第八章 立体几何初步
8.2立体图形的直观图
（1）斜二测画法的步骤：
①在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点.画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或），它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画出平行于轴或轴的线段.③已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.
斜二测直观图与原图的面积之比为.
8.3简单几何体的表面积与体积
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
（2）棱柱的体积：.
棱锥的体积：.
棱台的体积：（分别为棱台的上、下底面面积，是棱台的高）
（3）圆柱的表面积：（是底面半径，是母线长）
圆锥的表面积：（是底面半径，是母线长）
圆台的表面积：（分别是上、下底面半径，是母线长）
（4）圆柱的体积：（是底面半径，是高）
圆锥的体积：（是底面半径，是高）
圆台的体积：（分别是上、下底面半径，是高）
（5）总结：
（为底面积，为柱体高）；
（为底面积，为锥体高）；
（分别为上、下底面面积，为台体高）.
（6）;.
关于柱体
如图，直三棱柱中，是的中点，
则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为是的中点，
，
，
.
故选：C.
如图，是棱长都为2的直平
行六面体，且，则这个直平行六面体的表面积为（ ）
A．16 B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知：底面是菱形，且，，
所以,
所以底面的面积为：，
又因为每个侧面的面积都是，
所以这个直平行六面体的表面积为，
故选：D
已知正四棱柱的对角线长为，且对角线与
底面所成角的余弦值为，则这个正四棱柱的体积等于___________.
【答案】
【详解】由正四棱柱的结构特征得：.
所以在中，故底面边长.
所以正四棱柱的体积为.
故答案为：
如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱
.若侧面水平放置时，液面恰好过的三等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
如图，设靠近点的三等分点为点，
当底面水平放置时，液面高度为，此时液体体积，因为,所以，,
所以，解得.
故选：A.
如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与
圆柱的体积之比为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高．
则球的体积，圆柱的体积，
∴.
故选：B．
已知圆柱的侧面展开图的矩形面积为3，底面
周长为2，则圆柱的表面积为______．
【答案】
【详解】因圆柱底面周长为2，则圆柱底面圆半径，
所以圆柱的表面积.
故答案为：
关于锥体
圆锥的母线长为 5 ，高为 3，则圆锥的侧面积为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：底面半径是：，则底面周长是，
则圆锥的侧面积是：，
故选：B.
底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积为
______．
【答案】
【详解】由题意底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积为，
故答案为：
已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开
图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设圆锥的底面半径为，圆锥的母线为，
则由得
而
所以
即底面半径为
故选:B.
已知圆锥的表面积为，其侧面展开扇形的
圆心角大小为，则这个圆锥的母线长为______．
【答案】12
【详解】如图所示，图2为图1的侧面展开图.
设圆锥底面圆半径，弧长，
因为圆锥的表面积为，所以有，
又因为扇形的圆心角大小为，所以，
联立得：.
故答案为：12
己知圆锥的顶点为，母线所成角的余
弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的全面积为___________.
【答案】
【详解】解：因为母线所成角的余弦值为，
所以母线所成角的正弦值为，
设母线长为l，则的面积为，解得，
又与圆锥底面所成角为，可得底面半径，
所以该圆锥的全面积为.
故答案为：.
一个正四面体的棱长为1，则它的表面积是
___________.
【答案】
【详解】正四面体的四个面均为正三角形边长为1，每个面的面积为，则它的表面积为.
故答案为：
（多选）已知甲、乙两个圆锥侧面展开图的面
积相等，母线长分别为和，底面半径分别为和，高分别为和，表面积分别为和，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【详解】解：依题意，又，所以，故A错误；
因为，所以甲圆锥的底面积小于乙圆锥的底面积，又两圆锥的侧面积相等，所以，故B正确；
因为，，所以，，
所以，故C正确；
因为，所以，所以，故D正确；
故选：BCD
某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇
形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇形，
所以该扇形的弧长为，
设圆锥的底面半径为，则，解得：，
因为圆锥的母线长为3，所以圆锥的高为，
该圆锥的体积为.
故选：D
已知圆锥的轴截面是斜边为的直角三角
形，则该圆锥的体积为___________.
【答案】
【详解】圆锥的轴截面是等腰三角形，且是斜边长为的直角三角形，所以该圆锥轴截面是等腰三角形，得圆锥底面半径为，母线长为，
所以圆锥的高为，体积为.
