第六章 平面向量及其应用
6.4.3余弦定理、正弦定理
（1）余弦定理：
，
，
.
推论：
;
；
.
（2） 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
（3）正弦定理：（为外接圆半径）.
（4）面积公式：.
余弦定理
已知中，角的对边分别是，且
，，，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
设的内角的对边分别是.
若，且，则（ ）
A． B．2
C． D．3
在中，，，
，则（ ）
A． B．5
C． D．6
已知中，，则角
等于（ ）
A． B．
C． D．
在中，内角的对边长分别为
，已知，且，则（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
在中，若
，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
在中，角的对边分别为，
若，则等于（ ）
A． B．
C．或 D．或
在中，角的对边分别为，
若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
在中，，
则边所对的角等于（ ）
A． B．
C． D．
已知的内角的对边分别是，
则“”是“是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
已知是钝角三角形，内角所
对的边分别为，，，则最大边的取值范围是_________．（结果用区间表示）
设的内角的对边分别为
.已知，，要使为钝角三角形，则的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)．
在中，若，则该三角形一
定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．不能确定
的三边长分别为，，
，则的值为______.
在中，，在边
上，且，则_____．
在中，若，则
__________．
在中，内角所对的边分别为，已
知，，.
(1)求；
(2)求的值.
已知是中的对边，
，，．
(1)求边长；
(2)求的值．
正弦定理
在中，内角的对边分别为．已知
，，，求．
在中，，，
，则角大小为（ ）
A． B．
C． D．
在中，是所对的边，
且，，，则角（ ）
A． B．
C．或 D．
在中，若，则角为
（ ）
A． B．
C． D．
在中，，，则角的
大小为（ ）
A． B．
C． D．
在中，，则
（ ）
A． B．
C． D．
在 中，角所对的边分别为
，若，则（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
在中，若，则
（ ）
A． B．2
C．3 D．
已知中，，，
，则的外接圆面积为___________.
在中，角所对的边分别为
．若，，，则角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
在中，内角所对的边分别为
，若，，，则（ ）
A．8 B．6
C．5 D．3
已知在中，，，
，则_________ ．
在中，
，则角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
已知是面积为的等边三角形，点
在线段的延长线上，若，则（ ）
A． B．2
C． D．3
在中，是边上的一点，
，，，则（ ）
A．15° B．30°
C．45° D．60°
在中，角所对的边分别为，已知
，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
的内角的对边分别是，若
，且的面积为，则（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
在中，内角的对边分别为
，若，，且的外接圆面积为，则的面积为（ ）
A．24 B．25
C．27 D．28
已知分别为内角的
对边，，则的面积为（ ）
A．1 B．2
C．1或7 D．2或14
在中，角的对边分别为
．若 ，则__________，__________．
(多选)设的内角所对的边长
分别为，和分别为的面积和外接圆半径．若，则选项中能使有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
在中，已知
，则角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
在中，角的对边为,
，，，则（ ）
A． B．
C． D．1
在中，三个内角所对的边分别为
，且，若，，则（ ）
A．2 B．4
C． D．8
在中，角的对边分别为，
若，则________________．
在中，内角的对边分别为
，且，，，则的面积为_______．
在中角的对边分别为，且
满足，则 .
在中，内角所对的边分别为
，若，则____________．
已知中，角所对的边分别为
.若，，则___________.
在中，内角的对边分别为
，且，则_______．
在中，角所对的边分别是，已知
.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
在中，内角所对的边长分别
为，且.
(1)求；
(2)若，求的面积.
已知的内角的对边分别为
，且．
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长．
在中，内角所对应的边分
别是，．
(1)求角的大小；
(2)若，，求．
已知的内角所对边分别为
，且.
(1)求；
(2)，求边长.
