）=0.
∴sin（2α+）－sin（2β+）=0. ∴cos（α+β+）sin（α－β）=0
∵α、β的终边不共线，即α－β≠kπ（k∈Z）， 故sin（α－β）≠0.
∴α+β=kπ+（k∈Z）.∴tan（α+β）=.
★★★高考要考什么
【考点透视】
本专题主要涉及正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质. 掌握两种作图方法：“五点法”和变换作图（平移、对称、伸缩）；三角函数的性质包括定义域、值域（最值），单调性、奇偶性和周期性.
【热点透析】
三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来 ( http: / / www. / wxc / ) 本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用 ( http: / / www. / wxc / ) 常见题型：
1 ( http: / / www. / wxc / ) 考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用 ( http: / / www. / wxc / )
2 ( http: / / www. / wxc / ) 三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力 ( http: / / www. / wxc / ) 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强 ( http: / / www. / wxc / )
3 ( http: / / www. / wxc / ) 三角函数与实际问题的综合应用 ( http: / / www. / wxc / )
此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用 ( http: / / www. / wxc / )
★★★突破重难点
【范例1】右图为 的图象的一段，求其解析式。
解析 法1以M为第一个零点，则A=，
所求解析式为
点M（在图象上，由此求得
所求解析式为
法2. 由题意A=，，则
图像过点
即 取
所求解析式为
【点晴】1. 由图象求解析式时,”第一零点”的确定很重要,尽量使A取正值.
2. 由图象求解析式或由代数条件确定解析式时,应注意:
(1) 振幅 A=
(2) 相邻两个最值对应的横坐标之差,或一个单调区间的长度为, 由此推出的值.
(3) 确定值,一般用给定特殊点坐标代入解析式来确定.
【文】设函数图像的一条对称轴是直线。
（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；
（Ⅲ）画出函数在区间上的图像。
解析（Ⅰ）的图像的对称轴，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
由题意得
所以函数
（Ⅲ）由
x 0
y －1 0 1 0
故函数
【点晴】此题主要考查三角函数性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.
【范例2】已知函数，
（1）求它的定义域和值域；（2）求它的单调区间；（3）判断它的奇偶性；
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期。
解析 （1）由题意得sinx-cosx＞0即，
从而得，
∴函数的定义域为，
∵，故0＜sinx-cosx≤，所有函数f(x)的值域是。
（2）单调递增区间是
单调递减区间是，
（3）因为f(x)定义域在数轴上对应的点不关于原点对称，故f(x)是非奇非偶函数。
（4）∵
∴函数f(x)的最小正周期T=2π。
【点睛】此题主要是考察对数函数与三角函数复合而成的复合函数的性质
【文】已知向量= (，2)，=(，（。
（1）若，且的最小正周期为，求的最大值，并求取得最大值时的集合；
（2）在（1）的条件下，沿向量平移可得到函数求向量。
解析=，T=，
=，，这时的集合为
（2）的图象向左平移，再向上平移1个单位可得的图象，所以向量=。
【点晴】此题是三角函数与向量的综合题，主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象平移等基本知识.
【范例3】设函数的图象经过两点（0，1），（），且在，求实数a的的取值范围.
解析 由图象过两点得1=a+b，1=a+c，
当a＜1时，，
只须解得
当
要使解得，
故所求a的范围是
【点睛】 此题是恒成立问题在三角函数中的应用。恒大于问题，大于最大值；恒小于问题，恒小于最小值.
【变式】若函数的最大值为，试确定常数a的值.
解析
因为的最大值为的最大值为1，则
所以
【点晴】 此题是三角函数“合一变换”求最值的应用
【范例4】已知二次函数对任意，都有成立，设向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），当[0，]时，求不等式f（）＞f（）的解集．
解析 设f（x）的二次项系数为m，其图象上两点为（1-x，）、B（1＋x，）
因为，，所以，
由x的任意性得f（x）的图象关于直线x＝1对称，
若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．
∵ ，，，，，
，
∴ 当时，
EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，．
∵ ， ∴ ．
当时，同理可得或．
综上的解集是当时，为；
当时，为，或．
【点晴】此题是三角函数与平面向量的综合问题。利用函数的单调性解不等式是该题的重点和难点.
【变式】试判断方程sinx=实数解的个数.
解析 方程sinx=实数解的个数等于函数y=sinx与y=的图象交点个数
∵|sinx|≤1∴||≤1, |x|≤100л
当x≥0时，如右图，此时两线共有
100个交点，因y=sinx与y=都是奇函数，由对称性知当x≥0时，也有100个交点，原点是重复计数的所以只有199个交点。
【点睛】 此题主要考察数形结合解题的能力。该题在统计根的个数时，要注意原点的特殊性.
★★★自我提升
1．右图是周期为的三角函数y=f(x)
的图象，那么f (x)可以写成（ D ）
（A）sin(1+x) （B） sin(-1-x)
（C）sin(x-1) （D）sin(1-x)
2． 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ B ）
(A) 向右平移个单位长度 （B）向右平移个单位长度
（C）向左平移个单位长度 (D) 向左平移个单位长度
3．（理）函数y=sinx的定义域为[a,b]，值域为]，则b-a的最大值和最小值之和为（ B ）
（A） （B）2 （C） （D）
（文）函数f(x)=cos2x+sin(+x)是( D )
（A）非奇非偶函数 （B）仅有最小值的奇函数
（C）仅有最大值的偶函数 （D）既有最大值又有最小值的偶函数
4．给出四个命题，则其中正确命题的序号为 ( B )
① 存在一个△ABC，使得sinA+cosA=－1;
② △ABC中,A＞B的充要条件为sinA＞sinB;
③ 直线x=是函数y=sin(2x+)图象的一条对称轴；
④ △ABC中，若sin2A=sin2B,则△ABC一定是等腰三角形.
（A）①② （B）②③ （C）③④ （D）①④
5．函数y = -2sin(4x+)的图象与x轴的交点中, 离原点最近的一点的坐标是___
(, 0)
6．如果图象x2+y2≤k2至少覆盖函数的一个最大值点和一个最小值点，则正整数k 的最小值为 2.
7．已知定义在区间上的函数的图象关于直线对称，当
时，函数，其图象如图.
（1）求函数在的表达式；
（2）求方程的解.
解析 （1）当时，
函数，观察图象易得：
，即函数，由函数的图象关于直线对称得，时，函数.
∴.