故答案为：.
已知正四棱锥，底面边长是，体
积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为正四棱锥，底面边长是，所以底面积为.
设正四棱锥的高为h，由，所以.
所以侧棱长为.
即侧棱长为.
故选：C
如图，高为的圆锥形封闭容器内装水，水面
高为，若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为，则_______.
【答案】
【详解】设圆锥形容器的底面面积为，则未倒置前液面的面积为，
所以水的体积为，
设倒置后液面面积为，则，所以，
所以水的体积为，所以，解得，所以.
故答案为：.
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学
名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3.
(1)请估算出堆放的米约有多少斛？
(2)若要建造一个底部直径为4尺的家用圆柱形储粮仓，试问储粮仓的高至少为多少尺，才可以将这堆米全部放入？（结果均保留整数）
【答案】(1)；
(2)储粮仓的高至少为3尺，才可以将这堆米全部放入.
【详解】（1）设圆锥底面半径为，则，所以，
所以米堆的体积为.
故堆放的米约为.
（2）设储粮仓的高为，则，所以尺.
所以储粮仓的高至少为3尺，才可以将这堆米全部放入.
乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心
角之和为，侧面积分别为和体积分别为和.若，则___________.
【答案】
【详解】由题意知甲，乙两个圆锥的侧而展开图刚好拼成个圆，
设圆的半径（即圆锥母线）为3，
甲 乙两个圆锥的底面半径分别为，高分别为，
由，则，
解得，
由勾股定理得，
所以，
故答案为：.
关于台体
若一个圆台的高为，母线长为，侧面积为，
则该圆台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线为，
则圆台的侧面积，可得，
又因为圆台的高为，可知，故有，
圆台的体积．
故选：B.
某圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为
2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设圆台的母线长为，高为，
因为圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为2，侧面积为，
可得，解得，
所以圆台的高为，
所以圆台的体积为.
故选：B.
在正四棱台中，
，则该四棱台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：作出轴截面如图所示，过点作，垂足为，
因为正四棱台中，
所以，，，即梯形为等腰梯形，
所以，，
所以，该四棱台的体积为
故选：B
如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的
半径分别是2和4，则该圆台的体积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：设圆台上底面圆半径为，则，解得：，
设圆台下底面圆的半径为，则，解得：，
圆台的母线长为，
画出圆台，如下：
过点D作DE⊥AB于点E，则，
由勾股定理得：，
所以圆台的体积为.
故选：B.
某圆台的侧面展开图如图所示，其中
，则该圆台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设圆台上 下底面的圆心分别为，一条母线为，
则，且的弧长为的弧长为，
所以，所以，
所以圆台的体积
故选：B
（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所
示零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（ ）
A．该圆台的高为
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为
【答案】BCD
【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断B选项；由圆台体积公式即可判断C选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项.
【详解】
如图，作交于，易得，则，则圆台的高为，A错误；
圆台的轴截面面积为，B正确；
圆台的体积为，C正确；
将圆台一半侧面展开，如图中，设为中点，圆台对应的圆锥一半侧面展开为扇形，由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为8cm，底面半径为4cm，侧面展开图的圆心角为，连接CP，可得∠COP＝90°，OC＝8，OP＝4＋2＝6，则，所以沿着该圆台表面从点C到AD中点的最短距离为10cm，故D正确．
故选：BCD.
圆台的母线长为3，两底面半径分别为1，2，则
圆台的侧面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由题可得圆台的侧面积为.
故选：B.
圆台的上、下底面半径分别是10和20，体积
是，则圆台的母线长为______.
【答案】20
【详解】如图，圆台的上、下底面半径分别是10和20，所以，
设圆台上底面面积为，下底面面积为,高为，母线长为，
所以，，
根据圆台的体积公式，
解得，在中，由勾股定理有：，
解得.则圆台的母线长为20.
故答案为：20.
关于球
如图所示几何体是底面直径为2，高为3的圆柱的上
底面挖去半个球，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：根据题意，该几何体的表面积是圆柱的侧面积，圆柱的一个底面面积和半个球面面积的和.
