第一章 空间向量与立体几何 单元测试（含答案）

第一章 空间向量与立体几何
第I卷（选择题）
一、单选题
1. 下列命题正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
2. 若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是( )
A. B. C. D.
3. 空间向量，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
4. 一束光线自点出发，被平面反射后到达点被吸收，那么光所走的路程是( )
A. B. C. D.
5. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则．( )
A. B. C. D. 与相交但不垂直
6. 已知直线的方向向量，平面的法向量，平面的法向量，若直线平面，则直线与平面所成角的余弦值为
A. B. C. D.
7. 如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，
，是棱的中点，则直线与直线所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8. 已知四面体，是的重心，是线段上的点，且，若，则为( )
A. B. C. D.
9. 在长方体中，已知，，，为的中点，则的长等于( )
A. B. C. D.
10. 如图，正四面体中，，分别是线段的三等分点，是线段的中点，是直线的动点，则( )
A. 存在点，使成立 B. 存在点，使成立
C. 不存在点，使平面平面成立 D. 不存在点，使平面平面成立
二、多选题
11. 已知四边形是平行四边形，，，，则( )
A. 点的坐标是 B.
C. D. 四边形的面积是
12. 若构成空间的一个基底，则下列向量不能构成空间的一个基底的是
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
13. 下列结论正确的是( )
A. 直线的方向向量，平面的法向量，则
B. 两个不同的平面，的法向量分别是，，则
C. 若直线的方向向量，平面的法向量，若，则实数
D. 若，，，则点在平面内
14. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是( )
A. B.
C. 向量与的夹角是 D. 与所成角的余弦值为
15. 如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是( )
A.
B. 若为直线上的动点，则为定值
C. 点到平面的距离为
D. 过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为
第II卷（非选择题）
三、填空题
16. 已知向量，，则在方向上的投影数量为 ．
17. 已知，，，点，，在平面内，则____．
18. 若空间向量，，共面，则______________．
19. 在长方体中，，，点在侧面上若点到直线和的距离相等，则的最小值是________．
20. 如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，，若异面直线和所成角的余弦值为，则的值为 ．
四、解答题
21. 已知空间三点，，．
Ⅰ求以，为邻边的平行四边形的面积；
Ⅱ设，若，，，四点共面，求的值．
22. 如图，在四棱锥中，，，，平面平面．
求证：平面；
求二面角的余弦值．
23.已知平面的法向量为平面的法向量为求两个平面夹角的余弦值．
24. 如图，在三棱柱中，底面，，，，点，分别为与的中点．
证明：平面．
求与平面所成角的正弦值．
25. 如图，在四棱锥中，底面，四边形是正方形，且，是棱上的动点，是线段的中点：
求证：平面
是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的余弦值为若存在，请求出线段的长若不存在，请说明理由．
1、 ； 2、 ； 3、 ； 4、 ； 5、 ； 6、 ； 7、 ； 8、 ； 9、 ； 10、 ；
11、 ； 12、 ； 13、 ； 14、 ； 15、 ； 16、 ； 17、 ； 18、 ；
19、 ； 20、
21、解：Ⅰ，，，，
，
．
Ⅱ，，，，，
，，，四点共面，
存在唯一一对实数，，使得，
，解得，
．
22、解：证明：取中点，连接，如图所示：
，
，
平面平面，平面，
平面，
平面，
，
又，，平面，平面，
平面；
由得取中点，连接，，，则四边形为正方形，
则建议以为坐标原点，以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
，，则，，，，
设平面的一个法向量为，且，
则，即，
平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，且，，
则，即，取，则，，
平面的一个法向量为，
设二面角为，且为锐角，
，，
故二面角的余弦值为．
23、解：平面的法向量为平面的法向量为，
．
两个平面夹角的余弦值为．
24、证明：如图，连接，．
因为三棱柱为直三棱柱，
所以为的中点，
又因为为的中点，
所以．
又平面，平面．
所以平面．
解：以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，．
所以，，，
设平面的法向量为，
则
令，得记与平面所成角为，
则．
25、解：证明：以为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
又设，，
，，，
，，
，，
又，平面，平面，
因此平面．
由平面的一个法向量为，
又，，设平面的一个法向量为，
则，不妨令，则，，
故平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的二面角为，则，
解得或，此时点在线段的延长上，
所以，不存在这样的点．