（2）当时，
由得，；
当时，由得，.
∴方程的解集为
【文】已知函数的图象在轴上的截距为1，它在轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为和.
(1)试求的解析式；
(2)将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），然后再将新的图象向轴正方向平移个单位，得到函数的图象.写出函数的解析式.
解析 （1）由题意可得： ， ， ，
函数图像过（0，1）， ， ， ，
；
（2）
8．已知函数
（Ⅰ）将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标及对称轴方程
（Ⅱ）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.
解析 (1)
由=0即
即对称中心的横坐标为
（Ⅱ）由已知b2=ac，
即的值域为.
【文】（ω＞0）
（1）若f (x +θ)是周期为2π的偶函数，求ω及θ值
（2）f (x)在（0，）上是增函数，求ω最大值。
解析（1）因为f (x +θ)=
又f (x +θ)是周期为2π的偶函数， 故 Z
（2）因为f (x)在（0，）上是增函数，故ω最大值为
100л
《专题7 三角函数的图象与性质》第9页（共9页）专题10 不等式的解法及应用
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．不等式的解集是（ D ）
A． B． C． D．
2．“a＞0，b＞0”是“ab>0”的（ A ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不允分也不必要条件
3．已知函数f(x)=ax2+2ax+4(a>0),若x1A.f(x1)f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小不能确定
4．不等式的解集是 .
5．已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点，则三角形面积的最小值为 . 4
6．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．
【专家解答】（Ｉ）设椭圆方程为（），半焦距为c, 则
,,
由题意，得 ,
解得
故椭圆方程为
（II）设P(, 当时，
当时, 只需求的最大值即可。
直线的斜率，直线的斜率
当且仅当=时，最大，
★★★高考要考什么
【考点透视】
本专题主要涉及不等式的性质；两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；比较法、分析法、综合法、反证法、换元法、判别式法、放缩法等证明不等式；二次不等式、绝对值不等式、分式不等式、高次不等式等简单不等式的解法；不等式的应用．
【热点透析】
本专题热点主要体现在解含参数的分式不等式和绝对值不等式；不等式在函数、数列、导数、解析几何、三角函数等的广泛运用．
★★★突破重难点
【范例1】已知a、b、c为不等正数，且abc=1，求证：
证法一：∵a、b、c为不等正数，且abc=1，
∴
证法二：∵a、b、c为不等正数，且abc=1，
【点晴】证明本题应灵活运用条件abc=1。
【文】解关于ｘ的不等式（Ｒ）.
解：（ｘ－）（ｘ－）<０
(1) 若＝０则＝＝０，不等式变为 ｘ2<0,解集为φ；
(2) 若＝１则＝＝１ 不等式变为 ，解集为φ；
(3) 当０<<1时，>故解集为｛ｘ｜<ｘ<｝；
(4) 当<０或>１时，> 故解集为｛ｘ｜<ｘ<｝；
综上得：当＝０或＝１时解集为φ；
当０<<1时，解集为｛ｘ｜<ｘ<｝；
当<０或>１时，解集为｛ｘ｜<ｘ<｝；
【点晴】解各种不等式的基本思路是应用合适的性质把原不等式转化为整式不等式，再经过因式分解，用零点划分区间法求解，还应注意对不等式中字母进行分类讨论
【范例2】例5、设a1、a2∈R+, a1+a2=1, λ1、λ2∈R+,
求证：
证明：（法1）：左边=
==1+
a1、a2∈R+, a1+a2=1,, 又
（法2）左=
==右边
【点晴】原不等式从左边到右边如何消去a1，a2，要产生a1+a2.
【文】已知正数x,y满足x+2y=1,求的最小值。
解：，
当且仅当解得时取等号，
故所求最小值为。
【点睛】将中的1用x+2y进行代换，然后求的最小值，在使用基本不等式时一定要注意“一正，二定，三相等”。
【范例3】设，
（1）求的定义域；
（2）当时，解不等式。
解：（1）由于恒正，故所求定义域由确定，
① 当时，定义域为；
② 当时，定义域为R；
③ 当时，定义域为。
（2）当时，
，其判别式
①当即时,恒成立，所求解集为；
②当时，，
若，则变为得，
此时所求解集为;
若，则变为得，
此时所求解集为；
③当即时，的两根为：
，
若，则，
此时所求解集为
若，则，
此时所求解集为
【点睛】本题表面上涉及对数函数，但还是应转化为分式不等式进行处理。对于含参数的不等式，要充分利用不等式的性质，对参数进行讨论，做到不重不漏。
【文】如果{x|2ax2+（2-ab）x-b>0}{ x|x<-2或x>3}，其中b>0，求a、b的取值范围。
解：记A={x|2ax2+（2-ab）x-b>0}={x|（ax+1）（2x-b）>0}
记B={ x|x<-2或x>3}
①若a=0，则A={x>}，不可能有AB。
②当a<0时，由（ax+1）（2x-b）=2a（x+）（x-）>0
知（x+）（x-）<0，
此不等式的解介于-与之间的有限区间，故不可能有AB。
③当a>0时，A={x|x<-或x>}。∵AB
∴-≥-2且≤3，∴或0【点睛】尽管①与②的情形都不可能使AB，但在解题过程中必须讨论.
【范例4】设a为实数，设函数的最大值为g(a)。
（Ⅰ）设t＝，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)
（Ⅱ）求g(a)
解析：(Ⅰ)令, 要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,
∴t≥0 ①
t的取值范围是 由①得
∴m(t)=a()+t=
（Ⅱ）由题意知g(a)即为函数的最大值。
注意到直线是抛物线的对称轴，分以下几种情况讨论。
（1）当a>0时，函数y=m(t), 的图象是开口向上的抛物线的一段，
由<0知m(t)在上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2
(2)当a=0时，m(t)=t, ,∴g(a)=2.
(3)当a<0时,函数y=m(t), 的图象是开口向下的抛物线的一段，
若，即则
若，即则
若，即则
综上有
【点睛】本题以函数为背景，考查分类讨论的数学思想方法，体现不等式的工具性.
【文】已知函数，定义在上，且
证明：① ② ③
证明：① 略
② .且
,.
③不妨设由②可得---------（1）
又
---------（2）
（1）+（2）得
【点睛】采用加减某个式子后，重新组合，运用绝对值不等式的性质变形，是证明绝对值不等式的典型方法.