因为圆柱底面直径为2，高为3，
所以，圆柱的侧面积为，一个底面面积为，半个球面的面积为，
所以，该几何体的表面积为．
故选：B
某圆柱形容器内盛有高的水，若放入三个
相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则一个球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】设球的半径为，则一个球的体积为，
故，解得：，
故一个球的体积为.
故选：B
唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕
临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为，酒杯的容积为，则其内壁表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，酒杯是由圆柱和半球的组合体，
所以酒杯内壁表面积是圆柱的侧面积与半球的表面积之和，
因为球的半径为，所以半球的表面积为，
半球的体积为 ，
设圆柱体的高为，则体积为 ，
又酒杯的容积为
所以 ，
解得： ，
因为球的半径为，酒杯圆柱部分高为，
所以圆柱的侧面积为，
所以酒杯内壁表面积为.
故选：D.
为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活
动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
即可得到容器的半径.
【详解】分别作出四个小球和容器的正视图和俯视图，如图所示:
正视图中小球球心B，半球球心O与切点A构成直角三角形，则有，
俯视图中，四个小球球心的连线围成正方形，正方形的中心到球心的距离与正视图中的相等， 设半球半径为R，已知小球半径r=1，∴ ，，，.
半球面形状的容器的容积是.
故选：B
如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们
的高都与一个球的直径相等，则球、圆锥、圆柱的体积之比为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：∵，
∴球 圆锥 圆柱的体积之比为.
故选:B.
已知三棱柱所有的顶点都在球的球面
上，球的体积是，，，则（ ）
A．3 B．6
C．4 D．8
【答案】B
【详解】设球的半径为，外接圆的半径为，
则，解得，
因为，，
由正弦定理得，外接圆的半径，
则．
故选：B
已知为球的球面上的三个点，
为的外接圆．若，的面积为，则球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知图形如图：的面积为，
可得，则，即，
∴，
外接球的半径为：，则球的表面积：.
故选：D.
已知正三棱锥的四个顶点都在球
的球面上，其侧棱长为，底面边长为4，则球的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】如图所示：
设为正三角形的中心，连接，
则平面，球心在上，
设球的半径为，连接，
∵正三角形的边长为4，∴，
又∵，
∴在中，，
在中，，，，
∴，解得，
∴球的表面积为．
故选：D．
已知是球的球面上两点，，
过作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，，则球的表面积为__________.
【答案】
【详解】由题意，取的中点，连接，，，，如下图所示：
由球体性质可知，四边形为矩形，
因为，，，
所以，且为正三角形，
故，，
从而球的半径，
故球的表面积为.
故答案为：.
在正四棱台中，
，，则该棱台外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意知：四边形均为正方形，为上下底面的中心，设正四棱台的外接球球心为，外接球半径为，则直线；
，，，又，
，
当位于线段上时，
设，则，解得：（舍）；
当位于线段的延长线上时，
设，则，解得：；
该棱台的外接球表面积.
故选：D.
正四棱台高为2，上下底边长分别为和
，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．
【答案】
【详解】如图所示，，，
为外接球球心，设外接球半径为R，，
由勾股定理得：，，
设，则，，
故，解得：，
故，
故球的表面积为.
故答案为：
已知三棱锥的外接球的体积为
，是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】设三棱锥的外接球半径为R，则，解得，
又正的外接圆半径为，则球心到平面的距离为，
由球的性质知，当点A是垂直于平面的球的直径的一个端点，且球心在这个端点与平面之间时，
三棱锥的高最大，其最大值为，而，
所以三棱锥的体积最大值为．
故选：C
正三棱锥的三条棱两两互相垂直，则该正三
棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】三棱锥扩展为长方体（本题实质上是正方体），它的对角线的长度，就是球的直径，
设侧棱长为a，则它的对角线的长度为a，外接球的半径为，
再设正三棱锥内切球的半径为r，正三棱锥底面边长为，设是内切球球心，则到棱锥四个面的距离都等于，
根据三棱锥的体积的两种求法，得，
，
∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为．
故选：D．
若正三棱柱既有外接球，又有内
切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为，则（ ）
A． B．5
C． D．
【答案】A
【详解】由于三棱柱的外接球和内切球的球心相同，如图，，，
因为为正三角形，为的中心，
所以，
所以，
在中，，
所以，
所以，，
所以，
故选：A
正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如
图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】以内切球的球心为顶点、正八面体的八个面为底面，可将正八面体分为8个全等的正三棱锥，设内切球的半径为，则，
且正四棱锥的高为图中，易得，即：
解得：，所以，内切球的表面积为.
