第六章 平面向量及其应用
6.2平面向量的运算
（1）求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图6.2-2，已知非零向量，在平面内取任意一点，作，则向量叫做与的和，记作，即.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
（2）如图6.2-4，以同一点为起点的两个已知向量，以为邻边作，则以为起点的向量（是的对角线）就是与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
（3）规定.
（4）.当且仅当方向相同时等号成立.
（5）.
（6）与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.和互为相反向量..
（7）零向量的相反向量仍是零向量.
（8）.
（9）如果互为相反向量，那么；向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法.
（10）实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.当时，.
①；②；
③；④；
⑤.
（11）向量的加、减、数乘统称为向量的线性运算，线性运算的结果仍是向量.
（12）向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
（12）向量的数量积：已知两个非零向量，是平面上的任意一点，作，则叫做向量与的夹角.
（13）当时，与同向；当时，与反向；当与的夹角是，与垂直，记作.
（14）已知两个非零向量与，它们的夹角为，叫做向量与的数量积（或内积），记作.零向量与任一向量的数量积为0.
（15）两个非零向量与，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量的投影向量.
（16）数量积的性质：设与是非零向量，夹角为，是与方向相同的单位向量，则
①；②；③当与同向时，；当与反向时，；或；④；⑤；；.
6.2.1向量的加法运算
如图，已知，求作.
(1)
；
(2)
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】根据向量加法的三角形法则即可求解.
（1）
在平面内任取一点，如图所示
作则.
（2）
在平面内任取一点，如图所示
作则.
如图所示，已知正方形的边长等于1
，，，试作出下列向量并分别求出其长度.
.
【答案】做图见解析，2.
【解析】
，
又，∴延长AC到E，
使|,
则,且，
所以
如图，已知向量
(1)求作
(2)设，为单位向量，试探索的最大值．
【答案】(1)作图见解析(2)3
【解析】（1）在平面内任取一点O，作，，，，则
（2）
由向量三角不等式知，当且仅当同向时等号成立
故的最大值为3
已知用向量加法的三角形法则作出.
(1)
；
(2)
.
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【解析】(1)
(2)
请用平行四边形法则作出，
.
【答案】答案见解析
【详解】在平面内任取一点，作，，，
如图，以，为邻边作平行四边形，
再以，为邻边作平行四边形，
则，.
如图，为边长为1的正六边形，为其几
何中心.
(1)化简；
(2)化简；
(3)化简；
(4)求向量的模.
【答案】(1)(2)(3)(4)2
【解析】(1)解：根据向量的平行四边形法则得；
(2)解：根据题意，，所以；
(3)解：因为，所以；
(4)解：因为，所以，
所以
如图为正八边形，其中为正八
边形的中心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由平面向量的运算法则，可得.
故选：A.
在中，是的中点，则
等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】如图，作平行四边形，因为M是的中点，所以M也是的中点，则.
故选：C.
如图，在矩形中，为中点，那么
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为在矩形中，为中点，
所以，
所以，
故选：A
如图，正六边形中，
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】ABCDEF为正六边形，所以，，
所以.
故选：D.
如图，等腰梯形中，
，点为线段中点，点为线段的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】连接，，点为线段中点，
点为线段的中点，
,
又，
.
故选：B.
已知是正三角形，则下列等式中不成
立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】解：对于A，因为，,
所以，故正确；
对于B，因为,(为中点)，故错误；
对于C，因为(为中点),
(为中点),
所以，故正确；
对于D，因为，，
所以，故正确.
故选：B.
已知等腰的直角边长为1，为斜
边上一动点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
，显然当为斜边中点时，，此时最小为，即的最小值为.
故选：A.
化简等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
.
故选:C.
化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】(1).
(2).
(3.
向量“不共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】当向量“，不共线”时，由向量三角形的性质可得“| +|<||+||”成立，即充分性成立，
当“，方向相反”时，满足“| +| < ||+||”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，
故向量“，不共线”是“| +| < ||+||”的充分不必要条件.
故选：A.
（多选）已知，则的
值可能为（ ）
A．4 B．8
C．10 D．12
【答案】AD
【详解】解：因为，所以，
因为，所以方向相同或相反，
当同向时，，
当反向时，.
故选：AD.
一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40
km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置.
【答案】直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处
【详解】如图所示，
设，分别是直升飞机的位移，则表示两次位移的合位移，即.
在中，.
在中，，，
即此时直升飞机位于地北偏东30°方向，且距离地km处.
在静水中船的速度为，水流的速度
为，若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角).
【答案】
【详解】如图所示，
表示船速，表示水速，以、为邻边作，则表示船实际航行的方向.
所以
在中，.
所以船实际行进的方向的正切值为.
在静水中船的速度是，水流的速度是
.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
【答案】船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为
中，可得,从而得，，即可得答案.
【详解】解：设表示水流的速度，表示船实际航行的速度，表示船行驶的速度，
则四边形为平行四边形.
所以，，
因为，于是，
所以，，
故船的航行方向与水流方向成，船的实际航速为.
6.2.2向量的减法运算
如图，已知向量不共线，求作向量．
【答案】作图见解析，
【详解】如图，
在平面内任取一点O，作，．
因为，即，
所以．
如图，已知向量和向量，用三角形法则作
出.
【答案】作图见解析
【详解】解：作法：作向量，向量，则向量,
如图所示，作向量，则
如图，已知向量，求作向量：
(1)；(2)；(3)．
【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析(3)答案见解析
【详解】(1)
设，
根据数乘的几何意义可得，如图,
(2)
根据向量的减法三角形法则可得，如图，
(3)
先做出，再由向量加法的三角形法则得到，如图，
已知向量如图所示.
（1）求作向量；
（2）求作向量.
【答案】作图见解析
【详解】解：如图所示.
（1） （2）
如图，已知向量，求作下列向量：
(1)；
(2)．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
【详解】(1)
解：作，，则，则即为所求作的向量.
(2)
解：作，，则，则即为所求作的向量.
已知在边长为2的等边中，向量满足
，，则（ ）
A．2 B．
C． D．3
【答案】C
【详解】如图所示：
设点是的中点，
由题可知：
.
故选：C.
在平行四边形中，，
，则（ ）
A． B．-
C． D．
【答案】B
【详解】如图，由题可知，是中点，是三等分点，
所以，
故选：B.
在中，点在边上，
．记，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】如图，因为点在边上，，所以，
故，
又，
所以，即．
故选：B．
.
在中，已知是边上一点，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：，
则有，
可得．
故选：C.
在平行四边形中，为上任一
点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：，
在平行四边形中，，所以，
故选：B．
在四边形中，，若
，则四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
【答案】B
【详解】解：在四边形ABCD中，
因为，所以四边形ABCD为平行四边形，
又，即，
所以平行四边形ABCD为矩形，
故选：B.
