第八章 立体几何初步
8.6空间直线、平面的垂直
8.6.1直线与直线垂直
（1）平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于的
角称为这两条直线所成的角（或夹角）.
（2）如图，两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）.
（3）如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.记作.当两条直线相互平行时，所成的角为.所以空间两条直线所成角的取值范围是.
8.6.2直线与平面垂直
（1）如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，就说
直线与平面互相垂直，记作.直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足.
（2）过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
（3）定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
（4）平面内的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.直线与平面所成的角的取值范围是.
（5）定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
（6）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，叫做这两个平行平面间的距离.
8.6.2直线与平面垂直
（1）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面
角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或二面角.
（2）如图，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.二面角的平面角的取值范围是.
（3）两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作.
（4）定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
（5）定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
1异面直线所成角
我国古代将四个面都是直角三角形的四面体称作整
儒.如图，在鳖儒S—中平面是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
作正方形ABCD，连接SD，
则异面直线BC与SA所成角的平面角为∠SAD（或其补角），又由已知有，则BC⊥面SCD，即AD⊥面SCD，
，设，则，则.
故选：B.
在我国古代数学名著《九章算术》中，将四
个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 中，平面，且，则异面直线与所成角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】C
【详解】
解：如图，
分别取、、、的中点、、、，
连接、，、、，
可得，，则异面直线与所成角即为（或其补角）．
，，，设，
，，，，
又平面，，则，
则为等边三角形，可得，
即异面直线与所成角为．
故选：．
如图，四面体中，
分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【答案】A
【详解】
取BC的中点G,连结FG,EG.
由三角形中位线定理可得：AB∥EG，CD∥FG.所以（或其补角）即为EF与CD所成的角.
因为EF⊥AB,则EF⊥EG.
因为CD=4,AB=2,所以EG=1,FG=2,则△EFG是一个斜边FG=2,一条直角边EG=1的直角三角形,所以,因为为锐角，所以，
即EF与CD所成的角为30°.
故选:A
如图，在长方体中，
，分别是、的中点.则直线与是（ ）
A．相互垂直的相交直线
B．相互垂直的异面直线
C．相互不垂直的异面直线
D．夹角为60°的异面直线
【答案】B
【详解】
设，连接，
因为平面，平面，，
故直线与异面直线.
在矩形中，因为为所在棱的中点，故，
而，故，
故四边形为平行四边形，故，
所以或其补角为异面直线与所成的角，
在中，，
故，故，
故选：B
如图，四边形为正方形，平面
，，，则直线与直线所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】
由于平面，所以，
由于，所以平面.
设是的中点，连接，
由于，所以四边形是平行四边形，
所以，
由于，所以，
所以四边形是平行四边形，
所以，
所以是直线与直线所成角，
设，
所以，
所以.
故选：D
如图，在四面体中，
，AC与BD所成的角为，分别为的中点，则线段的长为_______.
【答案】或
【详解】
取的中点，连接、，
、分别为、的中点，
且，
同理可得且，
为异面直线与所成的角或其补角，则或.
在中，.
若，则为等边三角形，此时，；
若，由余弦定理可得.
综上所述，或.
故答案为：或.
如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，
点是线段的中点，点在底面圆的圆周上，且的长度等于的长度，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】
解：过点A作于点O，过点A作于点G，取AO的中点F，连接GE、OE、EF，
则，且，所以（或其补角）就是异面直线与所成的角，
设圆锥的底面半径为2，则，，，所以，
在中，，，所以，
在中，，，所以，
在中，，，，
所以在中，满足，所以，
所以，
故选：A.
如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，
点是线段的中点，点在底面圆的圆周上，且的长度是长度的两倍，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】
如图所示：取中点为，中点为，连接；
在中，分别为的中点.
所以.
所以异面直线与AC所成角为.
设，则，.
因为的长度是长度的两倍.
所以.
在中:.
又因为平面,.
所以平面；又平面.
所以.
在中：.
在中：
所以.
故选：B.
2线面垂直
直接找
如图：已知四棱锥中，平面
，是正方形，是的中点，求证：
平面．
【答案】证明见解析.