实际应用
一艘轮船从处沿正东方向航行10千米到达处，
再从处沿北偏东30°的方向航行15千米到达处，则A之间的距离是（ ）
A．千米 B．千米
C．20千米 D．千米
两座灯塔和与海洋观察站的距离分别
为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔和的距离为______．
某渔船由于引擎故障滞留在海上的C位置，
一艘快艇负责救援，快艇从A岛出发，沿南偏西30°行驶了300海里到达B位置，发现偏航后及时调整，沿北偏西30°行驶了100海里到达C位置，则A岛与渔船发生故障的C位置间距离为（ ）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的
速度沿直线航行，一座灯塔原米在轮船的南偏东32°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）
A．2海里 B．3海里
C．4海里 D．5海里
如图，为了测量某障碍物两侧A，B两点间
的距离，给定下列四组数据，测量时最好选用数据（ ）
A． B．
C． D．
一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿南
偏东的方向直线航行，1小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么两点间的距离约为（ ）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
一海轮从A处出发，以每小时40海里的速
度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
已知轮船和轮船同时从岛出发，船
沿北偏东的方向航行，船沿正北方向航行（如图）．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船相距（ ）．
A． B．40
C． D．
海面上有相距的A，B两个小岛，从
A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B，C间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
释迦塔全称佛宫寺释迦塔 位于山西省朔州市
应县城西北佛宫寺内，俗称应县木塔 建于辽清宁二年（宋至和三年公元1056年），金明昌六年（南宋庆元一年公元1195年）增修完毕，是世界上现存唯一最古老最高大之木塔，为了测量释迦塔的高度，某同学在点A处测得塔顶D的仰角为45°，然后沿点A向塔的正前方走了50到达点M处，此时测得塔顶D的仰角为75，据此可估计释迦塔的高度约为（ ）
A．65.8 B．68.3
C．68.9 D．69.1
课后练习
在中，内角所对的边分别是，若，则（ ）
A． B．
C． D．
在中，角所对的边分别是，若，则角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
(多选)在中，若，，，则的值可以为（ ）
A． B．
C．2 D．4
在中，，，，则______．
在中，若，，，则___________．
在中，，则___________.
在中，角的对边分别为，若，且，则______．
已知为的三边，，则______.
已知锐角的内角的对边分别为，若，，则角___________.
在中，已知，则____________．
在中，若，则角（ ）
A． B．
C． D．
中，，，，则角的大小是（ ）
A． B．
C． D．
在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
在中，角的对边分别是，若，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
已知中，，则等于（ ）
A．或 B．或
C． D．
已知中，，则（ ）
A． B．或
C． D．
已知的内角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B．
C．6 D．
中，，，，则（ ）
A． B．2
C． D．1
在中，所对的边分别为，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．或
(多选)在中，已知，且，则角的值可能是（ ）
A． B．
C． D．
(多选)设的内角的对边分别为.若，，则角可能为（ ）
A． B．
C． D．
(多选)在中，角所对的边分别为，若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
已知中，，，，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
在中，，则的面积为_________.
在中，若，则的面积为___________.
在中，角的对边分别为，若满足：．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
在中，分别是内角的对边.已知
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
在中，．
(1)求的值；
(2)设，求的值．
在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
在中，角的对边分别为，且.
(1)求角的值；
(2)若，且的面积为，求.
的内角的对边分别是.已知.
(1)求角；
(2)若，且的面积为，求的周长.
在中，分别是角的对边，.
(1)求；
(2)若，且，求的面积．
在锐角中，的对边分别，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求的大小；
(2)若，，为的中点，求的值．
在中，角所对的边分别为，已知，，．
(1)求的值；
(2)求的面积．
在中，．
(1)求的值；
(2)若，求．
已知的内角的对边分别为，，，.
(1)求角；
(2)求的面积.
在中，.
(1)求的大小：
(2)若，求的面积.
已知在中，角所对的边分别为，，且的外接圆的直径为2.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求的周长.
已知的内角所对的边分别为，若，，且．
(1)求；
(2)求．
在锐角中，角的对边分别为，已知，，.
(1)求角的大小；
(2)求边长.