★★★自我提升
1．如果，那么，下列不等式中正确的是（ A ）
A. B. C. D.
2．“a＞b＞0”是“ab＜”的（ A ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不允分也不必要条件
3．设f(x)= 则不等式f(x)>2的解集为（ C ）
A.（1，2）（3，+∞） B.（，+∞）
C.（1，2） （ ，+∞） D.（1，2）
4．若且，则的最小值是（ A ）
A. B.3 C.2 D.
5．不等式的解集为 .
6．三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是
7．已知椭圆C1的方程为，双曲线C2的左、右焦点分别为C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、右焦点。
(1) 求双曲线C2的方程；
(2) 若直线l：与椭圆C1及双曲线C2恒有两个不同的交点，且l与C2的两个交点A和B满足(其中O为原点)，求k的取值范围。
解：（Ⅰ）设双曲线C2的方程为，则
故C2的方程为
（II）将
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
即 ①
.
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得
解此不等式得 ③
由①、②、③得
故k的取值范围为
【文】二次函数f（x）满足若f（x）= 0有两个实数根
（1）求正数c的取值范围; （2）求的取值范围.
解：(1)∵f(x)=0有两个不等实数根
∴△＞0 即1-4C＞0∴
(2)∵ 故 ==
∵∴.
8．已知函数f(x)=x3－x2+ + , 且存在x0∈(0, ) ,使f(x0)=x0.
（I）证明：f(x)是R上的单调增函数；
（II）设x1=0, xn+1=f(xn)；y1=, yn+1=f(yn), 其中 n=1,2,…，
证明：xn（III）证明： <
解: （I）∵f '(x)=3x2－2x+ = 3(x－)2+ >0 ， ∴f(x)是R上的单调增函数．
（II）∵0又x2=f(x1)=f(0)=>0 =x1， y2=f(y1)=f()=<=y1，综上， x1用数学归纳法证明如下:
(1)当n=1时，上面已证明成立．
(2)假设当n=k(k≥1)时有xk当n=k+1时，由f(x)是单调增函数，有f(xk)∴xk+1由(1)(2)知对一切n=1，2，…，都有xn（III） = = yn2+xnyn+xn2－(yn+xn)+ ≤(yn+xn)2－(yn+xn)+
=[(yn+xn)－]2+ ． 由(Ⅱ)知 0∴ < ()2+ =
【文】已知集合A＝，B＝.
（１）当a＝2时，求AB； （2）求使BA的实数a的取值范围.
解：（1）当a＝2时，A＝（2，7），B＝（4，5）∴ AB＝（4，5）.
（2）∵ B＝（2a，a2＋1），当a＜时，A＝（3a＋1，2）
要使BA，必须，此时a＝－1；
当a＝时，A＝，使BA的a不存在；
当a＞时，A＝（2，3a＋1）要使BA，必须，此时1≤a≤3.
综上可知，使BA的实数a的取值范围为[1，3]∪{－1}
O
F2
F1
A2
A1
P
M
《专题10 不等式的解法及应用》 第4页（共8页）专题11 直线与圆
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直，则a等于（ D ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．如果实数x、y满足条件 那么2x-y的最大值为（ B ）
A． B． C． D．
3．圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（C）
A．36 B． 18 C． D．
4．若直线y＝kx＋2与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1有两个不同的交点，则k 的取值范围是 . k(0，)
5．若半径为1的圆分别与轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为 ．
6. 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100﹪和50﹪，可能的最大亏损率分别为30﹪和10﹪. 投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
【专家解答】设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目.
由题意知 目标函数z=x+0.5y.
上述不等式组表示的平面区域如图所示，
阴影部分（含边界）即可行域.
作直线，
并作平行于直线的一组直线
与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M点，且与直线的距离最大，这里M点是直线和的交点.
解方程组 得x=4，y=6 此时（万元）.
当x=4，y=6时z取得最大值.
答：投资人用4万元投资甲项目、6万元投资乙项目，才能使可能的盈利最大.
★★★高考要考什么
【考点透视】
1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
3．了解二元一次不等式表示平面区域。
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用。
5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
【热点透析】
直线与圆在高考中主要考查三类问题：
一、基本概念题和求在不同条件下的直线方程，基本概念重点考查：
（1）与直线方程特征值（主要指斜率、截距）有关的问题；
（2）直线的平行和垂直的条件；
（3）与距离有关的问题等。
此类题大都属于中、低档题，以选择题和填空题形式出现；
二、直线与圆的位置关系综合性试题，此类题难度较大，一般以解答题形式出现；
三、线性规划问题，在高考中极有可能涉及，但难度不会大
★★★突破重难点
【范例1】已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA、PB是圆 x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值.
解法一：∵点P在直线3x+4y+8=0上. 如图1.
∴设P（x， x），C点坐标为（1，1），
S四边形PACB＝2S△PAC＝|AP|·|AC|＝|AP|·|AC|＝|AP|
∵|AP|2＝|PC|2－|AC|2＝|PC|2－1
∴当|PC|最小时，|AP|最小，四边形PACB的面积最小．
∴|PC|2＝（1－x）2＋（1＋2＋x）2＝
∴|PC|min＝3 ∴四边形PACB面积的最小值为2．
解法二：由法一知需求|PC|最小值，即求C到直线3x+4y+8=0的距离，∵C（1，1），∴|PC|==3，SPACD=2.
【点晴】求角、距离、面积等几何量问题的关键在于分析几何问题的特殊性，寻找快捷简便的方法。本题的关键在于S四边形PACB＝2S△PAC，然而转化为|PC|的最值问题。
【文】已知等腰的底边AB所在的直线方程为，顶点C的坐标是（2，2），顶角为1200，求两腰所在的直线方程及的面积.
