第八章 立体几何初步
8.5空间直线、平面的平行
8.5.1直线与直线平行
（1）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.（平
行线的传递性）
（2）定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
8.5.2直线与平面平行
（3）定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线
平行，那么该直线与此平面平行.
且.
8.5.3平面与平面平行
（4）定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平
面平行，那么这两个平面平行.
（5）定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
下列说法正确的是（ ）
A．若两条直线和同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
C．若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的任意直线平行
D．若两个平面平行，则分别在这两个平行平面内的直线平行
【答案】B
【详解】对于A，如图1第一个图，显然与所成角和与所成角相等，但与不平行，故A错误；
对于C，如图1第二个图，，则，而不平行于，故不平行于，故C错误；
对于D，如图1第三个图，，则，而与不平行，故与不平行，故D错误；
对于B，如图2，，面面，所以，同理，所以，
又因为，所以，
又，所以，故，故B正确.
故选：B.
平面与平面平行的充分条件是（ ）
A．内有无穷多条直线都与平行
B．直线，直线，且
C．内的任何一条直线都与平行
D．直线，且直线不在内，也不在内
【答案】C
【详解】C选项是面面平行的定义，A，B，D中，平面与平面相交时都有可能满足.
故选：C.
下列命题为真命题的是（ ）
A．若两条直线和同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
C．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
D．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线也异面
【答案】B
【详解】若两条直线和同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行或相交或异面，
如图1，直线，，但与相交，A错误；
B选项，如图2，直线平面，且直线平面，平面平面，
过直线的平面，交平面与直线，
则，因为平面，而平面，
所以平面，
因为平面，平面平面，
所以，
故若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行，B正确；
C选项，如图3，平面，交线为，在平面内有一直线，与DE平行，在直线上，存在3点到另一个平面的距离相等，故C错误；
若一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线异面或相交，
如图1，与异面，与平行，但与相交，D错误.
故选：B
已知是不同的直线,是不同的平面,下
列命题中真命题为（ ）
A．若,则
B．若,则
C．若,则
D．若,则
【答案】C
【详解】解:由题知,不妨将, 放在长方体中可知,
关于选项A,如图所示可知A错误,
关于选项B,如图所示可知B错误,
关于选项D,如图所示可知D错误,
根据面面平行的性质定理可知,选项C正确.
故选:C
已知直线，平面.下述命题中，真
命题的个数是（ ）
（1）若与是异面直线，与是异面直线，则与是异面直线；
（2）若，，则；
（3）若，，则；
（4）若，，则．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【详解】（1）若与是异面直线，与是异面直线，则与可能是异面直线，也可能不是异面直线，故命题错误；
（2）由线线平行关系的传递性可知，命题正确；
（3）由线面平行的判断定理可得或者，命题错误；
（4）由线面平行的概念可知，与相交，或者平行或者与异面，故命题错误.
综上所述，真命题的个数是1.
故选：A.
下列四个正方体图形中，分别为正方体
的顶点或其所在棱的中点，能得出平面的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对于A，由题意得，，而，，
平面，平面，平面，平面，
故平面平面，而平面，故平面，故A正确，
对于B，取的中点，底面中心，则，故与相交，故B错误，
对于C，，故平面，则平面，故C错误，
对于D，作平行四边形，则与相交，故D错误，
故选：A
如图，在直三棱柱中，点
分别是棱的中点，则下列结论中不正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．平面
D．平面
【答案】D
【详解】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得CC1∥AA1，AA1 平面A1ABB1，CC1 平面A1ABB1，∴CC1∥平面A1ABB1，故A正确；
AF 平面ABC，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得平面ABC∥平面A1B1C1，∴AF∥平面A1B1C1，故B正确；
取A1B1中点N，又E是A1C1中点，∴NE∥C1B1，且NE＝C1B1，
又F是棱BC的中点，所以BF＝C1B1，AF∥C1B1，∴BF∥NE，BF＝NE，
∴四边形BFEN是平行四边形，∴EF∥BN，BN 平面A1ABB1，EF 平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1，故C正确；
∵EC1∥AC，但EC1≠AC，∴AE与CC1相交，从而有AE不平行于平面B1BCC1，故D错误．
故选：D．
如图1，透明塑料制成的长方体
内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，如图2.随着倾斜度不同，有下面五个命题：
①有水的部分可以为棱台；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面所在四边形的面积为定值；
④棱始终与水面所在平面平行；
⑤当容器倾斜如图3所示时，是定值．
其中所有正确命题的序号是______．
【答案】②④⑤
【详解】依题意，水面，而平面平面，平面，则，
同理，而，，又平面，平面平面，
因此有水的部分的几何体是直棱柱，长方体去掉有水部分的棱柱，没有水的部分始终呈棱柱形，①不正确，②正确；
水面是矩形，线段长一定，从图1到图2，再到图3的过程中，线段长逐渐增大，
则水面所在四边形的面积逐渐增大，③不正确；
因，平面，平面，因此平面，④正确；
当容器倾斜如图3所示时，有水部分的几何体是直三棱柱，其高和体积都是定值，因此底面的面积是定值，
又，于是得是定值，⑤正确，
所以所有正确命题的序号是②④⑤.