在中，点是线段上靠近的三
等分点，是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】如图所示：
.
故选：B
如图，中，，，点
是的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
故选：B.
向量（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】,
故选：B
化简： （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
故选：.
①；②
；③．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】D
【详解】对①，根据向量的加法运算法则可知，故①正确；
对②，，故②正确；
对③，，故③正确.
故选：D
化简所得的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】根据平面向量减法原则，，而，
故.
故选：C
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由向量的运算法则，可得
．
故选：A.
下列化简结果错误的是（ ）
A． B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对A，原式，正确；
对B，原式，正确；
对C，原式，正确；
对D，原式，错误.
故选：D．
已知向量，且不是方向相反的向
量，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由已知必有，则所求的取值范围是．
故选：B.
若 ，则的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，且,
当同向时，取得最小值，；
当反向时，取得最大值，；
当不共线时，取得最小值，，
故 的取值范围是，
故选：C
若为相反向量，且，，则
________，________.
【答案】
【详解】因为、为相反向量，且，，则，，
因此，，.
故答案为：；.
若互为相反向量，且，
则 ， .
【答案】 0 2
【详解】若，互为相反向量，则＋＝，∴|＋|＝0；
又＝－，∴||＝|－|＝1，∴|－|＝|＋(－)|＝2.
故答案为：0；2.
6.2.3向量的数乘运算
的化简结果为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意，.
故选：B.
等于
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】依题意得：
，
故选：B.
化简______.
【答案】
【详解】.
故答案为:.
求__________．
【答案】
【详解】解：
；
故答案为：
若，，则
___________，___________，___________.
【答案】 ； ；
【详解】因为，，
所以，，.
故答案为：，，
如图所示，已知在中，是的边
上的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为是中点，
所以
故选：C．
如图，在平行四边形中，是的
中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】.
故选：C
如图所示，在中，为的中点，
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】∵在△ABC中，D为AB的中点，
∴
故选：A．
设为所在平面内一点，且满足
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】∵，所以三点共线且.如图所示：
∴，即.
故选：A.
在等腰梯形中，，分
别为的中点，为的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为在等腰梯形中，，分别为的中点，为的中点，
所以可得：．
故选：B.
已知向量是两个不共线的向量，
与共线，则（ ）
A．2 B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为与共线，所以，，
所以，
因为向量，是两个不共线的向量，所以，解得，
故选：C．
已知
，则共线的三点为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】不满足共线定理，A错误；
不满足共线定理，B错误；
，
，
不满足共线定理，C错误；
，D正确.
故选：D.
已知为不共线的向量，且
，，则（ ）
A．共线 B．共线
C．共线 D．共线
【答案】B
【详解】因为，，，
所以，，
因为，为不共线，所以为非零向量，
若存在，使得，
则，即，
因为，不共线，所以，即，此方程组无解，
故与不共线，所以不共线，故A不正确；
因为，即与共线，又与有公共点，所以共线，故B正确；
若存在，使得，则，即，
因为，不共线，所以，即，此方程组无解，
故与不共线，所以不共线，故C不正确；
若存在，使得，则，即，
因为，不共线，所以，即，此方程组无解，
故与不共线，所以不共线，故D不正确.
故选：B
设向量不共线，向量与同
方向，则实数的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由向量共线定理得
存在一个实数使成立，即
则，解得或，
又因为向量与同方向，所以，
即，
故选：.
已知是平面内的一组基底，
，，，若三点共线，则实数的值为（ ）
A． B．0
C．1 D．2
【答案】A
【详解】因为，，，
所以，
，
又因为A，B，C三点共线，
所以，即，
所以，解得，
故选：A
在中，是三角形内一点，如果满足
，，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
【答案】A
【详解】表示与同向的单位向量，表示与同向的单位向量，
故表示起点为，终点在的平分线上的向量，
又，，与共起点，且为同向的向量，
则点也在的角平分线上，故点的轨迹一定经过三角形的内心.
故选：A.
已知是所在平面上的一点，若
，则点是的（ ）
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
【答案】C
【详解】作BD∥OC，CD∥OB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)，
∴，
又，可得=-，∴=-，
∴A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在△ABC的中线上.∴点O为三角形ABC的重心.
故选：C.
已知是所在平面上一点，若
，则是的（ ）
A．重心 B．外心
C．内心 D．垂心
【答案】B
【详解】因为，则，所以，是的外心.
故选：B.
已知是不在同一直线上的三个
点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．重心
C．垂心 D．内心
【答案】B
【详解】解：如图，取的中点，连接，
则．又，
，即．
又，
点在射线上．
故的轨迹过的重心．
故选：B．
已知是平面上一个定点，是平面
上三个不共线的点，动点满足条件，则点的轨迹一定通过的___________心.
【答案】内
【详解】分别表示方向的单位向量，
令，，
则，
即.
又，以为一组邻边作一个菱形，则点P在菱形的对角线上，
所以点P在角平分线上所以动点P的轨迹一定通过的内心.
故答案为：内
（1）已知的外心为，且
，则______．
（2）已知的重心为，且，则______．
（3）已知的重心为，且，为中点，则____．
【答案】 ; ;
【详解】（1）解：由题意得：如图
过O作，垂足为，则是的中点
，，
又，
（2）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成两部分
，
（3）根据重心的性质，知重心将相应的中线分成两部分
，
故答案为：（1）（2）（3）
已知点是所在平面内一点，若
，则与的面积之比是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由
可得，即点P在线段BC上，且
则与的面积之比等于
故选：B
已知点为内一点，且
，则与的面积之比为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设AC的中点是M，BC的中点是N，
由题有，即，，
所以O在△ABC中位线MN上，且O为靠近N的三等分点，
设S△ONC=k，则S△OMC=2k，S△OAC=4k，S△ABC=12k
所以.
故选：B.
在中，为上的一点，且
，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为在中，P为AB上的一点，且，
所以，
所以，
因为，
所以，，
故选：A
如图，在中，是中点，
，则________．
【答案】
【详解】解：；
又，根据平面向量基本定理得：，；
．
故答案为：．
已知正方形中，是的中点，
，则________
【答案】
【详解】解：令则，
有∵，∴，
∴ 解得：
∴
6.2.4向量的数量积
已知向量，，若与的夹角为，则
为（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】B
【详解】因为向量，，若与的夹角为，
所以，
故选：B.
已知平面向量的夹角为，且
，则（ ）
A．4 B．
C．8 D．
【答案】C
【详解】因为平面向量的夹角为，且，
所以，
故选：C
己知向量的夹角为，且满足
，则____________.
【答案】 1.
【详解】因为向量的夹角为，且，
所以.
已知，与的夹角为60°，
求：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【详解】（1）；
（2）；
（3）
已知非零向量满足，
，则______.