解：设腰所在直线的斜率为k，
又，，
故一腰所在直线方程为
另一腰垂直于x轴，方程为 .S=
【范例2】过点M(2,4)作两条互相垂直的直线，分别交x、y的正半轴于A、B，若四边形OAMB的面积被直线AB平分，求直线AB方程。
解：设AB的方程为（a>0,b>0）
∴、。 ∵⊥
∴
∵a>0 0∴M到AB的距离
∴的面积
而的面积，
∵直线AB平分四边形的面积，∴，
可得
故所求AB方程为和。
【点晴】若命题中的直线与两坐标轴均有交点，应先考虑选用截距式方程是否有利。
【文】已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程
解：设点P的坐标为（x，y），由题设有，
即．
整理得 x2+y2－6x+1=0． ①
因为点N到PM的距离为1，|MＮ|＝2，
所以∠PMN＝30°，直线PM的斜率为±，
直线PM的方程为y=±（x＋1）．②
将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0．解得x＝2＋，x＝2－．
代入②式得点P的坐标为（2＋，1＋）或（2－，－1＋）；
（2＋，－1－）或（2－，1－）．
直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1．
【范例3】 已知气象台A处向西300km处，有个台风中心，已知台风以每小时40km的速度向东北方向移动，距台风中心250km以内的地方都处在台风圈内，问：从现在起，大约多长时间后，气象台A处进入台风圈？气象台A处在台风圈内的时间大约多长？
解：如图建立直角坐标系，B为台风中心，处在台
风圈内的界线为以B为圆心，半径为250的圈内，若t
小时后，台风中心到达B1点，
则B1(-300+40tCOS450,40tsin450)，
则以B1为圆心，250为半径的圆的方程为
那么台风圈内的点就应满足
。
若气象台A处进入台风圈，那么A点的坐标就应满足上述关系式，把A点的坐标(0，0)代入上面不等式，
得，解得，
即为；
所以气象台A处约在2小时后进入台风圈，处在台风圈内的时间大约6小时37分。
【点晴】做应用题的关键是寻求有效信息，建立数量之间的关系。
【文】设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.
解：设动点P的坐标为P（x，y），由=a（a>0）得=a，
化简得（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0.
当a≠1时，得x2+x+c2+y2=0. 整理得(x－c) 2+y2=()2
当a=1时，化简得x=0.
所以当a≠1时，P点的轨迹是以（c，0）为圆心，||为半径的圆；
当a=1时，P点的轨迹为y轴.
【点睛】本题考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力.
【范例4】已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）设过点P，且斜率为－的直线与曲线M相交于A、B两点.
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
（Ⅰ）法1 依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，
所以曲线M的方程为y2=4x.
法2 设M（x，y），依题意有|MP|=|MN|，
所以|x+1|=.化简得：y2=4x.
（Ⅱ）（i）由题意得，直线AB的方程为y=－（x－1）.
由消y得3x2－10x+3=0，
解得x1=，x2=3.
所以A点坐标为（），
B点坐标为（3，－2），
|AB|=x1+x2+2=.
假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，
即
由①－②得42+（y+2）2=（）2+（y－）2，
解得y=－. 但y=－不符合①，
所以由①，②组成的方程组无解.
因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.
（ii）法1：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，由
得y=2，即当点C（－1，2）时，A、B、C三点共线，故y≠2.
又|AC|2=（－1－）2+（y－）2=+y2，
|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=.
当∠CAB为钝角时，cosA=<0.
即|BC|2 >|AC|2+|AB|2，即，
即y>时，∠CAB为钝角.
当|AC|2>|BC|2+|AB|2，即，
即y<－时，∠CBA为钝角.
又|AB|2>|AC|2+|BC|2，即，
即.
该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是
.
法2：以AB为直径的圆的方程为（x－）2+（y+）2=（）2.
圆心（）到直线l：x=－1的距离为，
所以，以AB为直径的圆与直线l相切于点G（－1，－）.
当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G点不重合，且A、B、C三点不共线时，∠ACB为锐角，即△ABC中，∠ACB不可能是钝角.
因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.
过点A且与AB垂直的直线方程为.令x=－1得y=.
过点B且与AB垂直的直线方程为y+2( x－3).令x=－1得y=－.
又由解得y=2，
所以，当点C的坐标为（－1，2）时，A、B、C三点共线，不构成三角形.
因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是
y<－或y>（y≠2）.
【点晴】该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想.该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度.
【文】设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3:1；③圆心到直线l：x-2y=0的距离为。求该圆的方程。
解：设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴距离分别为|b|，|a|
由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为900，
知圆P截x轴所得的弦长为，故r2=2b2
又圆P截y轴所得的弦长为2，所以有r2=a2+1从而得2b2-a2=1
又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为，所以
即有a-2b=1，由此有
解方程组得于是r2=2b2知
所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2
★★★自我提升
1．将直线l沿x轴正方向平移两个单位，再沿y轴负方向平移3个单位，又回到了原来的位置，则l的斜率为（ B ）
A． B． C． D．
2．若，，且分别是直线l1：ax+(b-a)y-a=0，l2：ax+4by+b=0的方向向量，则a，b的值分别可以是（A）
A．2，1 B．1，2 C．-1，2 D．-2，1
3．经济学中的“蛛网理论”（如图），假定某种商品的“需求—价格”函数的图象为直线l1,“供给—价格”函数的图象为直线l2，它们的斜率分别为k1、k2，l1与l2的交点P为“供给—需求”均衡点，在供求两种力量的相互作用下，该商品的价格和产销量，沿平行于坐标轴的“蛛网”路径，箭头所指方向发展变化，最终能否达于均衡点P，与直线l1、 l2的斜率满足的条件有关，从下列三个图中可知最终能达于均衡点P的条件为( A )
A．k1+k2>0 B．k1+k2=0 C．k1+k2<0 D．k1+k2可取任意实数
4．过点P（1，2）作一直线，使此直线与点M（2，3）和点N（4，－5）的距离相等，则此直线方程为___________________4x+y-6=0或3x+2y-7=0
5．已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝，则 ＝ .
6．关于曲线C：x2+y4=1的下列说法：(1)关于点(0,0)对称；(2)关于直线x轴对称；(3)关于直线y=x对称；(4)是封闭图形，面积小于；(5)是封闭图形，面积大于；(6)不是封闭图形，无面积可言.其中正确的序号是_________________．(1)(2)(4)
7.曲线x2+y2+x-6y+3=0上两点P、Q满足：①关于直线kx-y+4=0对称；②OPOQ.求直线PQ的方程.
解：由圆上两点P、Q关于直线kx-y+4=0对称知直线kx-y+4=0经过圆心
即有
设直线PQ方程为
.
.
化简得
8. 已知△ABC的三边长分别为3、4、5，点P是它的内切圆上一点，求分别以PA、PB、PC为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。
解：△ABC为直角三角形，如图建立直角坐标系，
则A（0，0）、B（4，0）、C（0，3），设内切圆半
径为r，则r=1/2（|OC|+|OB|-|BC|）=1，故内切圆方程为
（x-1）2+（y-1）2=1，
可设P点坐标（1+cosα，1+sinα）
则以PA、PB、PC为直径的三个圆面积之和
S=（10-cosα）
当cosα=-1时，Smax=5.5π,
当cosα=1时, Smin=4.5π.