故选：C．
已知圆锥的底面直径为2，圆锥的高为1，则
该圆锥内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】作出圆锥的轴截面如图：
依题意得，，则，
设圆锥内切球的半径为R，∵，则，
则，解得，
从而球的表面积为．
故选：B
在正四棱锥中，，，
则该四棱锥内切球的表面积是________．
【答案】
【详解】过点作平面，则为正方形的中心，连接，易知．
因为，所以，所以，
则四棱锥的体积，四棱锥的表面积．
设四棱锥内切球的半径为，则，即，解得，故四棱锥内切球的表面积是．
故答案为：
已知一个圆台的母线长5，且它的内切球的表
面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】圆台内切球的轴截面如图所示，
由题意易知为等腰梯形，且，
取的中点 ，连接，
则易知球心为的中点，
因为圆台的内切球的表面积为，
所以圆台的内切球的半径为，即，
过点作，交与，连接，
设，则由圆的切线性质可知
，
所以，
过点作，交与，
则,
由
得，解得，
由，解得，
所以圆台的体积为，
故选：C
如图，正四棱锥中，是这个正
四棱锥的高，是斜高，且，．
(1)求这个四棱锥的全面积
(2)分别求出该几何体外接球与内切球的半径．
【答案】(1)
(2)；
【详解】（1）连接，．在中，，故．所以，，故这个四棱锥的全面积为；
（2）由题几何体外接球球心在线段上，设为，设外接的半径为．因为，所以，在中，由勾股定理得：，即，解得： 设内接球的半径为．，所以，解得：.
关于组合体
如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱
体组成，圆柱的底面圆半径是球的半径的一半，高为，若圆柱的底面圆半径为2，且该几何体的体积为，则（ ）
A．2 B．3
C．6 D．12
【答案】C
【详解】由题可知球的半径为4，又圆柱的底面圆半径为2，高为，
所以该几何体的体积为，
解得.
故选：C.
如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而
成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为______．
【答案】
【详解】其中，是球心，是圆锥的顶点，是圆锥的母线，
由题意可知，解得，
由于圆柱的高为2，，，，
母线，
∴圆锥的侧面积为．
故答案为：
陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀
罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是______．
【答案】
【详解】设，则，
因为，所以，
则圆柱的侧面积，
圆锥的侧面积，
故．
故答案为：.
某几何体的直观图如下图所示，则该几何体的
表面积是______．
【答案】
【详解】依题意，该几何体是底面圆半径为2，高为4的圆柱被过轴的平面所截而成的半圆柱，
再在截面上放一个底面边长为2，侧棱长为4的正四棱柱，且正四棱柱侧棱与半圆柱底面直径重合，
所以该几何体的表面积.
故答案为：
高考真题
（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为．
故选：A．
（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地
区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】依题意可知棱台的高为(m)，所以增加的水量即为棱台的体积．
棱台上底面积，下底面积，
∴
．
故选：C．
（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为，其各
顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵球的体积为，所以球的半径,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以当且仅当取到，
当时，得，则
当时，球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积，故该正四棱锥体积的取值范围是
（2022·全国·高考真题（文））已知球的半径为1，四棱
锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】[方法一]：【最优解】基本不等式
设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，
设四边形ABCD对角线夹角为，
则
（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）
即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为
又设四棱锥的高为，则，
当且仅当即时等号成立.
故选：C
[方法二]：统一变量＋基本不等式
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，
(当且仅当，即时，等号成立)
所以该四棱锥的体积最大时，其高.
故选：C．
[方法三]：利用导数求最值
由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为，底面所在圆的半径为，则，所以该四棱锥的高，，令，，设，则，
，，单调递增， ，，单调递减，
所以当时，最大，此时．
故选：C.
（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相
等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，
则，
所以，
又，
则，
所以，
所以甲圆锥的高，
乙圆锥的高，
所以.
故选：C.
（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国
古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当时，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，连接，
因为是的中点，
所以，
又，所以三点共线，
即，
又，
所以，
则，故，
所以.
故选：B.