【答案】
【详解】∵，∴，即
又，∴，解得.
故答案为：
已知，向量与的夹角为，则
__________．
【答案】
【详解】因为，向量与的夹角为，
所以
，
故答案为：
设向量的夹角为，且，
，则_________．
【答案】
【详解】解：因为向量、的夹角为，且，，
所以，
所以.
故答案为：
已知向量满足，则
( )
A．4 B．3
C．2 D．0
【答案】B
【详解】﹒
故选：B．
已知向量满足，它们的夹角
为，则（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】C
【详解】由题意，向量满足，它们的夹角为，
则.
故选：C.
已知，，且向量与的夹角为
，则______.
【答案】-268
【详解】.
故答案为：
已知平面向量的夹角为，且.
若，则______.
【答案】11
【详解】因为平面向量，的夹角为，且，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，
故答案为：11.
已知向量满足,，与的夹
角为，，则_______．
【答案】2
【详解】因为，所以，即.
又，,与的夹角为，则，
所以．
故答案为：2.
若单位向量满足，且
，则实数的值为___________.
【答案】6
【详解】因为，所以，因为，所以，
即，又是单位向量，所以，即.
故答案为：
已知向量满足，，且的夹
角为．若，求实数的值；
【答案】
【详解】
解：因为，
所以，
所以，解得．
设平面向量均为单位向量，则
“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】因为
，
所以“”是“”的充分必要条件，
故选：C.
若非零向量满足，，则
向量夹角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，所以，
又因为，所以，解得，
因为，所以.
故选：C.
已知向量，且，则两向
量的夹角的大小为（ ）
A．30° B．60°
C．120° D．150°
【答案】C
【详解】解：设向量的夹角为，则，
因为，所以.
故选：C
若向量满足，，
，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由已知得，，，
，所以.
故选：C．
已知向量满足
，则向量与所成的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，，
解得，所以，
因为，所以向量与所成的夹角为，
故选:B．
已知是单位向量，且，则与
的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：因为是单位向量，
所以，
又因为，
所以，
即，
所以，
又，
所以与的夹角为.
故选：D.
已知平面向量满足，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以，
又，所以，
所以，故B，C，D错误.
故选：A.
若单位向量满足，则
的夹角为（ ）
A． B．
C． D．0
【答案】B
【详解】原式两边平方得，
解得，即。
故选：B．
已知非零向量满足，则向量
与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，所以，所以，
由得，所以，
设向量与的夹角为，则，
又，所以．
故选：B.
已知两个单位向量的夹角为，则与
的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，，
设与的夹角为，则，又，则与的夹角为.
故选：A.
已知向量满足，则
( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】，，，
．
，
∴．
故选：D．
平面上不共线的向量，其夹角两两
相等，且，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为平面上不共线的向量，，，其夹角两两相等，
所以向量，，间的夹角均为，不妨设
所以，
，
所以，
因为，所以，即与的夹角为.
故选：A
已知向量满足
，则向量与夹角的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意知，可得，
又由，可得，
则，
即，即，
所以，
当且仅当时，等号成立，
所以向量与夹角的最大值是.
故选：B.
若两个非零向量满足
，则与的夹角___________.
【答案】
【详解】设向量与的夹角为，
若，则，
变形得 ，
所以 且 ，
则 ，故 ，
又 ，则.
故答案为:.
设向量，满足，，与的夹角
为，则（ ）
A． B．
C．4 D．
【答案】A
【详解】解：因为，，与的夹角为，
所以，
所以，
所以．
故选：A．
已知向量满足，，且
的夹角为30°，则（ ）
A． B．7
C． D．3
【答案】C
【详解】由题意得：，
所以.
故选：C
已知向量与的夹角为，，
，则___________.
【答案】
【详解】解：因为向量与的夹角为，，，
所以，
所以
故答案为：
已知平面向量与的夹角为，且
，则 .
【答案】2
【详解】因为平面向量与的夹角为，且，，
所以，
所以.
故答案为：2.
已知向量满足，且，
则_____.
【答案】1
【详解】因为，所以，，则．
故答案为：1.
已知向量是非零向量，是单位向量，
的夹角为，且，则（ ）
A． B．
C．1 D．2
【答案】A
【详解】因为，
所以，即，
因为是单位向量，的夹角为，
所以，
因为向量是非零向量，
所以，
故选：A
已知平面向量满足，则在方
向上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】在方向上的投影向量为
故选：C.
已知单位向量满足，则在
方向上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为是单位向量，所以，故，
由得，即，则，即，得，
设与的夹角为，则在方向上的投影向量为.
故选：B.
已知平面向量，满足，，
与的夹角为，在方向上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】C
【详解】由在方向上的投影向量为.
故选：C
已知是两个互相垂直的单位向量，则
向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，是两个互相垂直的单位向量，
所以，且，
所以，
所以向量在向量上的投影向量为.
故选：B
已知向量的夹角为，且
，则向量在向量方向上的投影是（ ）
A． B．3
C． D．1
【答案】D
【详解】由，，，
，，，
解得，所以向量在向量方向上的投影为，
故选：D.
已知向量满足，，则向
量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】依题意，，向量在向量方向上的投影向量为．
故选：A
平面中两个向量满足，，
则在方向上的投影向量为（ ）
A．2 B．
C． D．-2
【答案】B
【详解】由题意得：，
故在方向上的投影向量为 ，
故选：B
已知向量，在方向上的投影向量为，
则（ ）
A．4 B．8
C． D．
【答案】C
【详解】由得，根据在方向上的投影向量为，可知在方向上的投影为，故根据数量积的几何意义，等于与在方向上的投影的乘积，故，
故选：C
已知，，向量在方向上投影向
量是，则为（ ）
A．12 B．8
C．-8 D．2
【答案】A
【详解】在方向上投影向量为，
，.
故选：A
设向量与满足，在方向上的投
影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2 B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为在方向上的投影向量为，
所以，
所以，
因为与垂直，
所以，
即，解得.
故选：B.
已知向量满足， 且
向量在向量上的投影向量为， 则的模为____________．
【答案】
【详解】解：因为向量在向量上的投影向量为，
所以，即，解得
故答案为：
已知，若向量在向量上的投影向
量为，则______.
【答案】2
【详解】设，的夹角为，则，
因为向量在向量上的投影向量为，
所以，所以.
故答案为：2.
已知向量满足，且向量在向
量上的投影向量为，则__________.
【答案】
【详解】解：设向量的夹角为，
因为向量在向量上的投影向量为，所以，
又，解得：，
因为，
所以.
故答案为：.