如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，若河流的宽度是60，则此时气球的高度等于（ ）
A． B．
C． D．
一同学到东方神话主题乐园游玩时，想用所学数学知识测量乐园内某游乐设施的高度，选择点和勇闯玄甲城项目的顶部点C为测量观测点，从点测得M点的仰角，C点的俯角以及，从C点测得，点A，B，N共水平面，若勇闯玄甲城项目的高，则（ ）
A． B．
C． D．
平凉大明宝塔为甘肃省重点文物保护单位．一九八六年，省政府拨款，对宝塔进行了维修和加固，铺了楼板，做了木梯，如今的宝塔，面目全新．游客可以由木梯盘旋而上至顶层，举目四望平凉城市风光．某学生为测量平凉大明宝塔的高度，如图，选取了与平凉大明宝塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则平凉大明宝塔的高度是（ ）
A．25米 B．米
C．30米 D．米
如图，一栋建筑物AB的高为米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面点M（B、D、M三点共线）处测得楼顶A和塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高（单位：米）为（ ）
A． B．30
C． D．60
圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD约为（ ）
A．54m B．47m
C．50m D．44m
如图，小明同学为测量某建筑物的高度，在它的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上的点（，，三点共线）测得楼顶、建筑物顶部的仰角分别为和，在楼顶处测得建筑物顶部的仰角为，则小明测得建筑物的高度为（ ）（精确到）参考数据：，
A． B．
C． D．
岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度CD为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
今年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.西青区某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A（如图2）距离地面的高度 AB（AB与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物PQ.测得PQ的高度约为25米，并从P点测得A点的仰角为30°.在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点、P点的仰角分别为75°和30°（其中B，M，Q三点共线）.则该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为（ ）（参考数据：，，）
A．59 B．60
C．65 D．68
魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，若，，，，则海岛的高（ ）
A．20 B．16
C．27 D．9第六章 平面向量及其应用
6.4.3余弦定理、正弦定理
（1）余弦定理：
，
，
.
推论：
;
；
.
（2） 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
（3）正弦定理：（为外接圆半径）.
（4）面积公式：.
余弦定理
已知中，角的对边分别是，且
，，，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【详解】在中，，，，
由余弦定理得，
，即，
解得或，
故选：C
设的内角的对边分别是.
若，且，则（ ）
A． B．2
C． D．3
【答案】B
【详解】由余弦定理得，，即有，
解得或，又，∴.
故选：B
在中，，，
，则（ ）
A． B．5
C． D．6
【答案】B
【详解】解：在中，由余弦定理得，
代入数据得，因为，解得，
故选：B
已知中，，则角
等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由中，可得 ,
由于 ,故 ,
故选：A
在中，内角的对边长分别为
，已知，且，则（ ）
A．4 B．3
C．2 D．1
【答案】A
【详解】，即为3ccosA＝acosC，
即有3ca，
即有a2﹣c2b2，
又a2﹣c2＝2b，则2bb2，
解得b＝4．
故选：A．
在中，若
，则的度数为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】因为，
所以由余弦定理得，
因为，
所以，
故选：C
在中，角的对边分别为，
若，则等于（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】B
【详解】解：因为，
所以，
又，
所以．
故选：B
在中，角的对边分别为，
若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：因为，所以．
故选：B
在中，，
则边所对的角等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，
所以，即 ，即 ，所以 .
故选：B
已知的内角的对边分别是，
则“”是“是钝角三角形”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】 ，由余弦定理得：，
即 为钝角，故充分性成立，
若钝角三角形中 为钝角，则 为锐角，
，即有 ，故必要性不成立.
故选：A.
已知是钝角三角形，内角所
对的边分别为，，，则最大边的取值范围是_________．（结果用区间表示）
【答案】（5，7）
【详解】因为是钝角三角形，最大边为，所以角为钝角，
在中，由余弦定理可得：
，可得，
又因为，所以，
所以最大边的取值范围是：，
故答案为：.
设的内角的对边分别为
.已知，，要使为钝角三角形，则的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)．
【答案】（填也对，答案不唯一）
【详解】首先由，，构成三角形有，
若为钝角所对边，有，，
若为钝角所对边，有，，
由，不可能为钝角所对边，
综上，的取值范围是,
由题意，取整数值，故的大小可取或.
故答案为：（填也对，答案不唯一）.
在中，若，则该三角形一
定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．不能确定
【答案】A
【详解】因为，
所以由余弦定理得，
所以，所以，
因为，所以，
所以为等腰三角形，
故选：A
的三边长分别为，，
，则的值为______.
【答案】19
【详解】由题意可得： ,
故,
故答案为：19
在中，，在边
上，且，则_____．
【答案】
【详解】在中，,，
则 ,即,
解得 , (舍去)，由可得 ,
故 ,
故 ,
故答案为：
在中，若，则
__________．
【答案】3或
【详解】因为C是三角形的内角，且，
所以．
当时，
由余弦定理得
则
同理，当时，得
故答案为:或．
在中，内角所对的边分别为，已
知，，.