P
图1
B
A
O(A)
y
B1
B
x
o
l1
P
价格
需求/供给量
图3
l2
需求/供给量
价格
o
l1
l2
P
图1
o
l1
l2
P
价格
需求/供给量
图2
图7—12
①
②
y
C
x
《专题11 直线与圆》第1页（共8页）专题12 向量与圆锥曲线
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．点P(-3,1)在椭圆的左准线上.过点P且方向为a=(2,-5)的光线,经直线=-2反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(A )
( A ) ( B ) ( C ) ( D )
2．已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为（C）
（A） （B） （C） （D）
3．设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若且，则点P的轨迹方程是（ D ）
A． B．
C． D．
4．已知两点M（－2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足，则动点P（x，y）的轨迹方程为（ B ）
（A） （B） （C） （D）
5．若曲线y2＝|x|＋1与直线y＝kx＋b没有公共点，则k、b分别应满足的条件是
．
6．已知两定点，满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点。如果，且曲线E上存在点C，使，求m的值和ABC的面积S。
【专家解答】由双曲线的定义可知，曲线是以
为焦点的双曲线的左支，
且，易知，
故曲线的方程为
设，由方程组
消去，得
又已知直线与双曲线左支交于两点，有
解得
又∵
依题意得 整理后得
∴或 但 ∴
故直线的方程为
设，由已知，得
∴，
又，
∴点，将点的坐标代入曲线的方程，得
得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意
∴，点的坐标为，到的距离为
∴的面积.
★★★高考要考什么
【考点透视】
近几年平面向量与解析几何交汇试题考查方向为
（1）考查学生对平面向量的概念、加减运算、坐标运算、数量积及学生对平面向量知识的简单运用，如向量共线、垂直、定比分点。
（2）考查学生把向量作为工具的运用能力，如求轨迹方程，圆锥曲线的定义，标准方程和几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系。
【热点透析】
向量具有代数与几何形式的双重身份，故它是联系多项知识的媒介，成为中学数学知识的一个交汇点，数学高考重视能力立意，在知识网络的交汇点上设计试题，因此，解析几何与平面向量的融合交汇是今后高考命题改革的发展方向和创新的必然趋势。 要注意以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题以及圆锥曲线中的轨迹、范围、最值、定值、对称等典型问题。
★★★突破重难点
【范例1】设双曲线上两点A、B，AB中点M（1，2）
（1）求直线AB方程；
（2）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，那么A、B、C、D
是否共圆，为什么？
解析：（1）法一：显然AB斜率存在。 设AB：y-2=k(x-1)
由得(2-k2)x2-2k(2-k)x-k2+4k-6=0
当△>0时，设A（x1,y1），B（x2,y2），则
∴ k=1，满足△>0 ∴ 直线AB：y=x+1
法二：设A（x1,y1），B（x2,y2）， 则
两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2)
∵ x1≠x2 ∴ ∴
∴ AB：y=x+1 代入得△>0.
（2）设A、B、C、D共圆于⊙M，因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦，故圆心M为CD中点。因此只需证CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|
由得A（-1，0），B（3，4）. 又CD方程：y=-x+3
由得x2+6x-11=0. 设C(x3,y3)，D(x4,y4)，CD中点M( x0,y0)
则 ∴ M（-3，6）
∴ |MC|=|MD|=|CD|=
又|MA|=|MB|= ∴ |MA|=|MB|=|MC|=|MD|
∴ A、B、C、D在以CD中点，M（-3，6）为圆心，为半径的圆上
【点晴】第（1）小题中法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件△>0是否成立；第（2）小题此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满足所有条件，本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心。充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视。
【文】在平面直角坐标系O中，直线与抛物线y2＝2x相交于A、B两点．
（1）求证：“如果直线l过点T（3，0），那么＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
[解]（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线l的钭率不存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于
点A(3,)、B(3,－). ∴=3；
当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为，其中，
由得
又 ∵ ，
∴，
综上所述，命题“如果直线过点T(3,0)，那么=3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(,1)，此时=3,直线AB的方程为：，而T(3,0)不在直线AB上；
说明：由抛物线y2=2x上的点A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足=3，可得y1y2=－6，或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2，可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).
【范例2】已知是x,y轴正方向的单位向量，设=,
=,且满足=||.求点P(x,y)的轨迹.
解：法一：，
∴，化简得，
故点P的轨迹是以(,0)为焦点以为准线的抛物线
法二：
则表示在轴上的投影，
即点到的距离，
设F1 (-,0)，F2(,0)，
所以点P到定点F2的距离与到定直线的距离相等，
故点P的轨迹是以(,0)为焦点以
为准线的抛物线。
【点晴】将向量问题坐标化进而数量化（法一）和将向量问题几何化（法二）是两种常用转化方法，应熟练掌握。
【文】已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足||+||=4.
(1) 求点P(x,y)的轨迹C的方程.
(2) 如果过点Q(0，m)且方向向量为 =(1,1) 的直线l与点P的轨迹交于A，B两点，当AOB的面积取到最大值时，求m的值。
解：(1) =,=,且||+||=4.
点P(x,y)到点(,0)，(-,0)的距离这和为4，故点P的轨迹方程为
(2)设A(x1，y1),B(x2，y2)依题意直线AB的方程为y=x+m.代入椭圆方程，得，则+=-m, =
因此，
当时，即m=时，
【范例3】已知点A(，0)，B(，0)动点P满足
(1)若动点P的轨迹记作曲线C1，求曲线C1的方程.
(2)已知曲线C1交y轴正半轴于点Q，过点D（0，）作斜率为k的直线交曲线C1于M、N点，求证：无论k如何变化，以MN为直径的圆过点Q.
解：（1）设P(x，y)，则有
∵ ∴
得
（2）由 得Q (0，) 设直线C的方程为y=kx-
代入x2+2y2=4得 (1+2k2) x2
设M(x1，y1) N(x2，y2)
∵
又∵=
∴ ∴点Q在以MN为直径的圆上.