若，，和的夹角为，则在的
方向上的投影向量的模长为（ ）
A． B．
C．2 D．4
【答案】C
【详解】，，和的夹角为，
则在的方向上的投影向量的模长为
故选：C
已知向量满足，其中是
单位向量，则在上的投影为（ ）
A．1 B．
C． D．
【答案】A
【详解】∵，，∴，∴，∴在方向上的投影的数量是.
故选：A
已知向量和的夹角为，，则在
上投影的数量为（ ）
A．1 B．2
C． D．
【答案】A
【详解】根据向量在向量上投影可知，在上投影的数量为．
故选：A
向量在向量方向上的数量投影为，且
，则______．
【答案】
【详解】根据题意，设与的夹角为，则在向量方向上的数量投影为，即，
所以．
故答案为：.
已知与的夹角为.
(1)求；
(2)求在上的投影向量的模长.
【答案】(1)；
(2).
【详解】(1)
.
(2)
因为，所以在上的投影向量的模长为.
课后练习
6.2.1
已知向量如图，求作.
【答案】答案见解析
【详解】在平面内任取一点O，作，如图，则由向量加法的三角形法则，
得.
如图，已知正方形的边长等于1，，，，试作向量:
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【详解】(1)在正方形ABCD中，.
连接BD，箭头指向B，则即为.
(2)过B作BF∥AC，交DC的延长线于F，连接AF，则四边形ABFC为平行四边形，
故.
在△ADF中，，
故即为所求.
已知，用向量减法作出.
(1)
(2)
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】可以把 看做 ，依题意作图即可；
(1)
依题意作上图，其中 ；
(2)
依题意作上图，其中 ；
如图，已知向量和向量，用三角形法则作出.
【答案】答案见解析.
【详解】作法：作向量＝，向量＝，则向量＝－；作向量＝，则＝－＋.
如图，已知向量不共线，作向量．
【答案】答案见详解.
【详解】由向量加法的三角形法则，
++如图，
如图所示，试分别作出向量．
【答案】答案见解析
【详解】如图，以为邻边作平行四边形，根据平行四边形法则，可知就是．
以为邻边作平行四边形，根据平行四边形法则，可知就是．
所以，.
已知向量如图，求作向量.
【答案】答案见解析
【详解】在平面内任意取一点O，作，则.
如图，已知向量，求作和向量.
【答案】答案见解析
【详解】
三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图
（1）在平面内任取一点O，作，；
（2）作平行四边形AOBC，则；
（3）再作向量；
（4）作平行四边形，则＝，即即为所求.
如图，已知向量.
(1)求作.
(2)设，为单位向量，试探索的最大值.
【答案】(1)答案见解析
(2)3
【详解】(1)
（1）在平面内任取一点O，作，，，，
则.
(2)
（2）在平面内任取一点O，
作，
则，
因为为单位向量，
所以点B在以A为圆心的单位圆上(如图所示)，
由图可知当点B在点B1时，即O，A，B1三点共线时，
最大，最大值是3.
6.2.2
如图，已知为两个非零向量．
(1)求作向量及；
(2)向量成什么位置关系时，？（不要求证明）
【答案】(1)作图见解析；
(2)，相互垂直.
【详解】(1)
将向量，的起点平移到重合的位置，再由向量加减法的平行四边形法则可得、，如下图示：
(2)
要使，由（1）所得图知：平行四边形的两条对角线相等，
所以，当平行四边形为矩形时成立，故，相互垂直.
如图，为内一点，.求作：
(1)；
(2).
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】(1)
设是的中点，连接并延长，使.
+-.
(2)
--=-（+）.
如图，已知向量，求作向量．
【答案】见解析
【详解】由向量减法的三角形法则，
令,则,
令,所以.如下图中即为.
已知是所在平面内一点，且，那么（ ）
A．点在的内部
B．点在的边上
C．点在边所在的直线上
D．点在的外部
【答案】D
【详解】因为，所以四边形OACB为平行四边形．从而点O在的外部．
故选：D
如图，在平行四边形中，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意得，.
故选：B.
如图，四边形是平行四边形，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意得，，
所以.
故选：D.
（多选）已知点分别是的边的中点，则下列等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】对于A,，故A正确；
对于B,，故B正确；
对于C,因为D，E，F分别是的边，，的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，即，故C正确；
对于D,因为F为的中点，所以，所以，故D错误．
故选:ABC．
如图，分别是梯形的边的中点，化简下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)；(2).
【详解】（1）；
（2）.
下列向量运算结果错误的是（ ）
A． B．
C．= D．
【答案】A
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确；
故选：A
在中，分别是的中点，则___________.
【答案】
【详解】利用三角形中位线定理知，
所以.
故答案为：
如图，是两条对角线的交点，则下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由向量减法的运算可得，
又因为四边形为平行四边形，所以.
故选：D.
如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对于A选项，，A错；
对于B选项，，B错；
对于C选项，，C对；
对于D选项，，D错.
故选：C.
如图，等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由图可知.
故选：C.
如图，已知平行四边形的对角线和相交于，且 ， ，则可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】在平行四边形ABCD中，依题意，，而，
所以.
故选：D
如图，在中，，，用表示向量，．
【答案】，
【详解】解：在中，，，所以，
已知四边形是边长为的正方形，求：
(1)；
(2)
【答案】(1)(2)2
【详解】利用向量的加减法法则化简向量即可解决问题.
（1）四边形是边长为的正方形，
（2）
在平行四边形中，等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：.
故选：D.
如图所示，梯形中，，且，分别是和的中点，若，试用表示.
【答案】，，
【详解】如图所示，连接，
因为，且，分别是和的中点，
则四边形是平行四边形，
所以，
，
.
如图，在中，是的中点．设，，试用表示．
【答案】
【详解】根据向量的加法，减法及数乘运算法则可得：
如图所示，解答下列各题：
(1)用表示；
(2)用表示；
(3)用表示；
(4)用表示.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
已知四边形是边长为2的正方形，求：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)
如图：
(2)
如图，根据图示填空：
（1）______；（2）______；
（3）______；（4）______；（5）______．
【答案】
【详解】解：由平面向量的加法和减法法则得：
（1）在中，，即 ；
（2）在中，，即；
（3）在四边形ABCD中，，即；
（4）在五边形ABCDE中，，即；
（5）在四边形ABCD中，，即，
所以.
（多选）如图，分别是的边的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】解：因为D，E，F分别是的边AB，BC，CA的中点，
所以,且，，且，
所以，，
所以，
故选：BCD.
中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象.如图（1）是八卦模型图，将其简化成图（2）的正八边形，若，则______.
【答案】
【详解】在中，设，，
则，所以，
所以
.
故答案为：
计算：_________．
【答案】
【详解】.
故答案为：.
化简（1）
（2）；
（3）．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）方法一(统一成加法)：
方法二(利用)：
（2）．
（3）
计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】(1).
(2).
