8.6 空间直线、平面的垂直 同步训练（含答案）

8.6 空间直线、平面的垂直
一、单选题
1. 在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
2. 在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
3. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
4. 已知两平面的法向量分别为，，则两平面夹角为( )
A. B. C. 或 D.
5. 如图，已知四棱锥中，已知底面，且底面为矩形，则下列结论中错误的是( )
A. 平面平面 B. 平面平面
C. 平面平面 D. 平面平面
6. 在三棱锥中作平面，垂足为．
若三条侧棱、、与底面所成的角相等，则是的心；( )
若三个侧面、、与底面所成的二面角相等，则是的心：( )
若三组对棱与与与中有两组互相垂直，则是的心( )
以上三个空依次填( )
A. 外，垂，内 B. 内，外，垂 C. 垂，内，外 D. 外，内，垂
7. ，，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是．( )
A. B. C. D.
8. 三如图，四棱锥的底面为正方形，底面，则下列结论中不正确的是
A.
B. 平面
C. 与平面所成的角等于与平面所成的角
D. 与所成的角等于与所成的角
9. 在侧棱垂直底面的四棱柱中，是棱上的动点记直线与平面所成的角为，与直线所成的角为，二面角为，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在直角梯形中，，过点作交于点，以为折痕把折起，当几何体的体积最大时，则下列命题中正确的个数是( )

平面
与平面所成的角等于与平面所成的角
与所成的角等于与所成的角
A. B. C. D.
二、多选题
11. 如图是正方体的平面展开图，则关于这个正方体的说法正确的是( )
A. 与平行 B. 与是异面直线
C. 与成角 D. 与是异面直线
12. 已知，是两个不重合的平面，，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是
A. 若，，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则与所成的角和与所成的角相等
13. 下列说法不正确的是( )
A. 若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于，则直线与平面所成的角等于
B. 两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角
C. 二面角的大小范围是
D. 二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小
14. 已知正方体，动点在线段上，则下述正确的是( )
A. B. C. 平面 D. 平面
15. 如图，已知长方体中，四边形为正方形，，，，分别为，的中点，则( )
A.
B. 点、、、四点共面
C. 直线与平面所成角的正切值为
D. 三棱锥的体积为
三、填空题
16. 在长方体中，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为____．
17. 如图，在正四面体中，平面，则在平面内过点与直线成角的直线共有 ．
18. 已知直三棱柱，，，则直线与侧面所成角的正弦值是_______．
19. 已知大小为的二面角的一个面内有一点，它到二面角棱的距离为，则这个点到另一个面的距离为__________．
20. 如图，垂直于圆所在平面，为圆的直径，为圆周上不与点，重合的点，，，且，都为垂足，请写出一个与平面垂直的平面___．
四、解答题
21. 如图所示，在几何体中，四边形为直角梯形，，，底面，，，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求直线与直线所成角的余弦值；
Ⅲ求点到直线的距离．
22. 如下图，在正方体中
求证：面面
求二面角的平面角的余弦值．
23. 在三棱柱中，，平面，，分别是，的中点．
求证：平面；
求证：平面平面．
24. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，，分别为，的中点，，．
证明：；
求直线与平面所成角的正弦值．
25. 如图，已知等边的边长为，点分别是边上的点，且满足，如图，将沿折起到的位置．
求证：平面平面；
给出三个条件：；平面平面；四棱锥的体积为，从中任选一个，求平面和平面的夹角的余弦值．
1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、 ； 6、 ； 7、 ； 8、 ； 9、 ； 10、 ；
11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、 ； 15、 ； 16、 ； 17、条 ； 18、 ；
19、 ； 20、平面
21、解：Ⅰ证明：，平面，平面，
平面，
，同理可得平面，
又，平面平面，
平面，平面；
Ⅱ以为坐标原点，、、所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
，，
直线与直线所成角的余弦值为；
Ⅲ根据Ⅱ可知，，
，，
，
点到直线的距离为．
22、证明：平面，平面，
，
在正方形中，，
又，，平面，
平面，
平面，
平面平面；
如图，取的中点，连接，．
易知 ，
是的中点
，
又在正方形中，
，
为二面角的平面角．
设正方体的棱长为，
，
．
由余弦定理有
．

23、证明：，分别是，的中点．
所以，因为平面，平面，
所以平面；
因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
24、解：
证明：
在中，，，，由余弦定理可得，
则，
，
由题意可知，且，
平面，
平面，而，
，又，
．
由，，而与相交，平面，
平面，
，
，
取中点为，连接，则，，两两垂直，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
，，
又为中点，
，，
由得平面，可得可作为平面的一个法向量，
从而直线与平面所成角的正弦值为：
．
25、证明：等边中，由，
得即，
所以，又得，
在中，，
由余弦定理得，
，，
又平面， 平面，
又平面，
平面平面．
解法：若选择条件
，平面，，
平面，
，结合可知，两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则： ．
设平面的法向量为，
，
则
令则，即，
同理，平面的法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
故平面和平面的夹角的余弦值为．
解法：若选择条件平面平面，
平面平面，平面平面，
平面， 平面， ，
结合可知，两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则： ．
设平面的法向量为，
，
则
令则，即，
同理，平面的法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
故平面和平面的夹角的余弦值为．
解法：：若选择条件四棱锥的体积为，
容易求得，四边形的面积为，
又四棱锥的体积为，
所以，四棱锥的高为，
即点到底面的距离为，
又因为，
平面，，
结合可知，两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则： ，
设平面的法向量为，，，
则
令则，即，
同理，平面的法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
故平面和平面的夹角的余弦值为．