(1)求；
(2)求的值.
【答案】(1)8
(2)
【详解】（1）
解：∵，，
∴，
由，解得或（舍去），
∴，
∴.
（2）
解：由余弦定理可得，
∴，
∴.
已知是中的对边，
，，．
(1)求边长；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
在中，由余弦定理得，，
即，
整理得，
解得；
（2）
在中，由余弦定理得，
得，
．
，又，，
所以，
易得，，所以，所以．
正弦定理
在中，内角的对边分别为．已知
，，，求．
【答案】或
【详解】由正弦定理得：，
，，，或.
在中，，，
，则角大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：由正弦定理，得，
解得：，又，
，
故选A.
在中，是所对的边，
且，，，则角（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】A
【详解】，，，
由正弦定理可得，则，
，.
故选：A.
在中，若，则角为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】因为，又
所以，
∴，又，
∴．
故选：B
在中，，，则角的
大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由正弦定理，
得，
又，所以，
故选：A.
在中，，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由三角形内角和：
根据正弦定理：，又
则：
故选：C
在 中，角所对的边分别为
，若，则（ ）
A． B．
C． 或 D． 或
【答案】D
【详解】因为在 中，，
由正弦定理得，可得，
又由，所以或，
当时，可得；
当时，可得，
故选：D.
在中，若，则
（ ）
A． B．2
C．3 D．
【答案】B
【详解】因为，所以；
因为，所以.
故选：B.
已知中，，，
，则的外接圆面积为___________.
【答案】
【详解】解：根据题意，由余弦定理可得
，
该的外接圆的半径为r，
则由正弦定理得：.
故答案为：.
在中，角所对的边分别为
．若，，，则角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】，所以，又，所以，又，，所以，解得，因为，，所以，.
故选：A.
在中，内角所对的边分别为
，若，，，则（ ）
A．8 B．6
C．5 D．3
【答案】C
【详解】在中，，
∵，∴，
由正弦定理得，
故选：C．
已知在中，，，
，则_________ ．
【答案】14
【详解】∵在中，，，
∴，，
∴，
∴，∴．
故答案为：14
在中，
，则角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由，得，故．
又正弦定理得，，解得，故或.
又因为所以，故，则．
故选：A．
已知是面积为的等边三角形，点
在线段的延长线上，若，则（ ）
A． B．2
C． D．3
【答案】C
【详解】设的边长为，
则，解得，
在中，，，，
由正弦定理得，
即，解得．
故选：C.
在中，是边上的一点，
，，，则（ ）
A．15° B．30°
C．45° D．60°
【答案】B
【详解】
如图所示,在中，，，
所以，由正弦定理知
，
设，，
所以
设，
在中，由正弦定理得：
，即，解得.
故选：B.
在中，角所对的边分别为，已知
，则的面积为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，，所以，所以．
故选：A．
的内角的对边分别是，若
，且的面积为，则（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【详解】因为，所以，解得.
故选：C
在中，内角的对边分别为
，若，，且的外接圆面积为，则的面积为（ ）
A．24 B．25
C．27 D．28
【答案】D
【详解】易知的外接圆半径.由可得，所以，，由，结合正弦定理可得，所以.
故选：D
已知分别为内角的
对边，，则的面积为（ ）
A．1 B．2
C．1或7 D．2或14
【答案】C
【详解】由可得，
因为，所以或，
∴或，
∴,
或．
故选：C.
在中，角的对边分别为
．若 ，则__________，__________．
【答案】 ， ．
【详解】试题分析：由正弦定理得
因为
所以
所以
由三角形面积公式
所以
故答案为，．
(多选)设的内角所对的边长
分别为，和分别为的面积和外接圆半径．若，则选项中能使有两解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【详解】对于A，由， ，由于 且，因此有两个解；
对于B，由， 则由正弦定理得，且，因此只能是锐角，故只有一组解；
对于C，由，得，故只有一解；
对于D，由得，所以或 ，由于，所以，由选项A可知有两解.
故选：AD
在中，已知
，则角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】解：在中，已知，
，
设，，，，
由余弦定理得：，
因为为三角形内角，
则，
故选：C．
在中，角的对边为,
，，，则（ ）
A． B．
C． D．1
【答案】D
【详解】∵，
故选：D.