化简.
(1)；
(2).
【答案】(1)；
(2).
【详解】(1)
；
(2)
化简：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【详解】(1).
(2).
化简：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
解：；
（2）
解：.
计算：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
原式=
.
（2）
原式=
.
化简下列各式：
(1)；
(2).
【答案】(1)(2)
【详解】（1）
；
（2）
向量可以写成：①；②；③；④.
其中正确的是________(填序号).
【答案】①④
【详解】①；
②；
③；
④；
故答案为：①④
（多选）化简以下各式，结果为的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D不正确.
故选：ABC.
（多选）下列各式中能化简为的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】对于A：，故A 错误；
对于B：，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D正确.
故选：BCD
6.2.3
已知向量，则___________．
【答案】
【详解】根据向量的运算法则，可得.
故答案为：.
已知，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】.
故选：A.
＝_______．
【答案】
【详解】根据向量的运算法则，可得：
.
故答案为：.
___________.
【答案】
【详解】.
故答案为：
化简：________.
【答案】
【详解】
故答案为：
化简：___________.
【答案】
【详解】解：，
，
，
故答案为：
化简：
（1）；
（2）.
【答案】（1）；（2）.
【详解】解：（1）原式
.
（2）原式，
.
若为已知向量，且，则_____________.
【答案】
【详解】∵，∴，化简得，
∴.
故答案为：.
在中，是边上的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为是边上的中点，
所以，
故选：C
如图，设是线段的三等分点（点靠近点），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】根据题意，，又与方向相同，∴，故A错误；
，又与方向相反，∴，故B正确；
，又与方向相反，∴，故C错误；
，又与方向相反，∴，故D错误.
故选：B.
如图，平行四边形的对角线交于，若，，用表示为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】．
故选：D．
在中，若分别为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为是的中点，所以.
因为是的中点，所以.
所以，
故选：C.
在梯形中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题意得．
故选：B.
正方形中， 点是的中点， 点是 的一个三等分点， 那么 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：∵点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，
∴．
故选：D．
如图，已知分别是矩形的边的中点，与交于点，若，用表示________.
【答案】
【详解】
.
故答案为：
(多选)在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】
.
故选：ABD
(多选)在中，，记，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】解：因为，，
所以，
所以，.
故选：AC.
(多选)在等边中，
与交于点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】解：因为，所以，故选项A正确；
因为，所以，故选项B错误；
由于B，E，F三点共线，所以．
又，从而解得故选项C正确；
，故选项D错误．
故选：AC
已知的重心为，经过点的直线交于，交于，若，，则________.
【答案】3
【详解】
如图，设F为BC的中点，则，又，，
则，又G，D，E三点共线，∴，即.
故答案为：3.
已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的______心．
【答案】重
【详解】解：设为的中点，则，
则，即，
，，三点共线，
又因为为的中点，所以是边的中线，
所以点的轨迹一定通过的重心．
故答案为：重．
(多选)在中，D分别是边的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】解：如图：
对于选项A，，即选项A错误；
对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确；
对于选项C，，即选项C正确；
对于选项D，，即，即选项D正确，
故选：BCD．
在中，点满足，若存在点，使得，且，则______．
【答案】
【详解】，
∴，
，可得，
∵
∴则.
故答案为：.
已知不共线，，并且共线，则________.
【答案】-2.
【详解】∵共线，∴存在实数，使得，即，
又，不共线，∴，解得．
故答案为：．
已知与共线，且不共线，则的值为_____．
【答案】6
【详解】由于与共线，不共线，
所以.
故答案为：
设是两个不共线的向量，已知，若三点共线，求的值为__________．
【答案】
【详解】由A、B、D三点共线，可得，又，
则，又、不共线，则，解得.
故答案为：.
已知，，求证三点共线．
【答案】证明见解析
【详解】证明：因为，，
所以，
所以，又与有一个公共点P，
所以，，三点共线.
已知，，求证：与共线.
【答案】证明见解析
【详解】∵，
即，∴.
已知不共线，向量，，且，求的值．
【答案】
【详解】，存在唯一的实数，使得，即
已知.其中与不共线且三点共线，求的值.
【答案】.
【详解】由B，C，D三点共线，得，
又，
所以，
，
所以，即，
所以，解得.
两个非零向量不共线．
(1)若，求证：三点共线；
(2)求实数使与共线．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】(1)
证明：因为，
所以，则，
所以共线，两个向量有公共点，
所以A、B、D三点共线.
(2)
若与共线，则存在实数，使得，
所以，
所以.
若，则________．
【答案】
【详解】由可得，即,
可得，则，
故答案为：
6.2.4
若非零向量满足，则与夹角的余弦值为________．
【答案】
【详解】因为，
所以，所以，
设与夹角为θ．所以．
故答案为：
已知且， 则的夹角是_____．
【答案】
【详解】∵且，
∴，即，
∴此时夹角为锐角，
∴的夹角是.
故答案为：
已知向量是单位向量，且，则向量与的夹角是（ ）
A．30° B．60°
C．90° D．120°
【答案】B
【详解】由可得，又，则，
则，又，则向量与的夹角是60°.
故选：B.
已知向量满足，，，则向量夹角的大小等于（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．120°
【答案】A
【详解】设向量向量，的夹角为，
由，得，
即，
因为，，
所以，解得，
又因为，所以，
即向量，的夹角的大小为30°．
故选：A．
设非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由得，
代入得，
又
故夹角为．
故选：C
已知非零向量满足，且，则向量夹角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：因为，所以，所以，又，所以.
故选：C.
若非零向量满足，，则向量与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设向量与的夹角为（），
因为，所以，
所以，得，
因为非零向量，满足，
所以，
因为，所以，
故选：C
已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值为___________.
【答案】
【详解】因为，所以，展开整理化简得：.
所以.
即与的夹角的余弦值为.
故答案为：.
已知向满足，，则_____________.
【答案】
【详解】由题意，向量满足且，
可得，解得，即.
故答案为：.
设向量满足与的夹角为，则___________.
【答案】
【详解】由已知得
，
，
故答案为：
已知向量满足，，．
(1)求；
(2)若，求实数的值．
【答案】(1)6
(2)或2
【详解】（（1）
．
所以；
（2）
由题意可得：，即，
∴，解得：或2，
所以实数k的值是-1或2.
已知，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设与的夹角为，
则向量在方向上的投影向量为.
故选：A
已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】在上的投影向量是：
.
故选：A
已知非零向量与满足，且
(1)若，求向量的夹角.
(2)在（1）的条件下，求的值.
【答案】(1)
(2)1
【详解】（1）
解：因为，
所以，又，，
所以，，
因为，
所以；
（2）
，
已知向量，若，
(1)求与的夹角；
(2)求；
(3)当为何值时，向量与向量互相垂直？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）
解：因为，，
所以，
又因，所以；
（2）
解：；
（3）
解：当向量与向量互相垂直时，
，
即，
即，解得.