【解析】
∵PD⊥平面ABCD，BC 平面ABCD
∴BC⊥PD
∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD
又∵PD∩CD＝D
∴BC⊥平面PCD．
如图，在四棱锥中，底面满
足平面，且.
证明：平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
由于平面，所以，，，
由于，
所以平面.
如图，是圆的直径，点是圆上的
点，过点的直线垂直于圆所在平面，分别是的中点.
求证：平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
证明：因为为的直径，点是上的点，所以，
又因为垂直于所在的平面，且在所在的平面内，所以，
又由且平面，所以平面，
又因为，所以平面.
如图，已知正四棱锥中，为底面
对角线的交点.
求证：平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
在正四棱锥中，O为底面对角线的交点，则O是AC，BD的中点，
而，，则，，因，平面，
所以平面.
通过勾股定理或三线合一
如图，已知四棱锥的底面是边长为
的正方形，，，是上的中点．
求证：平面．
【答案】证明见解析.
【解析】
证明：因为，，，
所以，，
同理可得，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为底面是正方形，所以，
因为，平面，
所以平面.
已知四边形为直角梯形，
，，为等腰直角三角形，平面平面，E为PA的中点，，.
求证：平面PBD.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
证明：∵，
∵，，
又平面平面，平面平面，
∴面，，
由题意，又，且，
∴面.
如图，在四棱锥中，平面平
面，，.
证明:平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
依题意，∠ABC=∠DAB=90°，四边形是直角梯形，，则，，
在中，，
则有，即，，
因平面CDE⊥平面ABCD，平面平面，平面，则平面，
又平面，则有，而，，平面ADE，
所以AB⊥平面ADE.
如图，在长方体中，
，M，N分别为，的中点，与交于点.
证明：平面.
【答案】证明见解析
【解析】
连接，
由于，所以，
由于是的中点，所以.
设，
则，
所以，所以，
由于，所以平面.
如图所示，四棱锥中，平面
平面是等腰直角三角形，．
求证：平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
因为平面SAB, 故，
在中 ,由,设，得，
因为平面SAB, SA平面SAB ,故，
是等腰直角三角形，故 SB = BC = 2，
在中，,
解得，故，即
因为平面，,
故 平面.
如图，在直三棱柱中，
，是的中点，是线段上的点，，.
求证：平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
证明：连接，设，由得，.
由三棱柱是直三棱柱得.
∴.
∵是的中点，
∴.
又∵，，平面，平面，
∴平面.
已知三棱柱的棱长均为，
平面，为的中点.
证明：平面.
【答案】证明见解析
【解析】
记，连接，
三棱柱的棱长均为，平面，
四边形和为全等的两个正方形，且为中点；
，，，，
，，
又平面，，平面.
翻折问题
如图1，在边长为4的菱形中，
于点,将沿折起到的位置，使，如图2.求证：平面.
【答案】证明见解析.
【证明】在菱形中，于点,又平面,.又平面.
如图，已知等腰梯形中，，
，是的中点，，将BAE沿着翻折成，使平面平面.
求证：平面.
【答案】证明见解析．
【解析】
由（1）知，，，平面，
所以平面，而由（1）知，
所以平面．
如图1，直角梯形中,
，将梯形沿中位线折起并连接得到图2所示的多面体，且
证明：平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
由梯形中位线性质可得
折起后，
平面，
∴平面AEF；
利用线面垂直性质定理
如图，在四棱锥中，平面平面
，，，，，.
证明：平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
在中，，，
即；
平面平面，，平面平面，
平面，又平面，，
平面，，平面.
如图，四棱锥中，底面是直
角梯形，，，平面平面，设平面与平面的交线为.
证明：平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
【分析】
∵，平面平面，且平面平面，
∴平面.
∵，平面，平面，
∴平面.
∵平面平面，平面，
∴，
∴平面.
先证目标直线所在平面内的其他直线
已知长方体中，棱，棱，连
接，过点作的垂线交于，交于.
求证平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
证明：平面，，又，，
平面，，
又平面，，且，，
平面，
，又，
A1C⊥平面EBD.