【点晴】直接法求轨迹是最常见的方法，要注意运用；向量是将几何问题代数化的有力工具。
【文】如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点
P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A，B两点，点
Q是点P关于原点的对称点.设点P分有向线段所
成的比为，证明:；
解：依题意，可设直线AB的方程为
代入抛物线方程得 ①
设A、B两点的坐标分别是 、
则、x2是方程①的两根. 所以
由点P（0，m）分有向线段所成的比为，得
又点Q是点P关于原点的对称点，
故点Q的坐标是（0，－m），从而.
所以
【范例4】已知A,B为抛物线x2=2py(p>0)上异于原点的两点，，点C坐标为（0，2p）
（1）求证：A,B,C三点共线；
（2）若＝（）且试求点M的轨迹方程。
（1）证明：设，由得
，
又
，
，即A,B,C三点共线。
（2）由（1）知直线AB过定点C，又由及＝（）知OMAB，垂足为M，所以点M的轨迹为以OC为直径的圆，除去坐标原点。即点M的轨迹方程为x2+(y-p)2=p2(x0，y0)。
【点晴】两个向量的平行（共线）与垂直的充要条件在解析几何中有重要应用。在解题时尤其要注意几何位置向量表达式坐标表示之间的转化。
【文】已知双曲线M：x2－y2=1，直线l与双曲线M的实轴不垂直，且依次交直线y=x、双曲线M、直线y=－x于A、B、C、D 四点，O为坐标原点．
(1) 若，求△AOD的面积；
(2) 若△BOC的面积等于△AOD面积的，求证：．
解：（1）设
得
显然,
即.
设的两
个根，有
设
由。
, 所以。
所以 , 整理，得 .
,
（2）设,
, , .
又,
★★★自我提升
1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A（3，1），B（-1，3），若点C满足，其中R，且=1，则点C的轨迹方程为( D )
A． 3x+2y-11=0 B．(x-1)2+(y-2)2=5 C． 2x-y=0 D． x+2y-5=0
2、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足||+||=4.则点P(x,y)的轨迹是.( C )
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．射线
3、中心在原点，焦点在坐标为(0，±5)的椭圆被直线3x－y－2=0截得的弦的中点的横坐标为，则椭圆方程为(C )
4、直线y=kx+1与椭圆恒有公共点，则m的取值范围是（A）.
A、m≥1且m≠5 B、m≥1 C、m≠5 D、m≤5
5、已知是x,y轴正方向的单位向量，设=, =,且满足||-||=2.则点P(x,y)的轨迹C的方程为__________.( ).
6．已知A、B为抛物线x2=2py (p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D，则①y轴上恒存在一点K，使得；②；③存在实数使得 ；④若线段AB中点P在在准线上的射影为T，有。中说法正确的为 ___________①②③④
7．已知圆x2+y2=1，双曲线(x-1)2-y2=1，直线l同时满足下列两个条件：①与双曲线交于不同两点；②与圆相切，且切点是直线与双曲线相交所得弦的中点。求直线l方程。
分析：选择适当的直线方程形式，把条件“l是圆的切线”“切点M是弦AB中点”翻译为关于参数的方程组。
法一：当l斜率不存在时，x=-1满足；
当l斜率存在时，设l：y=kx+b
与⊙O相切，设切点为M，则|OM|=1
∴ ∴ b2=k2+1 ①
由得(1-k2)x2-2(1+kb)x-b2=0
当k≠±1且△>0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），则中点M（x0，y0），
∴ y0=kx0+b=
∵ M在⊙O上 ∴ x02+y02=1 ∴ (1+kb)2+(k+b)2=(1-k2)2 ②
由①②得： 或 ∴或
法二：设M（x0，y0），则切线AB方程x0x+y0y=1
当y0=0时，x0=±1，显然只有x=-1满足；
当y0≠0时， 代入(x-1)2-y2=1得：(y02-x02)x2+2(x0-y0)2x-1=0
∵ y02+x02=1 ∴化简方程为 (1-2x02)x2+2(x02+x0-1)x-1=0
由中点坐标公式及韦达定理得：
∴2x03-x02-2x0+1=0 解之得：x0=±1(舍)，x0= ∴ y0=。
8．已知A、B为抛物线x2=2py (p>0)上两点，直线AB过焦点F，A、B在准线上的射影分别为C、D.
（1）若，求抛物线的方程。
（2）CD是否恒存在一点K，使得
解：（1）提示：记A（）、B （）设直线AB方程为代入
抛物线方程得x2-2kpx-p2=0 ，
（2）设线段AB中点P在在准线上的射影为T，
则
＝－＝－＝0
故存在点K即点T，使得
l
y
x
O
D
C
B
A
《专题12 向量与圆锥曲线》第1页（共9页）专题9 平面向量及应用
★★★高考在考什么
【考题回放】
1、如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是 （ C ）
（A）＝； （B）＋＝；
（C）－＝； （D）＋＝．
2、若与都是非零向量，则“”是“”的（ C ）
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
3、已知三点，其中为常数.若，则与的夹角为（ D ）
（A） （B）或
（C） （D）或
4、已知向量，，则的最大值为．
5、设向量，，满足，，，若｜｜=1,则
｜｜+｜｜的值是 4 .
6、设函数，其中向量，，，。
（Ⅰ）、求函数的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）、将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的。
【专家解答】
(Ⅰ)由题意得=(sinx，－cosx)·(sinx－cosx，sinx－3cosx)
＝sin2x－2sinxcosx+3cos2x＝2+cos2x－sin2x＝2+sin(2x+).
所以，f(x)的最大值为2+，最小正周期是＝.
（Ⅱ）由sin(2x+)＝0得2x+＝k，即x＝,k∈Z，
于是d＝（，－2），k∈Z.
因为k为整数，要使最小，则只有k＝1，此时d＝（―，―2）即为所求.
★★★高考要考什么
【考点透视】
本专题主要涉及向量的概念、几何表示、加法和减法，实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算，以及平面向量的数量积及其几何意义、平面两点间的距离公式、线段的定比分点坐标公式和向量的平移公式.
【热点透析】
在高考试题中，主要考查有关的基础知识，突出向量的工具作用。在复习中要重视教材的基础作用，加强基本知识的复习，做到概念清楚、运算准确，不必追求解难题。热点主要体现在平面向量的数量积及坐标运算以及平面向量在三角，解析几何等方面的应用.
★★★高考将考什么
【范例1】出下列命题：①若，则；
②若A、B、C、D是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件； ③若，则； ④的充要条件是且∥；
⑤若∥，∥，则∥。 其中，正确命题材的序号是_________________.