（2021·全国·高考真题）正四棱台的上 下底面的边长分别
为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高，
下底面面积，上底面面积，
所以该棱台的体积.
故选：D.
（2021·全国·高考真题（理））已知是半径为1
的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，为等腰直角三角形，，
则外接圆的半径为，又球的半径为1，
设到平面的距离为，
则，
所以.
故选：A.
（2021·全国·高考真题）已知圆锥的底面半径为，其
侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．2 B．
C．4 D．
【答案】B
【详解】设圆锥的母线长为，由于圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，则，解得.
故选：B.
（2020·全国·高考真题（文））已知是面积为
的等边三角形，且其顶点都在球的球面上.若球的表面积为，则到平面的距离为（ ）
A． B．
C．1 D．
【答案】C
【详解】
设球的半径为，则，解得：.
设外接圆半径为，边长为，
是面积为的等边三角形，
，解得：，，
球心到平面的距离.
故选：C.
（2020·全国·高考真题（文））埃及胡夫金字塔是古代世
界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】如图，设，则，
由题意，即，化简得，
解得（负值舍去）.
故选：C.
（2019·全国·高考真题（理））已知三棱锥的四
个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，分别是的中点，，则球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又，分别为、中点，
，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．
解法二:
设，分别为中点，
，且，为边长为2的等边三角形，
又
中余弦定理，作于，，
为中点，，，
，，又，两两垂直，，，，故选D.
（2018·全国·高考真题（文））已知圆柱的上、下底面的
中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】分析：首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而利用相关公式求得圆柱的表面积.
详解：根据题意，可得截面是边长为的正方形，
结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是的圆，且高为，
所以其表面积为，故选B.
点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量，即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和.
（2018·全国·高考真题（文））某圆柱的高为2，底面周长
为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B．
C．3 D．2
【答案】B
【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，
将圆柱的侧面展开图平铺,
可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，
所以所求的最短路径的长度为，故选B.
（2018·全国·高考真题（理））设是同一个
半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，
点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，
当平面时，三棱锥体积最大
此时，
,
点M为三角形ABC的中心
中，有
故选B.
（2017·全国·高考真题（理））（2017新课标全国Ⅲ理科）
已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，
结合勾股定理，底面半径，
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选B.
（2021·全国·高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径
为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.
【答案】
【详解】∵
∴
∴
∴.
故答案为：.
（2020·全国·高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1，
母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【答案】
【详解】易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为，
由于，故，
设内切圆半径为，则：
，
解得：，其体积：.
故答案为：.
（2019·全国·高考真题（理））学生到工厂劳动实践，利
用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.
【答案】118．8
【详解】由题意得， ，
四棱锥O EFG的高3cm， ∴．
又长方体的体积为，
所以该模型体积为，
其质量为．
（2018·全国·高考真题（文））已知圆锥的顶点为，母
线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．
【答案】8π
【详解】分析：作出示意图，根据条件分别求出圆锥的母线，高，底面圆半径的长，代入公式计算即可.
详解：如下图所示，
又，
解得，所以，
所以该圆锥的体积为.
（2018·全国·高考真题（理））已知圆锥的顶点为，母
线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
【答案】
【详解】分析：先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.
详解：因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，
因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为
因此圆锥的侧面积为
（2019·全国·高考真题（文））中国有悠久的金石文化，
印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．
【答案】 共26个面. 棱长为.
【详解】由图可知第一层与第三层各有9个面，计18个面，第二层共有8个面，所以该半正多面体共有个面．
如图，设该半正多面体的棱长为，则，延长与交于点，延长交正方体棱于，由半正多面体对称性可知，为等腰直角三角形，
，
，即该半正多面体棱长为．第八章 立体几何初步
8.2立体图形的直观图
（1）斜二测画法的步骤：
①在已知图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点.画直观图时，把它们画成对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或），它们确定的平面表示水平面.②已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中分别画出平行于轴或轴的线段.③已知图形中平行于轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.
斜二测直观图与原图的面积之比为.
8.3简单几何体的表面积与体积
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
（2）棱柱的体积：.
棱锥的体积：.