通过平行传递
四棱锥中，底面为矩形，底
面，，分别为的中点.
求证：平面；
【答案】证明见解析.
【解析】
取中点，连结，
因为是中点，所以，
在矩形中，，因此有，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为底面，平面，
所以平面底面，在矩形中，，
因为平面底面，所以平面，而平面，
所以，因为，是中点，所以，
因为平面，所以平面，
而，所以平面；
如图，在棱长都相等的正三棱柱
中，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)证明过程见解析.
【解析】
(1)
设G是CC1的中点，连接，
因为E为B1C的中点，所以，而，所以，
因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC，
同理可证平面ABC，因为平面，且，
所以面平面ABC，而平面，所以DE 平面ABC；
(2)
设是的中点，连接，
因为E为B1C的中点，所以，而，所以，
由（1）可知：面平面ABC，平面平面，平面平面，因此，
在正三棱柱ABC－A1B1C1中，平面平面ABC，而平面平面ABC，
因为ABC是正三角形，是的中点，所以，因此平面，
而平面，因此，而，所以，
因为正三棱柱ABC－A1B1C1中棱长都相等，所以，而E分别为B1C的中点，
所以，而平面BDE，，所以B1C⊥平面BDE.
如图所示，在四棱锥中，平
面，底面是矩形，，，过点作，交于点，点分别为线段的中点．
证明：平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
证明：，
所以，
又，
，
，
，
又，，
，
点E为线段AD的中点，
，
又平面ABCD，平面ABCD，
，
，
又，EF，平面BEF，
平面BEF．
3面面垂直
直接找线面垂直
如图，在正三棱柱中，是的中
点．
证明：平面平面．
【答案】证明见解析
【解析】
由题知：，又，所以，
又因为为正三角形，为的中点，所以，
，所以，
又，所以.
如图，在三棱锥中，
.
证明：平面平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
设点在面内的射影为点，由知，又为直角三角形，故点为线段的中点，则面，又平面，
平面平面；
如图所示，在三棱柱中，
，侧面底面分别为棱和的中点．
求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【解析】
在△ABC中，因为AB＝AC，E为BC的中点，
所以AE⊥BC，
又侧面BCC1B1⊥底面ABC，侧面BCC1B1∩底面ABC＝BC，且AE 平面ABC，所以AE⊥平面BCC1B1，
又AE 平面AEF，
所以平面AEF⊥平面BCC1B1.
如图，在三棱锥中，平面
，点分别是和的中点，设，直线与直线所成的角为.
求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【解析】
证明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，
又∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又ACSC=C，
∴BC⊥平面SAC，
又∵P，M是SC、SB的中点，
∴PM∥BC，∴PM⊥面SAC，又PM平面MAP，
∴平面MAP⊥平面SAC.
如图所示，矩形所在平面与半圆弧
所在平面垂直，是弧上异于、的点.
证明：平面平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
由题意可知，平面平面，平面平面，
∵，平面，∴平面，平面，∴，
∵是弧上异于、的点，且为直径，∴，
又，平面，∴平面，
又平面，∴平面平面.
翻折问题
在梯形中，，，点
分别在边上，沿直线，分别将、、折起，点重合于一点P.
证明：平面平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
∵翻折前，，
∴翻折后，，
∵，
∴平面PND，
∵平面PMD，
∴平面平面PND.
图甲是由直角梯形和等边三角形
组成的一个平面图形，其中，，，将沿折起使点到达点的位置（如图乙），在四棱锥中，若.
证明：平面平面.
【答案】证明见解析
【解析】
证明：如图，取中点为，连接，，
由题得且，得，，
∵，∴，
∵，∴，，平面，
∴平面，平面，
所以平面平面.
在如图1所示的梯形中，已知
，为的中点，将沿折起，得到的如图2所示的四棱锥，且C1D⊥BE．
证明：平面平面．
【答案】证明见解析
【解析】
因为，E为BC的中点，所以四边形ABED是矩形，．
又因为所以BE⊥平面C1DE．
因为BE平面ABED，所以平面C1DE⊥平面ABED．
如图甲，直角梯形中，，
，为的中点，在上，且，现沿把四边形折起得到空间几何体，如图乙.在图乙中求证：
(1)平面平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
(1)
证明：翻折前，，翻折后，则有，，
因为平面，平面，平面，
因为平面，平面，平面，
因为，因此，平面平面.