在中，三个内角所对的边分别为
，且，若，，则（ ）
A．2 B．4
C． D．8
【答案】A
【详解】由正弦定理，及，
得，又，
所以，
整理得，所以，
又，所以．
由余弦定理，得，则．
故选：A．
在中，角的对边分别为，
若，则________________．
【答案】
【详解】，由正弦定理化简得，而，
而，解得，而，则，
故答案为：
在中，内角的对边分别为
，且，，，则的面积为_______．
【答案】
【详解】解：解法1：，
又，
∴，
∴，
∵，∴，
∴，又，∴，
∵，
∴，．
故答案为：
在中角的对边分别为，且
满足，则 .
【答案】
【详解】由，可得,
因为 ，
故，,
则 ，
故答案为：
在中，内角所对的边分别为
，若，则____________．
【答案】
【详解】∵，则
∴，即
解得
∴，则
故答案为：.
已知中，角所对的边分别为
.若，，则___________.
【答案】
【详解】由正弦定理可得，
故，
故，
整理得到，
而，故，所以，
故，解得或，
若，则，故同为钝角，这与矛盾，
故.
故答案为：.
在中，内角的对边分别为
，且，则_______．
【答案】
【详解】由正弦定理，①，
又，
代入式①得：，
∴，∵，∴，，
故，又，∴．
故答案为：
在中，角所对的边分别是，已知
.
(1)求的值；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
由于， ，则 ．
因为
由正弦定理知 ，则 ,
因为， ，所以， ,
故 ；
（2）
因为，，由余弦定理，得 ，
即 ，解得（负值舍去），而，
所以的面积.
在中，内角所对的边长分别
为，且.
(1)求；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）
由，故
由正弦定理知：，所以.
因为，所以A为锐角，故；
（2）
由（1）及余弦定理知：，
故，故.
由，所以，
所以的面积.
已知的内角的对边分别为
，且．
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）
因为，由正弦定理得
，
所以，
所以，
因为，所以
即，所以，
因为，所以，所以即；
（2）
因为的面积为，，
由三角形的面积公式得，化简得，
又根据余弦定理得，
所以，
所以，所以，
故的周长为.
在中，内角所对应的边分
别是，．
(1)求角的大小；
(2)若，，求．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
解：因为，
由正弦定理可得，
即，
因为，所以，
所以．
因为，所以，所以，又，
所以．
（2）
解：因为，，所以，
则
．
因为，所以.
已知的内角所对边分别为
，且.
(1)求；
(2)，求边长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
由可得，
即，
所以由正弦定理可得，
所以，
因为，所以；
（2）
∵，
∴即，所以，
∴，
所以
实际应用
一艘轮船从处沿正东方向航行10千米到达处，
再从处沿北偏东30°的方向航行15千米到达处，则A之间的距离是（ ）
A．千米 B．千米
C．20千米 D．千米
【答案】D
【详解】在中，千米，千米，，则由余弦定理可得，则千米．
故选：D.
两座灯塔和与海洋观察站的距离分别
为，，灯塔在观察站的北偏东方向上，灯塔在观察站的南偏东方向上，则灯塔和的距离为______．
【答案】7
【详解】根据题意作出如图的方位图，
则
在△ABC中，由余弦定理，有：
所以
故答案为：7
某渔船由于引擎故障滞留在海上的C位置，
一艘快艇负责救援，快艇从A岛出发，沿南偏西30°行驶了300海里到达B位置，发现偏航后及时调整，沿北偏西30°行驶了100海里到达C位置，则A岛与渔船发生故障的C位置间距离为（ ）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
【答案】A
【详解】如图，由已知，，所以，又,
所以，又，,
由余弦定理可得，
所以（海里）
故选：A.
