启用前★绝密
C． D．
南充名校高 2025 届第二学期 4月考
数 学 试 卷 8. 函数 f (x) = sin2x+2 3cos2 x，若 f (x1) f (x2 ) = 1，则 x1 x2 的最小值是
2
(满分：150 分 时间：120 分钟) A． B． C． D．
6 3 2 3
二、多选题：本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求．全部选
注意事项： 对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．
1.答选择题时，必须使用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选
9. 下列说法中错误的是
涂其他答案标号．
2.答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． A．锐角是小于 90°的角 B．函数 y = sin x 的周期是
3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
4.考试结束后，将答题卡交回． C．若a∥b，b∥c，则a∥c D．若a ，b 满足 a b 且a 与b 同向，则a b
一、选择题：本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
2
10. 已知 x (0, )，sin x + cos x = ，则下列结论正确的是
1. sin17 cos43 + cos17 sin 43 = 3
1 2 3 2 + 6 5 2
A． B． C． D． A. sin 2x = B. sin x+ =
2 2 2 4 9 4 3
1
2. 已知sin = ，则sin (2023 ) = 14
3 C. 1 tan x 0 D. sin x cos x =
3
1 2 2 1 2 2
A． B． C． D． 11. 函数 f (x) = Asin ( x + )(A 0, 0, ) 的部分图象如图所示，则下列说法中正确的有
3 3 3 3 2
3 A． = 2
3. 已知扇形面积为 ，半径是 1，则扇形的圆心角是
8 7
B． ,0 为函数 f (x)的一个对称中心点
3 3 3 3 12
A． B． C． D．
16 8 4 2 5 3
C． f (x)在 , 上单调递减 2sin cos 12 4
4. 已知P(1,3)为角 终边上一点，则 =
sin + 2cos
D．可将函数cos 2x 向右平移 个单位得到函数 f (x)
A． 7 B．1 C．2 D．3 6
12. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保.明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒
5. “ = ”是“函数 y = sin(x + )为偶函数”的
2 车的工作原理（图 1）.假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图 2，将筒车
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 抽象为一个半径为 R 的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时 120 秒，当 t = 0 时，盛水筒 M 位于点
3
6. 已知sin = ,sin 2 0，则 tan 的值为 P0 (3, 3 3)，经过 t 秒后运动到点 P(x, y) ，点 P 的纵坐标满足 y = f (t) = Rsin( t + ) （ t 0， 0 ，
5 2
1 1 1 | | ），则下列叙述正确的是
A． B． C． D．3 2
2 2 3
7. 函数 f (x) = sin x ln x
2
的部分图象大致为 A．筒车转动的角速度 = rad/ s ． 60
B．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 对应的点P的纵坐标为 2 3
A． B． C．当筒车旋转100秒时，盛水筒M 和初始点P0 的水平距离为6
D．筒车在 (0,60 秒的旋转过程中，盛水筒M 最高点到 x 轴的距离的最大值为6
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二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． (1)根据图像，试求 y = Acos( x+ )+b (A 0, 0,0 )的表达式；
13. 化简：OP+PS QS =_______． (2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获 3 倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于
23℃．根据(1)中所得模型，一个 24 小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种
14. 函数 y = tan(2x )的定义域为_________．
6
商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？（忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想
12 3
15. 在△ABC 中，sin A = ， cos B = ，则cosC = ． 状态下！）
13 5
3
16. 已知 f (x) = sin( x + ) ( 0且 Z )，若 x (0, ]时， f (x) = 有唯一解，则 =______．
3 3 2
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本小题 10 分）
已知sin 2cos = 0． 21. （本小题 12 分）
4sin 2cos 已知函数 f (x) = 2sin( x + )( 0, ) 的两个相邻零点之间的距离为 ，且______(在下面两个条件中
(1)求 tan 的值； (2)求 的值． 2 2
5sin +3cos
任选择其中一个，完成下面两个问题)．
π
条件①： f (x)的关于 x = 对称； 条件②：函数 f x 为奇函数．
18. （本小题 12 分） 6 12
1 3 (1)求 f (x)的解析式；
已知 ， 为锐角，且sin = ，cos( + ) = ．
7 5
(2)将 f (x)的图象向右平移 个单位，然后再将横坐标伸长到原来 2 倍（纵坐标不变），得到函数 g(x) 的图象，
4
(1)求 sin( + ) 的值； (2)求cos 的值．
6
π
若当 x ,m 时， g(x) 的值域为 1,2 ，求实数 m 的取值范围． 6
19. （本小题 12 分）
已知函数 f (x) = sin x cos x+ cos2 x．
(1)当 x R 时，求函数 f (x)的单调减区间； (2)当 x 0, 时，求函数 f (x)的值域． 22. （本小题 12 分）
2
已知 f (x) = cos x(2 3sin x+cos x) sin
2 x ．
(1)若 f (x) =1，求cos(4x + ) 的值；
3
(2)将函数 f (x)的图像向右平移 个单位得到函数 y = h(x)的图像，若函数 y = h(x)+ k (sin x+ cos x)+5
12
20. （本小题 12 分）
在 x 0, 上有 4 个零点，求实数 k 的取值范围．
2022 年 5 月，四川南充市某日气温 y（℃）是时间 t（0 t 24，单位：小时）的函数（如图），该曲线可近 2
似地看成余弦型函数 y = Acos( x+ )+b的图象．
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参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C A C B A D A C ABCD AB ABD ACD
33 63
13、OQ 14、 x x k + ,k Z 15、 或 16、 5
3 65 65
6
17、（1） tan = 2 （2）
13
5 3 12 3 + 4
18、（1） （2）
14 35
1 1+ cos2x 2 1
19、(1) f (x) = sin 2x+ = sin 2x+ + ，
2 2 2 4 2
函数 f (x)的最小正周期为 .