棱台的体积：（分别为棱台的上、下底面面积，是棱台的高）
（3）圆柱的表面积：（是底面半径，是母线长）
圆锥的表面积：（是底面半径，是母线长）
圆台的表面积：（分别是上、下底面半径，是母线长）
（4）圆柱的体积：（是底面半径，是高）
圆锥的体积：（是底面半径，是高）
圆台的体积：（分别是上、下底面半径，是高）
（5）总结：
（为底面积，为柱体高）；
（为底面积，为锥体高）；
（分别为上、下底面面积，为台体高）.
（6）;.
关于柱体
如图，直三棱柱中，是的中点，
则 （ ）
A． B．
C． D．
如图，是棱长都为2的直平
行六面体，且，则这个直平行六面体的表面积为（ ）
A．16 B．
C． D．
已知正四棱柱的对角线长为，且对角线与
底面所成角的余弦值为，则这个正四棱柱的体积等于___________.
如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱
.若侧面水平放置时，液面恰好过的三等分点处，，当底面水平放置时，液面高为（ ）
A． B．
C． D．
如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，则球与
圆柱的体积之比为（ ）
A． B．
C． D．
已知圆柱的侧面展开图的矩形面积为3，底面
周长为2，则圆柱的表面积为______．
关于锥体
圆锥的母线长为 5 ，高为 3，则圆锥的侧面积为
（ ）
A． B．
C． D．
底面半径为1，母线长为2的圆锥的侧面积为
______．
已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开
图是一个半圆，则圆锥的底面半径为（ ）
A． B．
C． D．
已知圆锥的表面积为，其侧面展开扇形的
圆心角大小为，则这个圆锥的母线长为______．
己知圆锥的顶点为，母线所成角的余
弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的全面积为___________.
一个正四面体的棱长为1，则它的表面积是
___________.
（多选）已知甲、乙两个圆锥侧面展开图的面
积相等，母线长分别为和，底面半径分别为和，高分别为和，表面积分别为和，若，则（ ）
A． B．
C． D．
某圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为的扇
形，则该圆锥的体积为（ ）
A． B．
C． D．
已知圆锥的轴截面是斜边为的直角三角
形，则该圆锥的体积为___________.
已知正四棱锥，底面边长是，体
积是，那么这个四棱锥的侧棱长为（ ）
A． B．
C． D．
如图，高为的圆锥形封闭容器内装水，水面
高为，若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为，则_______.
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学
名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3.
(1)请估算出堆放的米约有多少斛？
(2)若要建造一个底部直径为4尺的家用圆柱形储粮仓，试问储粮仓的高至少为多少尺，才可以将这堆米全部放入？（结果均保留整数）
乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心
角之和为，侧面积分别为和体积分别为和.若，则___________.
关于台体
若一个圆台的高为，母线长为，侧面积为，
则该圆台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
某圆台上底面圆的半径为1，下底面圆半径为
2，侧面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
在正四棱台中，
，则该四棱台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
如图是一个圆台的侧面展开图，若两个半圆的
半径分别是2和4，则该圆台的体积是（ ）
A． B．
C． D．
某圆台的侧面展开图如图所示，其中
，则该圆台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所
示零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（ ）
A．该圆台的高为
B．该圆台轴截面面积为
C．该圆台的体积为
D．一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为
圆台的母线长为3，两底面半径分别为1，2，则
圆台的侧面积为（ ）
A． B．
C． D．
圆台的上、下底面半径分别是10和20，体积
是，则圆台的母线长为______.
关于球
如图所示几何体是底面直径为2，高为3的圆柱的上
底面挖去半个球，则该几何体的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
某圆柱形容器内盛有高的水，若放入三个
相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则一个球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示，其浮雕
临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为，酒杯的容积为，则其内壁表面积为（ ）
A． B．
C． D．
为庆祝国庆，立德中学将举行全校师生游园活
动，其中有一游戏项目是夹弹珠．如图，四个半径都是1cm的玻璃弹珠放在一个半球面形状的容器中，每颗弹珠的顶端恰好与容器的上沿处于同一水平面，则这个容器的容积是（ ）
A． B．
C． D．
如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们
的高都与一个球的直径相等，则球、圆锥、圆柱的体积之比为（ ）
A． B．
C． D．
已知三棱柱所有的顶点都在球的球面
上，球的体积是，，，则（ ）
A．3 B．6
C．4 D．8
已知为球的球面上的三个点，
为的外接圆．若，的面积为，则球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
已知正三棱锥的四个顶点都在球
的球面上，其侧棱长为，底面边长为4，则球的表面积是（ ）
A． B．
C． D．
已知是球的球面上两点，，
过作互相垂直的两个平面截球得到圆和圆，若，，则球的表面积为__________.