(2)
证明：翻折前，在梯形中，，，则，
，则，
翻折后，对应地，，，因为，所以，平面，
，则平面，
平面，因此，平面平面.
构造辅助线
如图，在三棱柱中，所有棱长均为
.
证明：平面平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
取中点，连接则.
，，∴△为等边三角形，
，
∵，，
，，
平面，
平面，∴平面平面.
如图所示，已知平面，平面
，为等边三角形，，为的中点.求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
(1)
取的中点，连接，
因为F为CD的中点，
所以∥，，
因为平面ACD，平面ACD，
所以∥，
所以∥，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，
所以∥，
因为平面，平面，
所以∥平面，
(2)
因为为等边三角形，F为CD的中点，
所以，
因为平面ACD，平面ACD，
所以，
因为，
所以平面，
因为∥，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面
如图，在正三棱柱中，各棱长均
为2，是的中点．
求证：平面平面．
【答案】证明见解析
【解析】
取的中点为，的中点为，连接，
由正三棱柱可得平面，而平面，
故，而为等边三角形，，所以，
在中，、分别为所在棱的中点，故，
而，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
由可得平面，
而平面，故平面平面.
如图，三棱锥中，
，，.
证明：平面平面.
【答案】证明见解析.
【解析】
如下图，若分别是中点，连接，令，
由，即△为等腰直角三角形，则；
在等腰△中，可得 且，又，
所以，即，又且面，
所以面，而面，故平面平面.
3角度距离问题
等体积法求点到线的距离
在三棱锥中，底面,,
，是的中点，是线段上的一点，且，连接.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
因为，所以.
又，.
所以在中，由勾股定理，得.
因为，所以是的斜边BE上的中线.
所以C是BE的中点.
又因为D是AE的中点，所以直线CD是的中位线，
所以.
又因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB.
(2)
由（1）得，.
又因为，.
所以.
又因为，所以.
由题意得，且，所以.
设点E到平面PCD的距离为d，则由
得，即，解得.
故点E到平面PCD的距离为.
如图，四棱锥中，平面
,，，，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
设是的中点，连接，由于是的中点，
所以，
由于，
所以，所以四边形是平行四边形，
所以，
由于平面平面，所以平面PAD.
(2)
设到平面的距离为，
因为平面，所以，
由于，所以四边形是平行四边形，
由于，所以，由于，
所以平面，则，
由得，
即.
如图，正三棱柱中，
，点是棱的中点．
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：如图所示：
设的中点为，连接，，
∵正方形中，，，
∴，
∴，
∵平面，平面，
∴，
又，为中点，
∴，
∵，
∴平面，
∵平面，
∴，
∵，平面，平面，
∴平面，
∵平面，
∴；
(2)
设点到平面的距离为，
∵，
∵，，
∴
由（1）平面，
∴为的高，
又，
∴，
∴，
∴，
故点到平面的距离为．
如图，如图，在四棱锥中，底面
为平行四边形，，，且底面．
(1)证明：平面；
(2)求到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
(1)
在四棱锥中，底面，平面，则，
在中，，而，即有，
则有，因，平面，
所以平面.
(2)
由（1）可得，，因，则，
，，令到平面的距离为h，
由，即得：，解得，
因，平面，平面，于是得平面，
所以到平面的距离等于到平面的距离.
如图，四棱锥中，底面
．底面为菱形，且，，分别为棱的中点．为上的动点，
(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为2，求棱的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：因为E，M为的中点，则，
又平面，平面，所以平面，
M，N分别为棱的中点，所以
又平面，平面，所以平面，
又因为，所以平面平面
平面，所以平面．
(2)
底面为菱形，则，
因为，在中，
由余弦定理得，则
设点F到平面的距离为a，又平面．则．
由得，
解得，则．
如图，点是以为直径的圆上异于
的动点，平面，四边形是直角梯形，且.