已知，与的夹角是.
(1)求的值及的值；
(2)当为何值时，？
【答案】(1)，；
(2).
【详解】（1）
∵，与的夹角是，
∴，
；
（2）
由题意，，
即，
解得，
即时，.
已知，且向量的夹角是．
(1)若，求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)7
【详解】(1)
∵，且向量的夹角是，
．
，
，
，
即，
解得．
(2)
，
已知向量与向量的夹角为，且，.
(1)求的值；
(2)求向量在向量上的投影向量.
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)
.
(2)
由投影向量的定义得：
，
.
已知向量与的夹角为，且，．
(1)求，；
(2)若与共线，求.
【答案】(1)，
(2)
【详解】(1)
，
．
(2)
若与共线，则存在，使得
即，
又因为向量与不共线，所以，解得，所以．
已知向量与，其中，，且与的夹角.
(1)求；
(2)求向量在方向上的投影数量.
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)
，.
(2)
向量在方向上的投影数量为.
已知两个单位向量与的夹角为60°.
(1)求；
(2)求向量与夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)
因为两个单位向量与的夹角为60°
所以
所以
(2)
因为，
所以
已知向量满足，，且与的夹角为．
(1)求；
(2)若与相互垂直，求实数的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)
解：因为，，且与的夹角为，
所以，
则；
(2)
解：因为与相互垂直，
所以，
即，
即，解得.
已知是夹角为60°的单位向量，设.
(1)求；
(2)求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【详解】(1)
由向量，为夹角为60°的单位向量，可得，.
所以.
(2)
∵，
∴，∴.
当且仅当时等号成立，∴的最小值为.
已知是夹角为的两个单位向量，.
(1)求的值.
(2)求与的夹角的大小.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
由题意知:
所以
（2）
由题意知,
所以与的夹角为.
若，，与的夹角为，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B．48
C． D．
【答案】C
【详解】解：，，与的夹角为，
则向量在上的投影向量为：．
故选：C．
已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：由定义可得向量在向量上的投影为，
所以向量在向量上的投影向量为．
故选：D．
已知平面向量的夹角为，若，则的值为（ ）
A． B．5
C． D．
【答案】D
【详解】由两边平方得，
，
，
解得.
故选：D
已知向量不共线，则“”是“夹角为锐角”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】设，夹角为，
由得，
由于，不共线，则，均为非零向量，且夹角不为0和，因此,进而，
而若“，夹角为锐角”，不一定能满足，因此不一定相等，
故“”是“，夹角为锐角”的充分不必要条件，
故选：A
已知向量的夹角的余弦值为，且，则（ ）
A．-34 B．-32
C．32 D．34
【答案】A
【详解】
，
故选:A．
已知向量均为单位向量，且，则（ ）
A．2 B．
C．4 D．
【答案】B
【详解】解：因为向量均为单位向量，且，
所以，，
所以，
故选：B.
已知为单位向量，与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为为单位向量，与的夹角为，
所以在方向上的投影为
，
故选：B
已知单位向量的夹角为，与垂直，则 ______
【答案】
【详解】，
与垂直，则，．
故答案为：．
非零向量满足，，则___________.
【答案】
【详解】解：因为，所以，即，
所以，
所以.
故答案为：
已知，且在方向上的投影是，则___________.
【答案】12
【详解】由于在方向上的投影是，
所以.
故答案为：
已知向量满足，且与的夹角为60°，则__________，________.
【答案】
【详解】因为，与的夹角为60°，
所以，
所以，
，
所以，
故答案为：；第六章 平面向量及其应用
6.2平面向量的运算
（1）求两个向量和的运算，叫做向量的加法.如图6.2-2，已知非零向量，在平面内取任意一点，作，则向量叫做与的和，记作，即.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
（2）如图6.2-4，以同一点为起点的两个已知向量，以为邻边作，则以为起点的向量（是的对角线）就是与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
（3）规定.
（4）.当且仅当方向相同时等号成立.
（5）.
（6）与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作.和互为相反向量..
（7）零向量的相反向量仍是零向量.
（8）.
（9）如果互为相反向量，那么；向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法.
（10）实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.；当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.当时，.
①；②；
③；④；
⑤.
（11）向量的加、减、数乘统称为向量的线性运算，线性运算的结果仍是向量.
（12）向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
（12）向量的数量积：已知两个非零向量，是平面上的任意一点，作，则叫做向量与的夹角.
（13）当时，与同向；当时，与反向；当与的夹角是，与垂直，记作.
（14）已知两个非零向量与，它们的夹角为，叫做向量与的数量积（或内积），记作.零向量与任一向量的数量积为0.
（15）两个非零向量与，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量的投影向量.
（16）数量积的性质：设与是非零向量，夹角为，是与方向相同的单位向量，则
①；②；③当与同向时，；当与反向时，；或；④；⑤；；.
6.2.1向量的加法运算
如图，已知，求作.
(1)
；
(2)
如图所示，已知正方形的边长等于1
，，，试作出下列向量并分别求出其长度.
.
如图，已知向量
(1)求作
(2)设，为单位向量，试探索的最大值．
已知用向量加法的三角形法则作出.
(1)
；
(2)
.
请用平行四边形法则作出，
.
如图，为边长为1的正六边形，为其几
何中心.
(1)化简；
(2)化简；
(3)化简；
(4)求向量的模.
如图为正八边形，其中为正八
边形的中心，则（ ）
A． B．
C． D．
在中，是的中点，则
等于（ ）
A． B．
C． D．
如图，在矩形中，为中点，那么
（ ）
A． B．
C． D．
如图，正六边形中，
（ ）
A． B．
C． D．
如图，等腰梯形中，
，点为线段中点，点为线段的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
已知是正三角形，则下列等式中不成
立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
已知等腰的直角边长为1，为斜
边上一动点，则的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
化简等于（ ）
A． B．
C． D．
化简下列各式：
(1)；
(2)；
(3)．
向量“不共线”是“”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
（多选）已知，则的
值可能为（ ）
A．4 B．8
C．10 D．12
一架救援直升飞机从地沿北偏东60°方向飞行了40
km到达地，再由地沿正北方向飞行40 km到达地，求此时直升飞机与地的相对位置.
在静水中船的速度为，水流的速度
为，若船沿垂直于水流的方向航行，求船实际行进的方向的正切值(相当于与河岸的夹角).
在静水中船的速度是，水流的速度是
.如果船从岸边出发，沿垂直于水流的航线到达对岸，那么船行进方向应指向何处？实际航速为多少？
6.2.2向量的减法运算
如图，已知向量不共线，求作向量．
如图，已知向量和向量，用三角形法则作
出.
