8.5.3 平面与平面平行
【预学案】
【情境导入】
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层．
【问题1】展馆的每两层所在的平面什么关系？
【问题2】上层面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？
【问题3】上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？
【教材新知】
知识点1 两个平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的__两条相交直线__与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
图形语言
作用 证明两平面平行
知识点2 两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线__平行__
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b __a∥b__
图形语言
作用 证明两直线平行．
【预学自测】
1．下列结论中，错误的是( )
A.平行于同一直线的两个平面平行
B.平行于同一平面的两个平面平行
C.平行于同一平面的两直线位置关系不确定
D.两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
【解析】选A.如图正方体ABCD A1B1C1D1中，
BB1∥平面ADD1A1，BB1∥平面DCC1D1，
而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1.
2．a是平面α外一条直线，过a作平面β，使α∥β，这样的β( )
A．只能作一个 B．至少可以作一个
C.不存在 D．至多可以作一个
【解析】选D.当a∥α时，过a作平面β，使得β∥α，由平面与平面平行的性质得这样的平面β有且只有1个．当a与α相交时，设a与α的交点为P，根据题意知，P∈β，P∈α，则α∩β＝l且P∈l，这与α∥β矛盾，所以这样的β不存在．综上所述，过平面α外一条直线a与α平行的平面至多有1个．
【探究案】
探究一 平面与平面平行的判定
例题1 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．求证：平面AB1D1//平面BC1D．
【变式】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1．
[解析] 如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.
又D、E分别为BC，B1C1的中点，
所以C1E∥DB，C1E＝DB，
则四边形C1DBE为平行四边形，
因此EB∥C1D.
又C1D 平面ADC1，EB 平面ADC1，
所以EB∥平面ADC1．
连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，
所以四边形EDBB1为平行四边形，
则ED∥B1B，ED＝B1B.
因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)，
所以ED∥A1A，ED＝A1A，
则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD.
又A1E 平面ADC1，AD 平面ADC1，
所以A1E∥平面ADC1．
由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E 平面A1EB，EB 平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1．
【归纳总结】
平面与平面平行的判定方法：
(1)定义法：两个平面没有公共点；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
【练习】
如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM︰MA＝BN︰ND＝PQ︰QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.
[解析] ∵在三角形PBD中，BN︰ND＝PQ︰QD，
∴QN∥PB，∴QN∥平面PBC，
同理PM︰MA＝PQ︰QD，∴MQ∥AD.
又底面ABCD是平行四边形，则AD∥BC，
∴MQ∥BC，∴MQ∥平面PBC.
而MQ∩NQ＝Q，MQ 平面MNQ，NQ 平面MNQ，
∴平面MNQ∥平面PBC.
探究二 平面与平面平行的性质
例题2 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
已知：如图，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α,B∈β，D∈β，
求证:AB=CD
【变式】如图，两条异面直线AB，CD与三个平行平面α，β，γ分别相交于A，E，B及C，F，D，又AD，BC与平面β的交点为H，G.
求证：四边形EHFG为平行四边形.
[分析] 利用面面平行的性质说明EH∥BD，GF∥BD及EG∥AC，HF∥AC.从而说明四边形EHFG为平行四边形.
[证明]
AC∥EG.
同理AC∥HF.
EG∥HF.同理EH∥FG.
故四边形EHFG是平行四边形.
【归纳总结】应用平面与平面平行的性质定理的步骤
【练习】
如图所示，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点.M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
[证明] 因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.
【课堂小结】8.5.3 平面与平面平行
【预学案】
【情境导入】
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层．
【问题1】展馆的每两层所在的平面什么关系？
【问题2】上层面上任一直线状物体与下层地面有何位置关系？
【问题3】上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？
【教材新知】
知识点1 两个平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的__两条相交直线__与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α β∥α
图形语言
作用 证明两平面平行
知识点2 两个平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线__平行__
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b __a∥b__
图形语言
作用 证明两直线平行．
【预学自测】
1．下列结论中，错误的是( )
A.平行于同一直线的两个平面平行
B.平行于同一平面的两个平面平行
C.平行于同一平面的两直线位置关系不确定
D.两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
2．a是平面α外一条直线，过a作平面β，使α∥β，这样的β( )
A．只能作一个 B．至少可以作一个
C.不存在 D．至多可以作一个
【预学反馈】
【探究案】
探究一 平面与平面平行的判定
例题1 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1．求证：平面AB1D1//平面BC1D．
【变式】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点.求证：平面A1EB∥平面ADC1．
【归纳总结】
平面与平面平行的判定方法：
【练习】
如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM︰MA＝BN︰ND＝PQ︰QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.
探究二 平面与平面平行的性质
例题2 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
已知：如图，α∥β，AB∥CD，A∈α，C∈α,B∈β，D∈β，
求证:AB=CD
【变式】如图，两条异面直线AB，CD与三个平行平面α，β，γ分别相交于A，E，B及C，F，D，又AD，BC与平面β的交点为H，G.求证：四边形EHFG为平行四边形.
【归纳总结】应用平面与平面平行的性质定理的步骤
【练习】
如图所示，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点.M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
【课堂小结】