在正四棱台中，
，，则该棱台外接球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
正四棱台高为2，上下底边长分别为和
，所有顶点在同一球面上，则球的表面积是_____．
已知三棱锥的外接球的体积为
，是边长为的正三角形，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
正三棱锥的三条棱两两互相垂直，则该正三
棱锥的内切球与外接球的半径之比为（ ）
A． B．
C． D．
若正三棱柱既有外接球，又有内
切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为，则（ ）
A． B．5
C． D．
正八面体是每个面都是正三角形的八面体．如
图所示，若此正八面体的棱长为2，则它的内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
已知圆锥的底面直径为2，圆锥的高为1，则
该圆锥内切球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
在正四棱锥中，，，
则该四棱锥内切球的表面积是________．
已知一个圆台的母线长5，且它的内切球的表
面积为，则该圆台的体积为（ ）
A． B．
C． D．
如图，正四棱锥中，是这个正
四棱锥的高，是斜高，且，．
(1)求这个四棱锥的全面积
(2)分别求出该几何体外接球与内切球的半径．
关于组合体
如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱
体组成，圆柱的底面圆半径是球的半径的一半，高为，若圆柱的底面圆半径为2，且该几何体的体积为，则（ ）
A．2 B．3
C．6 D．12
如图，某几何体由共底面的圆锥和圆柱组合而
成，且圆柱的两个底面圆周和圆锥的顶点均在体积为的球面上，若圆柱的高为2，则圆锥的侧面积为______．
陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀
罗．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中分别是上、下底面圆的圆心，且，则该陀螺下半部分的圆柱的侧面积与上半部分的圆锥的侧面积的比值是______．
某几何体的直观图如下图所示，则该几何体的
表面积是______．
高考真题
（2022·全国·高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底
面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
（2022·全国·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地
区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（ ）
A． B．
C． D．
（2022·全国·高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为，其各
顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
（2022·全国·高考真题（文））已知球的半径为1，四棱
锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（ ）
A． B．
C． D．
（2022·全国·高考真题（理））甲、乙两个圆锥的母线长相
等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（ ）
A． B．
C． D．
（2022·全国·高考真题（理））沈括的《梦溪笔谈》是中国
古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以为圆心，为半径的圆弧，是的中点，在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值的计算公式：．当时，（ ）
A． B．
C． D．
（2021·全国·高考真题）正四棱台的上 下底面的边长分别
为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A． B．
C． D．
（2021·全国·高考真题（理））已知是半径为1
的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A． B．
C． D．
（2021·全国·高考真题）已知圆锥的底面半径为，其
侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ）
A．2 B．
C．4 D．
（2020·全国·高考真题（文））已知是面积为
的等边三角形，且其顶点都在球的球面上.若球的表面积为，则到平面的距离为（ ）
A． B．
C．1 D．
（2020·全国·高考真题（文））埃及胡夫金字塔是古代世
界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（ ）
A． B．
C． D．
（2019·全国·高考真题（理））已知三棱锥的四
个顶点在球的球面上，，是边长为2的正三角形，分别是的中点，，则球的体积为（ ）
A． B．
C． D．
（2018·全国·高考真题（文））已知圆柱的上、下底面的
中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ）
A． B．
C． D．
（2018·全国·高考真题（文））某圆柱的高为2，底面周长
为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B．
C．3 D．2
（2018·全国·高考真题（理））设是同一个
半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
（2017·全国·高考真题（理））（2017新课标全国Ⅲ理科）
已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A． B．
C． D．
（2021·全国·高考真题（文））已知一个圆锥的底面半径
为6，其体积为则该圆锥的侧面积为________.
（2020·全国·高考真题（文））已知圆锥的底面半径为1，
母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
（2019·全国·高考真题（理））学生到工厂劳动实践，利
用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________.
（2018·全国·高考真题（文））已知圆锥的顶点为，母
线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．
（2018·全国·高考真题（理））已知圆锥的顶点为，母
线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
（2019·全国·高考真题（文））中国有悠久的金石文化，
印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．