解析：①不正确性。两个向量长度相同，但它的方向不一定相同。
②正确。∵且，又A、B、C、D为不共线的四点，
∴ 四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形为平行四边形，
则，因此。
③正确。∵，∴、的长度相等且方向相同，又=，
∴、的长度相等且方向相同，∴、的长度相等且方向相同，故。
④不正确。当∥且方向相同，即使，也不能得到。
⑤不正确。考虑这种极端情况。
答案：②③。
【点晴】本题重在考查平面的基本概念。
【范例2】平面内给定三个向量：。回答下列问题：
（1）求； （2）求满足的实数m和n ；
（3）若∥，求实数k；
（4）设满足∥且，求
解：（1）依题意，得=3（3，2）+（-1，2）-2（4，1）=（0，6）
（2）∵，∴（3，2）=m（-1,2）+n（4,1）=（-m+4n,2m+n）
∴ 解之得
（3）∵∥，且=（3+4k，2+k），=（-5，2）
∴（3+4k）×2-（-5）×（2+k）=0，∴；
（4）∵=（x-4，y-1），=（2，4）， 又∵∥且，
∴解之得或
∴=（，）或=（，）
【点晴】根据向量的坐标运算法则及两个向量平等行的充要条件、模的计算公式，建立方程组求解。
【范例3】已知射线OA、OB的方程分别为，，动点M、N分别在OA、OB上滑动，且。
（1）若，求P点的轨迹C的方程；
（2）已知，，请问在曲线C上是否存在动点P满足条件，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由。
解：（1）设，，
则，，
所以，即。
又因为，所以 ，代入得：。
（2），所以，
因为，所以，得，
又，联立得，因为，所以不存在这样的P点。
【点晴】本题是一道综合题，重在考查向量的概念及轨迹方程的求法。
【文】设向量a＝(sinx，cosx)，b＝(cosx，cosx)，x∈R，函数f(x)＝a·(a＋b).
（Ⅰ）求函数f(x)的最大值与最小正周期；
（Ⅱ）求使不等式f(x)≥成立的x的取值集。
解：(Ⅰ)∵
∴的最大值为，最小正周期是。
（Ⅱ）由(Ⅰ)知
即成立的的取值集合是.
【点睛】本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.
【范例4】已知=（x,0），=（1，y），（+）（–）．
（I） 求点（x，y）的轨迹C的方程；
（II） 若直线l： y=kx+m (m0)与曲线C交于A、B两点，D（0，–1），且有|AD|=|BD|，试求m的取值范围．
解:（I）+=（x,0）+(1,y)=(x+, y),
–=（x, 0）(1,y)= (x,– y)
.(+)(), (+)·()=0,
(x+)( x)+y·(y)=0,
故P点的轨迹方程为．
（II）考虑方程组 消去y，得（1–3k2）x2-6kmx-3m2-3=0 (*)
显然1-3k20, =(6km)2-4(1-3k2)( -3m2-3)=12(m2+1-3k2)>0.
设x1,x2为方程*的两根，则x1+x2=，x0=, y0=kx0+m=,
故AB中点M的坐标为（，）,
线段AB的垂直平分线方程为y=（）,
将D（0，–1）坐标代入，化简得 4m=3k21,
故m、k满足 消去k2得 m24m>0, 解得 m<0或m>4.
又4m=3k21>1, 故m(,0)(4,+)．
【点睛】本题用向量语言来表达平面几何问题，是亮点。
【文】在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点，，若点C满足，点C的轨迹与抛物线交于A、B两点；
（1）求点C的轨迹方程；
（2）求证：；
（3）在x轴正半轴上是否存在一定点，使得过点P的任意一条抛物线的弦的长度是原点到该弦中点距离的2倍，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.
解：（1）设，由知，点C的轨迹为.
（2）由消y得：
设，，则，,
所以，所以，于是
（3）假设存在过点P的弦EF符合题意，则此弦的斜率不为零，设此弦所在直线的方程为,由消x得：，设，，
则，.
因为过点P作抛物线的弦的长度是原点到弦的中点距离的2倍，所以即,所以得，所以存在.
★★★自我提升
1．如图1所示，是的边上的中点，则向量（ A ）
A. B. C. D.
2．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（B）
A．（） B．（） C．（） D．（）
3. 的三内角所对边的长分别为设向量,
,若,则角的大小为（ B ）
A. B. C. D.
4．已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( B )
A.[0,] B. C. D.
5．若三点共线，则的值等于__________.
6．已知向量a=(cos,sin),b=(cos,sin),且ab，那么a+b与a-b的夹角的大小是 .
7．已知，与垂直，与的夹角为，且，，求实数的值及与的夹角．
解：设，，则；
； ；．
解得，或，对应的分别为，或，
分别代入，解得；
8．已知定点，动点在轴上运动，过点作交轴于点，并延长到点，且．
（Ⅰ）求点的轨迹；
（Ⅱ）直线与的轨迹交于两点，若，且，求直线的斜率的取值范围．
解：（1）设，则
，又，即为的中点，
因此，的轨迹方程为：，其轨迹为以为焦点的抛物线.
（2）设，与联立得：
设，则是（*）式的两根，且
由得：，即
.因此，直线方程可写为：
（*）式可化为：
而
即：
令，解得
【文】
（Ⅰ）求M()的轨迹C；
(Ⅱ)过点（0，3）作直线与曲线交于A,B两点，，是否存在直线使OAPB为矩形．
解：（Ⅰ）
设，则
因此，点的轨迹是以为焦点，长轴长为8的椭圆，其方程为
（Ⅱ）假设存在这样的直线，使得为矩形，并设
与椭圆方程联立得：
设，则是（*）的两根，
且
因为为矩形，故
则，
由此可得：
解得：
因此，当直线的斜率为时，可使为矩形．
A
B
C
D
《专题9 平面向量及应用》第4页（共7页）专题8 解三角形
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．设分别是的三个内角所对的边，则是的（ A ）
（A）充分条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而充分条件 （D）既不充分又不必要条件
2．在中，已知，给出以下四个论断：
① ②
③ ④
其中正确的是（ B ）
（A）①③ （B）②④ （C）①④ （D）②③
3．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为__________.
4．如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（）
A．和都是锐角三角形
B．和都是钝角三角形
C．是钝角三角形，是锐角三角形
D．是锐角三角形，是钝角三角形
5．己知A、C是锐角△ABC的两个内角，且tanA, tanC是方程x2-px+1-p＝0
(p≠0，且p∈R)，的两个实根，则tan(A+C)=_______，tanA,tanC的取值范围分别是___ _
和__ ___，p的取值范围是__________；(0，)；(0，)；［，1)
6．在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA.