(1)证明：平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：如图，取的中点M，连接.
在中，O是的中点，M是的中点，
所以平面平面，
故平面，
在直角梯形中，，所以，
∴四边形是平行四边形，所以，平面平面，
所以平面
又，平面，故平面平面，
又因为平面，所以平面.
(2)
解：中，设，则，
所以，
因为平面，
所以
，
当且仅当，即时，
三棱锥的体积最大，最大值为，
此时，
，
设点E到平面的距离为d，由得：，
所以.
如图，四棱锥中，底面为
矩形，平面，点在上.
(1)若为的中点，证明：平面.
(2)若，判断点在什么位置时，使得三棱锥的体积为.
【答案】(1)证明见解析
(2)为的中点
【解析】
(1)
连接交于，连接，如图所示
∵为矩形，
∴为的中点，
又为的中点，
∴，
∵平面，平面，
∴平面；
(2)
由题可知，平面，平面，
所以，
因为，，所以,
设，底面为矩形，
∴的面积为
.
设到平面的距离为，则
∵棱锥的体积为，
，解得
∴到平面的距离为.
∵平面，平面,
∴平面平面，
过在平面内作，垂足为，则平面，
而平面，于是.
∵，
∴为的中点.
翻折问题
已知平行四边形中，，点在
上，且满足，将沿折起至的位置，得到四棱锥．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
在中，，，，
由余弦定理得，所以，
由勾股定理知．折叠后，则有，，
因为，
所以平面，
又平面，
所以平面平面；
(2)
设点到平面的距离为，则由知：，
，
∴由，
知：，
．
直角梯形中，，，
，，，将梯形沿中位线折起使，并连接得到多面体，连接，，.
(1)求证：平面；
(2)求到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
因为，，，，过作垂足为，
则，，，所以，
因为，，平面，平面，
所以平面，又有，所以 ，
又 ，平面
(2)
设点到平面的距离为，因为，由（1）知，平面，
因为平面，所以，
因为平面，平面，，所以平面，
所以，即
由，得，又，
且由（1）知平面，所以，所以，
所以，即 ，故到平面的距离为.
图甲是由直角梯形和等边三角形
组成的一个平面图形，其中，，，将沿折起使点到达点的位置（如图乙），在四棱锥中，若.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面的交线为，求与平面的交点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：如图，取中点为，连接，，
由题得且，得，，
∵，∴，
∵，∴，，平面，
∴平面，平面，
所以平面平面.
(2)
如图，延长交于点，连接，
则平面与平面的交线为，即为，平面，
设到平面的距离，由，
得，
∵，
，由且得是中点，
所以，
∴.
如图1，在矩形中，，
，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面．
(1)设F为的中点，若线段上的一点，满足．求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：如图所示：
取的中点N，连AN、NF，则，，
∵，当时，，，
是且，
所以AMFN是平行四边形，
则．
又平面，平面，
所以平面；
(2)
如图所示：
取AE的中点O，BC的中点Q，连接EF，．
易知，．
因为，，
所以，平面平面，
平面平面AECB，平面，
所以平面AECB．
设点B到平面的距离为d．
在中，，，
所以．
在中，因为，，
所以．
由，
得．
即
解得．
换点、换面
如图，在三棱柱中，平面
平面，，.
(1)求证：；
(2)若，，，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：平面平面,平面平面，
又，平面， 平面，
又平面，，
，又，平面，平面.
又平面， .
(2)
设点C到平面的距离为h，则由得：，
由（1）可知平面，又平面，.
又，，，，
.
在中，，，， .
在中，，，，.
，
，即点C到平面的距离为.
在四棱锥中，底面是矩
形，点是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)若是等边三角形，，平面平面，求点到平面的距离.
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
(1)
连接交于点，连接.
因为分别是的中点，所以.
又平面EBD，平面EBD，所以平面EBD；
(2)
过点作的垂线，垂足为，连接.
因为平面平面ABCD，平面平面ABCD，所以平面ABCD
，
所以，设点到平面的距离为
因为，所以，
因为点是的中点，所以点到平面的距离为.