故答案为：②④⑤
四点共面
如图，分别是空间四边形的边
的中点，求证：
四点共面.
【答案】证明见解析.
【解析】
证明：因为分别是空间四边形的边的中点，
所以，
所以，
所以四点共面.
如图，直三棱柱的底面为直角
三角形且，直角边的长分别为3,4，侧棱的长为4，点分别为线段 的中点.
求证：四点共面；
【答案】证明见解析.
【解析】
证明：因为点 分别为线段 的中点，
所以，
又因为，所以，所以四点共面.
如图，在正方体中，
分别是的中点.
证明：四边形是梯形；
【答案】证明见解析.
【详解】
证明：连接，
因为分别是的中点，
所以，，
因为在正方体中，，，
所以四边形为平行四边形，
所以，，
所以，，
所以四边形是梯形；
构造中位线或相似
在如图所示的几何体中，四边形是矩形，
平面，，，为与的交点，点为棱的中点.
求证：平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
如图，连接，因为四边形是矩形，，
所以是的中点.
因为H是的中点，所以.
因为平面，平面，所以平面.
如图，直三棱柱中，分
别是的中点， ，证明：平面.
【答案】证明见解析
【详解】
证明：连接交于点，连接，则为的中点，
因为为的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面.
如图，在正方体中，
分别是的中点．求证：平面．
【答案】证明见解析.
【详解】
证明：连接.
因为为正方形，所以M是的中点，
所以，又O是AC的中点，
所以.
因为平面，平面，
所以OM∥平面.
如图，四棱锥，底面是边长为2的
正方形，侧棱长相等均为4，为棱的中点．
(1)求证：平面BDE；
(2)求异面直线SA与BE所成角的余弦值．
【答案】(1)证明见详解.
(2)
【解析】
(1)
连接交点，连接，
底面是边长为2的正方形，E为棱SC的中点，
则，因为平面BDE ，平面BDE ，
所以平面BDE.
(2)
由（1）可知异面直线SA与BE所成角为，
因为底面是边长为2的正方形，侧棱长相等均为4，
所以，，
取的中点，连接，，
在中，，
在中，.
所以异面直线SA与BE所成角的余弦值为.
如图，在四棱锥中，底面，
，，，点为棱的中点，在上,满足.
证明：平面.
【答案】证明过程见解析.
【解析】
连接AC，交BD于点H，因为AB//CD，且CD=2AB，则，又PF=2AF，所以PC∥FH，又FH平面BDF，PC平面BDF，所以PC//平面BDF，
如图，正方形与正方形所在平
面相交于，在对角线上各有一点，且．求证：平面．
【答案】见解析
【详解】
如图所示，交于，作交于，连接．
正方形和正方形有公共边，．
又，．
又，，，．
且，即四边形为平行四边形，．
又平面，平面，平面．
如图，在空间四边形中，分别是
△和△的重心．求证：∥平面.
【答案】证明见解析
【详解】
证明：取BC的中点E，连接AE， DE.
因为P是△ABC的重心，所以AE∶PE＝3∶1，
因为Q为△BCD的重心，
所以DE∶QE＝3∶1，从而，
所以在△AED中，PQ∥AD.