【专家解答】 设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，
设BE=x 在ΔBDE中可得，
，解得，（舍去）
故BC=2，从而，
即 又，故，
★★★高考要考什么
【考点透视】
本专题主要考查正弦定理和余弦定理．
【热点透析】
三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 ( http: / / www. / wxc / ) 学生需要掌握的能力：
(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；
(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；
(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘 ( http: / / www. / wxc / )
★★★突破重难点
【范例1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c, b=acosC,且△ABC的最大边长为12，最小角的正弦值为。
（1） 判断△ABC的形状；
（2） 求△ABC的面积。
解析（1） b=acosC，由正弦定理，得sinB=sinAcosC, （#）
B=, sinB=sin(A+C),从而（#）式变为sin(A+C)= sinAcosC，
cosAsinC=0,又A，CcosA=0，A=，△ABC是直角三角形。
（2）△ABC的最大边长为12，由（1）知斜边=12，又△ABC最小角的正弦值为，Rt△ABC的最短直角边为12=4，另一条直角边为
S△ABC==16
【点晴】此题主要考查三角函数变换及正弦定理的应用.用正弦定理化边为角，再以角为突破口，判断出△ABC的形状，最后由已知条件求出三条边，从而求面积.
【文】在△ABC中，若tanA︰tanB＝，试判断△ABC的形状．
解析 由同角三角函数关系及正弦定理可推得
∵A、B为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．
∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝．
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形．
【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a2＋b2＝c2， a2＋b2>c2（锐角三角形），a2＋b2＜c2（钝角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．
【范例2】中，内角..的对边分别为..，已知..成等比数列，且
（1）求的值；
（2）若，求的值
解析（1）由得，由得，
（2）由得：，因，所以：，即：
由余弦定理得
于是： 故
【点晴】 以三角形为载体，以三角变换为核心，结合正弦定理和余弦定理综合考查逻辑分析和计算推理能力是高考命题的一个重要方向，因此要特别关注三角函数在解斜三角形中的灵活应用.
【文】在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，.
(1)求角A的度数；
(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.
解析
【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛.
【范例3】已知△ABC的周长为6，成等比数列，求
（1）△ABC的面积S的最大值；
（2）的取值范围．
解析 设依次为a，b，c，则a+b+c=6，b =ac．
在△ABC中得,
故有．又从而．
（１），即．
（２）
．
．
【点睛】 三角与向量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需要我们采用消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变元．主变元是解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益处的．
【变式】在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, △ABC的外接圆半径R=，且满足.
(1) 求角B和边b的大小；
(2) 求△ABC的面积的最大值。
解析 (1) 由整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB
∴sin(B+C)= 2sinAcosB ∴sinA=2sinAcosB ∴cosB= ∴B=
∵ b=2RsinB ∴b=3
(2)∵=
∴当A=时, 的最大值是 ．
【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用
【范例4】某观测站C在城A的南20 西的方向上，由A城出发有一条公路，走向是南40 东，在C处测得距C为31千米的公路上B处有一人正沿公路向A城走去，走了20千米后，到达D处，此时C、D间距离为21千米，问还需走多少千米到达A城？
解析 据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60 ．
设∠ACD = α ，∠CDB = β ．在△CDB中，由余弦定理得：
，
．
．
在△ACD中得．
所以还得走15千米到达A城．
【点晴】 运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之．
【变式】已知半圆O的直径AB=2，P为AB延长线上一点，OP=2，Q为半圆上任意一点，以PQ为一边作等边三角形PQR（P、Q、R为顺时针排列），问点Q在什么位置时，四边形OPRQ面积最大，并求这个最大面积.
解析 设
面积，
而△POQ面积S2=，
∴四边形OPRQ面积
.
【点睛】三角函数在实际问题中的应用问题.
★★★自我提升
1．在直角三角形中，两锐角为A和B，则sinA·sinB( B )
（A）.有最大值和最小值 （B）.有最大值但无最小值
（C）.既无最大值也无最小值 （D）.有最大值1但无最小值
2．已知非零向量与满足且则为（ D ）
（A）等边三角形 （B）直角三角形
（C）等腰非等边三角形 （D）三边均不相等的三角形
3．△ABC中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C的大小是 （ A ）
（A） （B） （C）或 （D）或
4.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( A )
(A)arccos (B)arcsin (C)arccos (D)arcsin
5. 已知a+1，a+2，a+3是钝角三角形的三边，则a的取值范围是 . （0，2）
6．已知定义在R上的偶函数在区间上单调递增,若
的内角A满足,则A的取值范围是 ___
7．数列{a n}中，首项a1＝2，前n项和为Sn，且.
（1）判断数列{a n}是否为等比数列，并证明你的结论？
（2）若对每个正整数n，以a n，a n+1，a n+2为边长都能构成三角形，求t的取值范围。
解析 (1)略
（2）
【文】在中，..的对边分别为..。
（1） 若a,b,c 成等比数列，求f(B)=sinB+cosB的值域。
（2） 若a,b,c 成等差数列，且A-C=，求cosB的值。
解析 (1) ∵,
当且仅当时取等号, ∵f(B)=sinB+cosB=
∵ ∴的值域为
(2) ∵∴ sinA+sinC=2sinB ∵
∴ C= ∴sin()+sin()=2sinB
展开,化简,得 , ∵, ∴
∴ cosB=
8．在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求AD∶AB的值.
解析 按题意，设折叠后A点落在边BC上改称P点，显然A、P两点关于折线DE对称，又设∠BAP=θ，∴∠DPA=θ，∠BDP=2θ，再设AB=a，AD=x，
∴DP=x.在△ABC中，∠APB=180°－∠ABP－∠BAP=120°－θ，
由正弦定理知：.∴BP=
在△PBD中，,
∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°，
∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时，sin(60°+2θ)=1，
此时x取得最小值a，即AD最小，
∴AD∶DB=2－3.
【文】在中，分别为角的对边，且满足
（１）求角大小；
（２）若，当取最小值时，判断的形状．
解析（１），
，
． ，
， ．
（２）由余弦定理，得 ．
， ．
所以的最小值为，当且仅当时取等号．此时为正三角形．
《专题8 解三角形》 第6页（共7页）