5 2
(2)当 x 0, 时，2x + , ，sin 2x+ ,1 ，
2 4 4 4 4 2
2 +1 2 +1
∴ f (x) 0, ，即函数的值域为 0, .
2 2
A+b = 26
20、（1）解：根据以上数据知， ，解得b = 20， A = 6；
A+b =14
T 2
由 =15 3 =12，解得T = 24，所以 = = ；
2 T 12
3
由 x = 3时， y =14，即6cos + + 20 =14，
12
解得cos + = 1，即 + = + 2k ， k Z；
4 4
3 3
所以 = + 2k ， k Z；由0 ，解得 = ；
4 4
3
所以 y = 6cos t + + 20， t 0,24 ；
12 4
3
（2）令 y = 6cos t + + 20 23，
12 4
3 1 3
得 cos t + ，即 + 2k t + + 2k ， k Z；
12 4 2 3 12 4 3
解得 13+ 24k t 5+ 24k ， k Z；
1
当 k =1时，11 t 19，
所以 24 小时营业商家想获得最大利润，应在 t 11,19 时间段将该种商品放在室外销售，
且单日室外销售时间最长不能超过19 11= 8（小时）．
21、【详解】（1）因为函数 f (x) 的两个相邻零点之间的距离为 ，
2
2π
所以 f (x)的周期T = π，由T = = π，得 = 2，
π
选①：由 + = k + ，解得： = + kπ (k Z)，
3 2 6
π π π
因为 ，所以 = ，故 f (x) = 2sin 2x + ．
2 2 6 6
π π
选②：因为 f x 是奇函数，即 f 0 = 0，
12 12
π
所以 ,0 是 f (x)的一个对称中心，
12
π
由 + = k ，解得： = + k (k Z )，因为 ，所以 = ，
6 6 2 2 6
故 f (x) = 2sin 2x + ．
6
（2）根据题意得， g (x) = 2sin x ，
3
π
当 x ,m6
时， x ,m
3 6 3
π 7π 5 3
因为 g (x)的值域为 1,2 ，则 m ，解得： m ，
2 3 6 6 2
5 3
故实数m 的取值范围是 , ．
6 2
2 2
22、（1） f (x) = 2 3sin xcos x + cos x sin x = 3sin2x+cos2x
3 1 π
= 2 sin 2x+ cos2x = 2sin 2x + 2 2 6
π 1
若 f (x) =1，即sin 2x + = ，
6 2
2
1 1
则 cos 4x +
2
= cos 2(2x + ) =1 2sin (2x+ ) =1 2 = .
3 6 6 4 2
（2）易知h(x) = 2sin 2x，
根据题意，设 t = sin x + cos x= 2 sin(x + )，
4
3 2
因为 x 0, ，所以 x + ，所以 sin(x + ) 1，所以1 t 2 ，
2 4 4 4 2 4
所以原方程变为mt +2(t2 1)+5= 2t2 +mt +3= 0，1 t 2 ，
令 g(t) = 2t
2 +mt + 3，1 t 2
π
因为原方程有 4 个零点，而方程 t = 2 sin(x + ) 在 x 0, 有两个根，所以1 t 2 ， 4 2
所以 g(t) 在1 t 2 有两个零点，
在g(t) = 2t2 +mt +3中， =m2 24 0，
可得m 2 6 或m 2 6 ，
m m2 24
g(t) = 2t 2 +mt + 3的零点为 t = ，
4
m
1 24
m m2 24 7 2
所以 1 ，解得 m 4，
4 2
m+ m2 24
2
4
7 2
即m , 2 6 2
.
3