如图，已知四棱锥中，平面
为等边三角形，，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
取的中点，连接，则，且，
又因为，
所以且，
所以四边形是平行四边形，，
因为为等边三角形，为中点，
所以，
又平面，所以，
因为，所以平面，
由得平面.
(2)
因为是的中点，
所以点到平面的距离是点到平面的距离的一半，
因为，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为，
所以，
，
所以到平面PAB的距离为.
在直四棱柱中，底面
是正方形，，，点分别是，，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
取的中点P，连接，，
因为E，P都是中点，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，即平面
又因为P，M是中点，由中位线知，即平面
而所以平面平面，
又因为平面，所以平面
(2)
因为平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
因为，，而E为的中点，故，所以，，
设点M到平面的距离为d，所以
又因为，所以
由，解得，
即点N到平面的距离为
如图，在圆柱中，，分别为圆
，圆的直径，，，为圆柱的母线.
(1)证明：平面；
(2)若圆的半径为2，，与圆柱的底面成45°角，点为的中点，求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：连接交于点D，连接.
由题意得四边形为平行四边形，所以D为的中点.
又为的中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
(2)
解：由（1）知平面，所以点P到平面的距离等于点到平面的距离.
由题意知，，，
所以，.
由圆柱的母线与底面垂直得平面ABC，与圆柱的底面成45°角，即，所以，
所以，
所以，
易求，，
所以的面积.
设点到平面的距离为d，则，所以.
即点P到平面的距离为.
几何法求线面成角
构造辅助线找投影
如图，已知三棱锥，平面，
，，，分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
(1)
、分别是、的中点，，
平面，PA平面PAC，
//平面；
(2)
由(1)知，∵PA⊥平面ABC，平面，
即为直线与平面所成角，，
，
，，，，CM＝，
.
如图，正方体中，
分别是棱、、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正切值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
取的中点，连接、、、，
因为四边形为正方形，则且，
因为、分别为、的中点，则且，
所以四边形为平行四边形，所以，且，
因为且，所以，且，
故四边形为平行四边形，则，
由平面，平面，平面，
由、分别为、的中点，则，
同理可证，.
平面，平面，所以平面
所以，平面平面，
又平面，所以，平面.
(2)
取的中点，连接、，设正方体的棱长为，
由因为、分别为、的中点，所以
因为平面，则平面，
所以直线与平面所成角为，
因为平面，平面，则，
在中，，，所以，，
因此，直线与平面所成角的正切值为.
如图，在直三棱柱中，
，点是的中点.求证：
(1)
(2)平面.
(3)若，求直线与平面所成角的正切值.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【解析】
(1)
在直三棱柱中，平面，平面，则，
而AC⊥BC，，平面，则有平面，又平面，
所以.
(2)
令，连OD，如图，矩形中，O是中点，而点D是AB的中点，
则，又平面，平面，
所以平面.
(3)
在直三棱柱中，平面，平面，则，
因，点D是AB的中点，则，连，又，平面，
于是得平面，而平面，因此，平面平面，
则是在平面上的射影，是直线与平面所成的角，
而，因此，，
所以直线与平面所成角的正切值是.
如图，在三棱锥中，，
底面.
(1)求证：平面.
(2)若，是的中点，求与平面所成的角的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明；因为底面，底面，所以，
由，所以，
又因为，且平面，所以平面.
(2)
解：设，取的中点，连接，
因为，可得，
由（1）知平面，且平面，所以平面平面，
因为平面平面，所以平面，
连接，则即为与平面所成的角，
又由，可得，所以，
在直角中，，
所以与平面所成的角的正切值为.
如图，三棱柱中，，
，，为的中点，且.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：如图一，连结与交于点，连结.
在中，、为中点，∴.
又平面，平面，∴平面.
图一
(2)
证明：（方法一）如图二，
图二
∵，为的中点，∴.
又，，∴平面.
取的中点，又为的中点，∴、、平行且相等，
∴四边形是平行四边形，∴与平行且相等.
又平面，∴平面，∴即所求角.
由前面证明知平面，∴，
又，，∴平面，∴此三棱柱为直棱柱.