一艘轮船沿北偏东28°方向，以18海里/时的
速度沿直线航行，一座灯塔原米在轮船的南偏东32°方向上，经过10分钟的航行，此时轮船与灯塔的距离为海里，则灯塔与轮船原来的距离为（ ）
A．2海里 B．3海里
C．4海里 D．5海里
【答案】A
【详解】如图，设A为轮船原来的位置，B为轮船10分钟后的位置，C为灯塔的位置，
由题意知，，．
由余弦定理得，
所以，化简得，
解得或（舍去），
所以灯塔与轮船原来的距离为2海里，
故选：A
如图，为了测量某障碍物两侧A，B两点间
的距离，给定下列四组数据，测量时最好选用数据（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由余弦定理知，所以只要测量出，且这三个数据便于测量．
故选：C
一艘海轮从处出发，以每小时40海里的速度沿南
偏东的方向直线航行，1小时后到达处，在处有一座灯塔，海轮在处观察灯塔，其方向是南偏东，在处观察灯塔，其方向是北偏东，那么两点间的距离约为（ ）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
【答案】C
【详解】由题设，，且海里，
在△中，则海里.
故选：C
一海轮从A处出发，以每小时40海里的速
度沿南偏东的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东，在B处观察灯塔，其方向是北偏东，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．海里 B．海里
C．海里 D．海里
【答案】C
【详解】解：如图，作出，由题意可知，
海里，，则，
因为，
所以海里，
即B，C两点间的距离是海里.
故选：C.
已知轮船和轮船同时从岛出发，船
沿北偏东的方向航行，船沿正北方向航行（如图）．若船的航行速度为，后，船测得船位于船的北偏东的方向上，则此时，两船相距（ ）．
A． B．40
C． D．
【答案】B
【详解】解：由图所示：由题意可知：，，，
由正弦定理可知：，
所以，所以，
即此时，两船相距；
故选：B
海面上有相距的A，B两个小岛，从
A岛望C岛和B岛成的视角，从B岛望C岛和A岛成的视角，则B，C间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题意知，
由，所以．
故选：D.
释迦塔全称佛宫寺释迦塔 位于山西省朔州市
应县城西北佛宫寺内，俗称应县木塔 建于辽清宁二年（宋至和三年公元1056年），金明昌六年（南宋庆元一年公元1195年）增修完毕，是世界上现存唯一最古老最高大之木塔，为了测量释迦塔的高度，某同学在点A处测得塔顶D的仰角为45°，然后沿点A向塔的正前方走了50到达点M处，此时测得塔顶D的仰角为75，据此可估计释迦塔的高度约为（ ）
A．65.8 B．68.3
C．68.9 D．69.1
【答案】B
【详解】根据题意，将实际问题抽象成数学模型，如图所示，因为，
所以，在中，由正弦定理可知，
即解得.在中，.
所以释迦塔的高度约为，
故选：B.
课后练习
在中，内角所对的边分别是，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为，所以由余弦定理可得，
整理得；
解得.
故选：D.
在中，角所对的边分别是，若，则角的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：因为，
所以由余弦定理可得，
因为，
所以，
故选：D.
(多选)在中，若，，，则的值可以为（ ）
A． B．
C．2 D．4
【答案】AB
【详解】解：根据，得，即，解得或，
故选：AB.
在中，，，，则______．
【答案】3
【详解】由余弦定理可得，，
即，解得或(舍去).
故答案为：3
在中，若，，，则___________．
【答案】
【详解】由余弦定理得，所以.
故答案为：.
在中，，则___________.
【答案】
【详解】由已知得.由余弦定理得，所以.
故答案为：
在中，角的对边分别为，若，且，则______．
【答案】
【详解】由余弦定理可得，化简得，
则，
又，所以，
故答案为：．
已知为的三边，，则______.
【答案】0
【详解】，则，故.
故答案为：0.
已知锐角的内角的对边分别为，若，，则角___________.
【答案】
【详解】解：，，
，
整理可得即，
所以，
，
，
故答案为：
在中，已知，则____________．
【答案】3或1
【详解】在中， ，
由余弦定理得，
所以，得．
由，得或
所以或1．
故答案为：或1．
在中，若，则角（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由，可得
所以，又
所以
故选：B
中，，，，则角的大小是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：∵在中,,,,
∴由余弦定理得：,
∵,
则.
故选：A.
在中，角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】在中，因为，
由正弦定理得： ，
解得：.
因为，所以，所以.
故选：D
在中，角的对边分别是，若，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：在中，．
由正弦定理可知，所
以，
故．
故选：D.
已知中，，则等于（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【详解】解：中，因为，
所以，
因为，
所以，
又，
所以或.
故选：A.