如图，已知向量，求作向量：
(1)；(2)；(3)．
已知向量如图所示.
（1）求作向量；
（2）求作向量.
如图，已知向量，求作下列向量：
(1)；
(2)．
已知在边长为2的等边中，向量满足
，，则（ ）
A．2 B．
C． D．3
在平行四边形中，，
，则（ ）
A． B．-
C． D．
在中，点在边上，
．记，，则（ ）
A． B．
C． D．
在中，已知是边上一点，且
，则（ ）
A． B．
C． D．
在平行四边形中，为上任一
点，则（ ）
A． B．
C． D．
在四边形中，，若
，则四边形是（ ）
A．菱形 B．矩形
C．正方形 D．不确定
在中，点是线段上靠近的三
等分点，是线段的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
如图，中，，，点
是的三等分点，则（ ）
A． B．
C． D．
向量（ ）
A． B．
C． D．
化简： （ ）
A． B．
C． D．
①；②
；③．其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
化简所得的结果是（ ）
A． B．
C． D．
（ ）
A． B．
C． D．
下列化简结果错误的是（ ）
A． B．
C．
D．
已知向量，且不是方向相反的向
量，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
若 ，则的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
若为相反向量，且，，则
________，________.
若互为相反向量，且，
则 ， .
6.2.3向量的数乘运算
的化简结果为（ ）
A． B．
C． D．
等于
（ ）
A． B．
C． D．
化简______.
求__________．
若，，则
___________，___________，___________.
如图所示，已知在中，是的边
上的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
如图，在平行四边形中，是的
中点，，则（ ）
A． B．
C． D．
如图所示，在中，为的中点，
则（ ）
A． B．
C． D．
设为所在平面内一点，且满足
，则（ ）
A． B．
C． D．
在等腰梯形中，，分
别为的中点，为的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
已知向量是两个不共线的向量，
与共线，则（ ）
A．2 B．
C． D．
已知
，则共线的三点为（ ）
A． B．
C． D．
已知为不共线的向量，且
，，则（ ）
A．共线 B．共线
C．共线 D．共线
设向量不共线，向量与同
方向，则实数的值为（ ）
A． B．
C． D．
已知是平面内的一组基底，
，，，若三点共线，则实数的值为（ ）
A． B．0
C．1 D．2
在中，是三角形内一点，如果满足
，，则点的轨迹一定经过的（ ）
A．内心 B．外心
C．重心 D．垂心
已知是所在平面上的一点，若
，则点是的（ ）
A．外心 B．内心
C．重心 D．垂心
已知是所在平面上一点，若
，则是的（ ）
A．重心 B．外心
C．内心 D．垂心
已知是不在同一直线上的三个
点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（ ）
A．外心 B．重心
C．垂心 D．内心
已知是平面上一个定点，是平面
上三个不共线的点，动点满足条件，则点的轨迹一定通过的___________心.
（1）已知的外心为，且
，则______．
（2）已知的重心为，且，则______．
（3）已知的重心为，且，为中点，则____．
已知点是所在平面内一点，若
，则与的面积之比是（ ）
A． B．
C． D．
已知点为内一点，且
，则与的面积之比为（ ）
A． B．
C． D．
在中，为上的一点，且
，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
如图，在中，是中点，
，则________．
已知正方形中，是的中点，
，则________
6.2.4向量的数量积
已知向量，，若与的夹角为，则
为（ ）
A． B．
C． D．1
已知平面向量的夹角为，且
，则（ ）
A．4 B．
C．8 D．
己知向量的夹角为，且满足
，则____________.
已知，与的夹角为60°，
求：
(1)；
(2)；
(3).
已知非零向量满足，
，则______.
已知，向量与的夹角为，则
__________．
设向量的夹角为，且，
，则_________．
已知向量满足，则
( )
A．4 B．3
C．2 D．0
已知向量满足，它们的夹角
为，则（ ）
A．2 B．4
C．6 D．8
已知，，且向量与的夹角为
，则______.
已知平面向量的夹角为，且.
若，则______.
已知向量满足,，与的夹
角为，，则_______．
若单位向量满足，且
，则实数的值为___________.
已知向量满足，，且的夹
角为．若，求实数的值；
设平面向量均为单位向量，则
“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
若非零向量满足，，则
向量夹角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
已知向量，且，则两向
量的夹角的大小为（ ）
A．30° B．60°
C．120° D．150°
若向量满足，，
，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
已知向量满足
，则向量与所成的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
已知是单位向量，且，则与
的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
已知平面向量满足，
，则（ ）
A． B．
C． D．
若单位向量满足，则
的夹角为（ ）
A． B．
C． D．0
已知非零向量满足，则向量
与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
已知两个单位向量的夹角为，则与
的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
已知向量满足，则
( )
A． B．
C． D．
平面上不共线的向量，其夹角两两
相等，且，则与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
已知向量满足
，则向量与夹角的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
若两个非零向量满足
，则与的夹角___________.
设向量，满足，，与的夹角
为，则（ ）
A． B．
C．4 D．
已知向量满足，，且
的夹角为30°，则（ ）
A． B．7
C． D．3
已知向量与的夹角为，，
，则___________.
已知平面向量与的夹角为，且
，则 .
已知向量满足，且，
则_____.
已知向量是非零向量，是单位向量，
的夹角为，且，则（ ）
A． B．
C．1 D．2
已知平面向量满足，则在方
向上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
已知单位向量满足，则在
方向上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
已知平面向量，满足，，
与的夹角为，在方向上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．1
已知是两个互相垂直的单位向量，则
向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
已知向量的夹角为，且
，则向量在向量方向上的投影是（ ）
A． B．3
C． D．1
已知向量满足，，则向
量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
平面中两个向量满足，，
则在方向上的投影向量为（ ）
A．2 B．
C． D．-2
已知向量，在方向上的投影向量为，
则（ ）
A．4 B．8
C． D．
已知，，向量在方向上投影向
量是，则为（ ）
A．12 B．8
C．-8 D．2
设向量与满足，在方向上的投
影向量为，若存在实数，使得与垂直，则（ ）
A．2 B．
C． D．
已知向量满足， 且
向量在向量上的投影向量为， 则的模为____________．
已知，若向量在向量上的投影向
量为，则______.
已知向量满足，且向量在向
量上的投影向量为，则__________.
若，，和的夹角为，则在的
方向上的投影向量的模长为（ ）
A． B．
C．2 D．4
已知向量满足，其中是
单位向量，则在上的投影为（ ）
A．1 B．
C． D．
已知向量和的夹角为，，则在
上投影的数量为（ ）
A．1 B．2
C． D．
向量在向量方向上的数量投影为，且
，则______．
已知与的夹角为.