设
∴，，，.
（方法二）如图三，
图三
∵，为的中点，∴.
又，，∴平面.
取的中点，则，∴平面.
∴即与平面所成的角.
由前面证明知平面，∴，
又，，∴平面，∴此三棱柱为直棱柱.
设，∴，，
∴.
如图所示，图（1）中的中，
，，是的中点，现将沿折起，使点到达点的位置，且满足，得到如图（2）所示的三棱锥，点分别是棱的中点，分别在棱上，满足， .
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：在中，，
，,
是的中点,,
在三棱锥中，取的中点,连接,
分别是棱的中点，
,连接,
满足,
四边形是平行四边形，
平面,平面
平面
(2)
翻折前，翻折后，
平面,
平面,
,
，是中点
平面
与平面的所成角为
与平面的所成角等于与平面的所成角，
如图所示，已知平面，平
面，为等边三角形.，为的中点.
(1)证明：平面.
(2)证明：平面平面.
(3)在上是否存在一点，使直线和平面所成的角为
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)存在.
【解析】
(1)
取中点，连结，，
是的中位线，，，
∵平面ACD，DE平面ACD
∴，又，，，四边形是平行四边形，
，平面，平面，
∥平面；
(2)
平面，平面，
，四边形是矩形，．
是正三角形，是中点，．
，，
，平面，平面，
平面，平面，
平面平面；
(3)
假设上存在一点，使直线和平面所成的角为.
连结，过作，垂足为，连结.
由(2)知平面平面，又平面平面＝CE，
∴PN⊥平面BCE，∴∠PBN为BP和平面BCE的夹角，∴.
设，则
，，，
设，由题知∠CED＝45°，则在Rt△EPN中，
在Rt△PBN中，，
∴在中，由余弦定理得：，
，解得，
若P在线段DE上，则PN最长为MD＝，∵，∴满足题意，
上存在一点，使直线和平面所成的角为.
借助等体积法构造直角三角形
如图，在正方体中，为
的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)﹒
【解析】
(1)
由正方体的性质可知，且，
∴是平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴∥平面；
(2)
连接，设到平面的距离为，正方体棱长为2．
则，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，∴，
∴直线与平面所成角的正弦值：．
如图，和所在平面垂直，且
,，.求：
(1)点到平面的距离；
(2)直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
(1)
，即，
由于和所在平面垂直，且交线为，所以平面.
所以，
所以，
，
，
，
设到平面的距离为，
,
.
(2)
设到平面的距离为，
，
，
设直线与平面所成角为，则.
如图，四棱锥中，底面是
直角梯形，，，平面平面，设平面与平面的交线为.
(1)证明：平面；
(2)已知，且，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
∵，平面平面，且平面平面，
∴平面.
∵，平面，平面，
∴平面.
∵平面平面，平面，
∴，
∴平面.
(2)
∵，过作，交延长线于，
又∵，
∴，，
∴.
设到平面的距离为，
∴，
即.
又，，
∴.
由平面，，
∴平面，
∴，
∴.
设与平面所成角为，
则.
如图，在四棱锥中，已知平
面，且四边形为直角梯形，，且为线段的中点．
(1)求直线与所成角的大小；
(2)求直线到平面所成角的大小．
【答案】(1)；
(2).
【解析】
(1)
连接，作交于，
四边形ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝AD＝2，BC＝1，
所以为矩形且分别为中点，则.
连接，又Q为线段BP的中点，故，
所以直线CQ与PD所成角，即为，
因为PA⊥平面ABCD，面ABCD，则，AP＝2，故，同理得，
又，，则面，而，
所以面，又面，故，则，
又，故在△中，即，
综上，，故.
(2)
连接，由题设易知：到面的距离为，又，
所以，而，
由面，面，则，故，
若到面距离为，故，可得，又，
所以直线CQ到平面ADQ所成角正弦值为，故线面角大小为.
直三棱柱中，为正方
形，，，为棱上任意一点，点分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)当点为中点时，求直线和平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
(1)
在直三棱柱中，为棱上任意一点，连接AM，如图，
因点、分别为，的中点，则，而平面，平面，
所以平面.