又AD 平面ACD， PQ 平面ACD，所以PQ∥平面ACD.
构造平行四边形
如图，在四棱锥中，底面，
，，，点为棱的中点，在上,满足.
证明：平面.
【答案】证明过程见解析.
【解析】
证明：取PD中点G，连接AG，EG，则因为点为棱的中点，所以GE是△PCD的中位线，所以GE//CD且，又，且，所以GE//AB，且GE=AB，所以四边形ABEG为平行四边形，所以BE//AG，又BE平面PAD，平面PAD，所以BE//平面PAD.
如图，四棱锥，分别是
的中点，底面为平行四边形.
求证://平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
取PD中点H，连接AH，NH，如图，
因N为PC中点，则，，而M是的边AB中点，则，，
因此，，，则有四边形是平行四边形，
有，而平面PAD，平面PAD，
所以MN//平面PAD.
如图，直三棱柱中，四边形
是正方形，．．分别是的中点．
证明：平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
取的中点，连接、，
∵四边形为正方形，则且，
为的中点，且，
分别为、的中点，则且，
且，故四边形为平行四边形，从而．
而平面，平面，平面.
如图所示，已知四边形是正方形，四
边形是矩形，是线段的中点.求证：平面.
【答案】见解析
【详解】
设与交于点，连接，
因为四边形为正方形，
所以，
因为四边形ACEF是矩形，
所以∥，，
因为M是线段EF的中点，所以,
所以，∥，
所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
构造面面平行
在三棱锥中，，分别是线段
的中点，是中点.求证：平面.
【答案】证明见解析
【详解】
取BC中点H，连GH，FH，
∵O，E，F，H分别是AC，AD，BD，BC中点，
∴，，
∴，
∵平面BOE，平面BOE，
∴平面BOE，
∵分别是的中点，
∴，
∵平面BOE，平面BOE，
∴平面BOE，
∵，平面FGH，平面FGH，
∴平面平面FGH，
∵平面FGH，
∴平面BOE.
在如图所示的几何体中，平面平面
，四边形是矩形，四边形为梯形，，，．
求证：平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
由题意得，
取CD的中点E，连接BE、NE，则且，
故四边形是平行四边形，所以，
又平面，所以平面，
又且，且，
则且，故四边形是平行四边形，
所以，又平面，所以平面，
由得，平面平面，
因为平面，所以平面；
如图，在四棱锥中，四边形
是菱形，平面，分别为的中点．
证明：平面．
【答案】证明见解析.
【解析】
证明：如图，连接交于点，连接，．
因为四边形是菱形，，分别为，的中点，所以，．
又平面，平面，所以平面，平面．
因为，所以平面平面．
又平面，所以平面．
运用线面平行性质定理
如图，三棱锥被一平面所截，截面为平行四
边形，求证：平面．
【答案】证明见解析
【详解】
因为四边形EFGH为平行四边形，
所以，
因为平面BCD，平面BCD，
所以平面BCD，
又因为平面ACD，且平面平面BCD，
所以，
又因为平面EFGH，平面EFGH，
所以平面EFGH
如图所示，已知点是平行四边形所
在平面外一点，分别是的中点，平面平面．
(1)证明:平面平面；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
(1)
证明：因为M，N，Q分别，，的中点，所以，
又平面ABCD,平面ABCD,
所以平面ABCD, 平面ABCD,
因为，平面MNQ,
所以平面平面，
(2)
证明：因为，平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以.
如图，在棱长为的正方体
中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.
作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则。
【答案】答案见解析.
【解析】
连接并延长交的延长线于点，连接交于，连接，
则所在的直线即为平面与平面的交线.
因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以.
又因为平面平面，平面平面，
平面平面，所以，所以.
如图，在斜三棱柱中，点
分别在上，那么当点在什么位置时，平面∥平面.
【答案】D为AC的中点
【解析】
连接A1B交AB1于点O，连接OD1，由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
因此BC1∥D1O．同理AD1∥DC1，
所以＝， ＝．
又因为＝1，所以＝1，即D为AC的中点．第八章 立体几何初步
8.5空间直线、平面的平行
8.5.1直线与直线平行
（1）基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行.（平
行线的传递性）
（2）定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
8.5.2直线与平面平行
（3）定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线
平行，那么该直线与此平面平行.