已知中，，则（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以，解得，而，所以，所以．
故选：C．
已知的内角所对的边分别为，若，则（ ）
A． B．
C．6 D．
【答案】A
【详解】由正弦定理，整理得
故选：A．
中，，，，则（ ）
A． B．2
C． D．1
【答案】B
【详解】因为，，所以
由正弦定理知：，所以.
故选：B
在中，所对的边分别为，若，，，则（ ）
A． B．
C． D．或
【答案】B
【详解】根据题意，由正弦定理，可得:，
解得，故可得或，
由，可得，故.
故选:B.
(多选)在中，已知，且，则角的值可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】由正弦定理可得，即
又，所以
因为，所以或.
所以或
故选：CD
(多选)设的内角的对边分别为.若，，则角可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【详解】解：正弦定理得，又，，
，，则，，故或，
或
故选：BD．
(多选)在中，角所对的边分别为，若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【详解】因为，
由正弦定理，可得，
又，
所以或．
故选：CD.
已知中，，，，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【详解】根据正弦定理，得，故，
因为，所以或，
又因为，所以，故.
故选：A.
在中，，则的面积为_________.
【答案】
【详解】由三角形面积公式得,
故答案为：
在中，若，则的面积为___________.
【答案】3
【详解】因为在中，，，
所以，
故.
故答案为：3.
在中，角的对边分别为，若满足：．
(1)求的值；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）
，则，
所以.
（2）
由，且，则，
设，则
所以或，又，
当时；当时.
在中，分别是内角的对边.已知
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
解：由正弦定理得.
因为，所以，
化简得，
即，
因为，
所以.
（2）
由（1），又，
由余弦定理，
所以，
所以.
在中，．
(1)求的值；
(2)设，求的值．
【答案】(1)
(2)6
【详解】（1）
由和，得，
故，即．
又因为，
所以．
（2）
由题意可知，C为钝角，A，B均为锐角，
又∵，
∴，
则中，，
由正弦定理可得：，
.
在中，角的对边分别为．已知，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）
因为，，，，
所以，
即，
解得：；
（2）
因为，而，
所以，又，
所以．
在中，角的对边分别为，且.
(1)求角的值；
(2)若，且的面积为，求.
【答案】(1)；
(2)．
【详解】（1）
，
，，，，，所以；
（2）
由题意，，
由（1）， ，即，又，所以，
由（是外接圆半径），得，，
所以由，得．
的内角的对边分别是.已知.
(1)求角；
(2)若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
因为，
所以，
因为，所以.
（2）
因为的面积为，所以，解得，
由余弦定理得，
解得，
所以的周长为.
在中，分别是角的对边，.
(1)求；
(2)若，且，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）
在中，，由正弦定理得：，
整理得：，由余弦定理得，而，
所以.
（2）
在中，由及正弦定理得：，即，
由（1）得：，因此，
所以的面积是.
在锐角中，的对边分别，且．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
由及正弦定理得．
因为，故，
又△ABC是锐角三角形，所以；
（2）
由余弦定理得:，
解得：或（舍去）．
故．
在中，角所对的边分别为，已知．
(1)求的大小；
(2)若，，为的中点，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）
由正弦定理边角关系，可得，则，
而，且，故.
（2）
由（1）知：，即，
又，
在△中，.
在中，角所对的边分别为，已知，，．
(1)求的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
因为，，
所以由正弦定理知，，
又由，
故，
所以，故．
（2）
由知，，
，
记的面积为，
因为，
所以，
故的面积为．
在中，．
(1)求的值；
(2)若，求．
【答案】(1)；
(2)或.
【详解】（1）
因为，所以，
由余弦定理得：.
（2）
因为a=8，b=7，
所以，
解得：或5，
经检验，均满足要求，
因为，所以，
当时，；
当时，，
综上：或.
已知的内角的对边分别为，，，.
(1)求角；
(2)求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【详解】（1）
因为，
所以由余弦定理可知：；
（2）
由正弦定理可知：，
，，
.
在中，.
(1)求的大小：
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
因为，
所以由正弦定理得，
因为，所以，
由上式可知，所以，
因为，所以，
（2）
因为,
所以，
所以由正弦定理得，，
所以，得，
因为，，
所以，
所以
，
所以
已知在中，角所对的边分别为，，且的外接圆的直径为2.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，求的周长.