(1)求；
(2)求在上的投影向量的模长.
课后练习
6.2.1
已知向量如图，求作.
如图，已知正方形的边长等于1，，，，试作向量:
（1）；
（2）.
已知，用向量减法作出.
(1)
(2)
如图，已知向量和向量，用三角形法则作出.
如图，已知向量不共线，作向量．
如图所示，试分别作出向量．
已知向量如图，求作向量.
如图，已知向量，求作和向量.
如图，已知向量.
(1)求作.
(2)设，为单位向量，试探索的最大值.
6.2.2
如图，已知为两个非零向量．
(1)求作向量及；
(2)向量成什么位置关系时，？（不要求证明）
如图，为内一点，.求作：
(1)；
(2).
如图，已知向量，求作向量．
已知是所在平面内一点，且，那么（ ）
A．点在的内部
B．点在的边上
C．点在边所在的直线上
D．点在的外部
如图，在平行四边形中，（ ）
A． B．
C． D．
如图，四边形是平行四边形，则（ ）
A． B．
C． D．
（多选）已知点分别是的边的中点，则下列等式中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
如图，分别是梯形的边的中点，化简下列各式：
(1)；
(2).
下列向量运算结果错误的是（ ）
A． B．
C．= D．
在中，分别是的中点，则___________.
如图，是两条对角线的交点，则下列等式成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
如图，等于（ ）
A． B．
C． D．
如图，已知平行四边形的对角线和相交于，且 ， ，则可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
如图，在中，，，用表示向量，．
已知四边形是边长为的正方形，求：
(1)；
(2)
在平行四边形中，等于（ ）
A． B．
C． D．
如图所示，梯形中，，且，分别是和的中点，若，试用表示.
如图，在中，是的中点．设，，试用表示．
如图所示，解答下列各题：
(1)用表示；
(2)用表示；
(3)用表示；
(4)用表示.
已知四边形是边长为2的正方形，求：
(1)；
(2)．
如图，根据图示填空：
（1）______；（2）______；
（3）______；（4）______；（5）______．
（多选）如图，分别是的边的中点，则等于（ ）
A． B．
C． D．
中国文化博大精深，“八卦”用深邃的哲理解释自然、社会现象.如图（1）是八卦模型图，将其简化成图（2）的正八边形，若，则______.
计算：_________．
化简（1）
（2）；
（3）．
计算：
(1)；
(2)．
化简.
(1)；
(2).
化简：
(1)；
(2)．
化简：
(1)；
(2).
计算：
(1)；
(2).
化简下列各式：
(1)；
(2).
向量可以写成：①；②；③；④.
其中正确的是________(填序号).
（多选）化简以下各式，结果为的有（ ）
A．
B．
C．
D．
（多选）下列各式中能化简为的有（ ）
A．
B．
C．
D．
6.2.3
已知向量，则___________．
已知，，，则等于（ ）
A． B．
C． D．
＝_______．
___________.
化简：________.
化简：___________.
化简：
（1）；
（2）.
若为已知向量，且，则_____________.
在中，是边上的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
如图，设是线段的三等分点（点靠近点），则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
如图，平行四边形的对角线交于，若，，用表示为( )
A． B．
C． D．
在中，若分别为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
在梯形中，，则（ ）
A． B．
C． D．
正方形中， 点是的中点， 点是 的一个三等分点， 那么 （ ）
A． B．
C． D．
如图，已知分别是矩形的边的中点，与交于点，若，用表示________.
(多选)在中，，则（ ）
A． B．
C． D．
(多选)在中，，记，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
(多选)在等边中，
与交于点，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
已知的重心为，经过点的直线交于，交于，若，，则________.
已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个动点，若动点满足，，则点的轨迹一定通过的______心．
(多选)在中，D分别是边的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
在中，点满足，若存在点，使得，且，则______．
已知不共线，，并且共线，则________.
已知与共线，且不共线，则的值为_____．
设是两个不共线的向量，已知，若三点共线，求的值为__________．
已知，，求证三点共线．
已知，，求证：与共线.
已知不共线，向量，，且，求的值．
已知.其中与不共线且三点共线，求的值.
两个非零向量不共线．
(1)若，求证：三点共线；
(2)求实数使与共线．
若，则________．
6.2.4
若非零向量满足，则与夹角的余弦值为________．
已知且， 则的夹角是_____．
已知向量是单位向量，且，则向量与的夹角是（ ）
A．30° B．60°
C．90° D．120°
已知向量满足，，，则向量夹角的大小等于（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．120°
设非零向量满足，则向量与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
已知非零向量满足，且，则向量夹角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
若非零向量满足，，则向量与的夹角为（ ）
A． B．
C． D．
已知非零向量满足，则与的夹角的余弦值为___________.
已知向满足，，则_____________.
设向量满足与的夹角为，则___________.
【
已知向量满足，，．
(1)求；
(2)若，求实数的值．
已知，则向量在方向上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
已知，设的夹角为，则在上的投影向量是（ ）
A． B．
C． D．
已知非零向量与满足，且
(1)若，求向量的夹角.
(2)在（1）的条件下，求的值.
已知向量，若，
(1)求与的夹角；
(2)求；
(3)当为何值时，向量与向量互相垂直？
已知，与的夹角是.
(1)求的值及的值；
(2)当为何值时，？
已知，且向量的夹角是．
(1)若，求的值；
(2)求的值．
已知向量与向量的夹角为，且，.
(1)求的值；
(2)求向量在向量上的投影向量.
已知向量与的夹角为，且，．
(1)求，；
(2)若与共线，求.
已知向量与，其中，，且与的夹角.
(1)求；
(2)求向量在方向上的投影数量.
已知两个单位向量与的夹角为60°.
(1)求；
(2)求向量与夹角的余弦值.
已知向量满足，，且与的夹角为．
(1)求；
(2)若与相互垂直，求实数的值．
已知是夹角为60°的单位向量，设.
(1)求；
(2)求的最小值.
已知是夹角为的两个单位向量，.
(1)求的值.
(2)求与的夹角的大小.
若，，与的夹角为，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B．48
C． D．
已知，为单位向量，当向量与的夹角等于时，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B．
C． D．
已知平面向量的夹角为，若，则的值为（ ）
A． B．5
C． D．
已知向量不共线，则“”是“夹角为锐角”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
已知向量的夹角的余弦值为，且，则（ ）
A．-34 B．-32
C．32 D．34
已知向量均为单位向量，且，则（ ）
A．2 B．
C．4 D．
已知为单位向量，与的夹角为，则在方向上的投影为（ ）
A． B．
C． D．
已知单位向量的夹角为，与垂直，则 ______
非零向量满足，，则___________.
已知，且在方向上的投影是，则___________.
已知向量满足，且与的夹角为60°，则__________，________.