且.
8.5.3平面与平面平行
（4）定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平
面平行，那么这两个平面平行.
（5）定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
下列说法正确的是（ ）
A．若两条直线和同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
C．若一条直线平行于一个平面，则这条直线与这个平面内的任意直线平行
D．若两个平面平行，则分别在这两个平行平面内的直线平行
平面与平面平行的充分条件是（ ）
A．内有无穷多条直线都与平行
B．直线，直线，且
C．内的任何一条直线都与平行
D．直线，且直线不在内，也不在内
下列命题为真命题的是（ ）
A．若两条直线和同一条直线所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
C．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
D．一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线也异面
已知是不同的直线,是不同的平面,下
列命题中真命题为（ ）
A．若,则
B．若,则
C．若,则
D．若,则
已知直线，平面.下述命题中，真
命题的个数是（ ）
（1）若与是异面直线，与是异面直线，则与是异面直线；
（2）若，，则；
（3）若，，则；
（4）若，，则．
A．1 B．2
C．3 D．4
下列四个正方体图形中，分别为正方体
的顶点或其所在棱的中点，能得出平面的图形是（ ）
A．
B．
C．
D．
如图，在直三棱柱中，点
分别是棱的中点，则下列结论中不正确的是（ ）
A．平面
B．平面
C．平面
D．平面
如图1，透明塑料制成的长方体
内灌进一些水，固定容器底面一边于水平地面上，再将容器倾斜，如图2.随着倾斜度不同，有下面五个命题：
①有水的部分可以为棱台；
②没有水的部分始终呈棱柱形；
③水面所在四边形的面积为定值；
④棱始终与水面所在平面平行；
⑤当容器倾斜如图3所示时，是定值．
其中所有正确命题的序号是______．
四点共面
如图，分别是空间四边形的边
的中点，求证：
四点共面.
如图，直三棱柱的底面为直角
三角形且，直角边的长分别为3,4，侧棱的长为4，点分别为线段 的中点.
求证：四点共面；
如图，在正方体中，
分别是的中点.
证明：四边形是梯形；
构造中位线或相似
在如图所示的几何体中，四边形是矩形，
平面，，，为与的交点，点为棱的中点.
求证：平面.
如图，直三棱柱中，分
别是的中点， ，证明：平面.
如图，在正方体中，
分别是的中点．求证：平面．
如图，四棱锥，底面是边长为2的
正方形，侧棱长相等均为4，为棱的中点．
(1)求证：平面BDE；
(2)求异面直线SA与BE所成角的余弦值．
如图，在四棱锥中，底面，
，，，点为棱的中点，在上,满足.
证明：平面.
如图，正方形与正方形所在平
面相交于，在对角线上各有一点，且．求证：平面．
如图，在空间四边形中，分别是
△和△的重心．求证：∥平面.
构造平行四边形
如图，在四棱锥中，底面，
，，，点为棱的中点，在上,满足.
证明：平面.
如图，四棱锥，分别是
的中点，底面为平行四边形.
求证://平面.
如图，直三棱柱中，四边形
是正方形，．．分别是的中点．
证明：平面.
如图所示，已知四边形是正方形，四
边形是矩形，是线段的中点.求证：平面.
构造面面平行
在三棱锥中，，分别是线段
的中点，是中点.求证：平面.
在如图所示的几何体中，平面平面
，四边形是矩形，四边形为梯形，，，．
求证：平面.
如图，在四棱锥中，四边形
是菱形，平面，分别为的中点．
证明：平面．
运用线面平行性质定理
如图，三棱锥被一平面所截，截面为平行四
边形，求证：平面．
如图所示，已知点是平行四边形所
在平面外一点，分别是的中点，平面平面．
(1)证明:平面平面；
(2)求证：．
如图，在棱长为的正方体
中，为棱的中点，，分别是棱，上的动点（不与顶点重合）.
作出平面与平面的交线（要求写出作图过程），并证明：若平面平面，则。
如图，在斜三棱柱中，点
分别在上，那么当点在什么位置时，平面∥平面.