【答案】(1)
(2).
【详解】（1）
由题意知，
所以，
即，
解得（舍去）或，
又，
所以.
（2）
由题意及正弦定理得，
所以，
因为的面积，
所以，
由余弦定理得，
所以，
所以的周长为.
已知的内角所对的边分别为，若，，且．
(1)求；
(2)求．
【答案】(1)；
(2)或．
【详解】（1）
由正弦定理得：，
∴，即，
解得；
（2）
∵，
∴，
∴，
由余弦定理得：，
∴，
即，
解得：或．
在锐角中，角的对边分别为，已知，，.
(1)求角的大小；
(2)求边长.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
在中，由得，即，
因为，所以，
因为是锐角三角形，所以；
（2）
在中，由余弦定理得，即，
解得或，
当时，因为，
所以角B为钝角，不符合题意，舍去；
当时，因为，且，，所以，，
所以为锐角三角形，符合题意，所以.
如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸，的俯角分别为75°，30°，若河流的宽度是60，则此时气球的高度等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：在中，，
则,
,
因为，
所以，
所以气球的高度为.
故选：B.
一同学到东方神话主题乐园游玩时，想用所学数学知识测量乐园内某游乐设施的高度，选择点和勇闯玄甲城项目的顶部点C为测量观测点，从点测得M点的仰角，C点的俯角以及，从C点测得，点A，B，N共水平面，若勇闯玄甲城项目的高，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：因为在中，，，所以，，
又因为在中，，，
所以,
由正弦定理可得，所以m,
又因为在中，，
所以m.
故选：D.
平凉大明宝塔为甘肃省重点文物保护单位．一九八六年，省政府拨款，对宝塔进行了维修和加固，铺了楼板，做了木梯，如今的宝塔，面目全新．游客可以由木梯盘旋而上至顶层，举目四望平凉城市风光．某学生为测量平凉大明宝塔的高度，如图，选取了与平凉大明宝塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则平凉大明宝塔的高度是（ ）
A．25米 B．米
C．30米 D．米
【答案】C
【详解】在中，，，
在中，，，
在中，由余弦定理得，
即，解得米.
故选：C.
如图，一栋建筑物AB的高为米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面点M（B、D、M三点共线）处测得楼顶A和塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高（单位：米）为（ ）
A． B．30
C． D．60
【答案】C
【详解】依题意，，
在中，，在中，，
，由正弦定理得：，
在中，（米），
所以通信塔CD的高为米.
故选：C
圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD约为（ ）
A．54m B．47m
C．50m D．44m
【答案】A
【详解】由题可得在直角中，，，所以，
在中，，，
所以，
所以由正弦定理可得，所以，
则在直角中，，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.
故选：A.
如图，小明同学为测量某建筑物的高度，在它的正东方向找到一座建筑物，高为，在地面上的点（，，三点共线）测得楼顶、建筑物顶部的仰角分别为和，在楼顶处测得建筑物顶部的仰角为，则小明测得建筑物的高度为（ ）（精确到）参考数据：，
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】在直角三角形中，，
在三角形中，，
，
由正弦定理得.
在直角三角形中，
.
故选：D
岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得，，米，则岳阳楼的高度CD为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
【答案】B
【详解】解：因为，，
所以，
所以为等腰三角形，
所以米，
在中，，
所以米.
故选：B.
今年北京冬奥会，首钢滑雪大跳台（如图1）是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.西青区某校研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A（如图2）距离地面的高度 AB（AB与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物PQ.测得PQ的高度约为25米，并从P点测得A点的仰角为30°.在赛道与建筑物PQ之间的地面上的点M处测得A点、P点的仰角分别为75°和30°（其中B，M，Q三点共线）.则该学习小组利用这些数据估算得赛道造型最高点A距离地面的高度约为（ ）（参考数据：，，）
A．59 B．60
C．65 D．68
【答案】A
【详解】如图所示：
由题意得：，
在中，，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中， ，
所以，
所以赛道造型最高点A距离地面的高度约59.
故选：A.
魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高.如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，若，，，，则海岛的高（ ）
A．20 B．16
C．27 D．9
【答案】A
【详解】由平面相似知识可知，，，所以，解得，从而．
故选：A．