(2)
直三棱柱中，令，则，而，点为中点，
则有，，，，
又平面，平面，则，而，平面，有平面，
平面，于是得，又点为中点，即，，
，令点到平面的距离为h，由得：
，即，解得，
因平面经过线段的中点M，则点到平面的距离等于点到平面的距离h，
即，而，令直线和平面所成角为，则，
所以直线和平面所成角的正弦值为.
转换到其他线上去
如图，在直三棱柱中，，
是的中点，是线段上的点，，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：连接，设，由得，.
由三棱柱是直三棱柱得.
∴.
∵是的中点，
∴.
又∵，，平面，平面，
∴平面.
(2)
解：根据题意知直线与平面所成的角与直线与平面所成的角相同.
设的中点为，连接 .由得.
∴.
∵三棱柱是直三棱柱，∴侧棱底面.
∵底面，∴.
又∵，，平面，平面，
∴平面.
由平面，所以平面平面.
再由平面平面，平面，，所以平面.
∴是在平面内的射影.
∴是与平面所成的角.
由已知得.
∴直线与平面所成角的正弦值为.
几何法求面面成角
图中已有现成二面角
如图，在三棱锥中，平面，点
分别是和的中点，设，直线与直线所成的角为.
(1)求证：平面平面;
(2)求二面角的平面角的正切值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥BC，
又∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，又ACSC=C，
∴BC⊥平面SAC，
又∵P，M是SC、SB的中点，
∴PM∥BC，∴PM⊥面SAC，又PM平面MAP，
∴平面MAP⊥平面SAC；
(2)
解：∵SC⊥平面ABC，∴SC⊥AC，又AC⊥BC，BCSC=C，
∴AC⊥平面SBC，
∴AC⊥CM，AC⊥CB，从而∠MCB为二面角M—AC－B的平面角，
∵直线AM与直线PC所成的角为60°，
∴过点M作MN⊥CB于N点，连接AN，
则∠AMN=60°，在△CAN中，由勾股定理可得，
在中，，
在中，.
如图，在三棱锥中，
，，为线段的中点，为线段上一点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的平面角的大小.
【答案】(1)见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：因为PA⊥AB，PA⊥AC，，
所以平面，
又因平面，所以，
因为D为线段AC的中点，，
所以，
又，所以平面PAC，
又因为平面BDE，
所以平面BDE⊥平面PAC；
(2)
解：由（1）得平面，
又平面，所以，
因为AB⊥BC，，
所以平面，
因为平面，所以，
所以即为二面角P－BC－A的平面角，
在中，，
所以，所以，
即二面角P－BC－A的平面角的大小为.
在四棱锥中，四边形为菱
形，，且平面平面．
(1)证明：平面；
(2)若为上一点，且，求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：四边形为菱形，所以，
平面平面，平面平面，平面
所以平面，因为平面，所以，
，，，故，
又平面,,所以平面.
(2)
设，连接，
由（1）知平面，平面，所以，
又，所以为二面角的平面角，
由平面，知，
又，所以平面，
又平面，所以，
在直角中，, 所以, 则
故
所以二面角的余弦值为.
连接辅助线找二面角
菱形中，，与交于，
平面，平面，，.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
平面，平面，
，则四点共面．因为平面，所以，又四边形为菱形，则；
且，平面，平面，所以平面，又平面，
(2)
由（1）知平面，则，是二面角的平面角．过作，垂足为，则四边形为矩形．设，则，且．，则，得．
则．二面角的余弦值为
如图，正四棱锥的底面是正方形，
每条侧棱的长都是底面边长的倍，点在侧棱上，且．
(1)求证：；
(2)求二面角的大小；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
设的中点为 , 连接.
由已知,
底面,平面,
,
又 ,
平面 ,
平面,
(2)
连接,作，为垂足
由已知
与为等腰三角形,
为的中点,
又,
即为二面角的平面角
又由已知 ,
则
,
则
即
二面角的大小为
如图，在梯形中，
，四边形为矩形，平面平面，且.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
(1)
在梯形中，∥，，
∴梯形为等腰梯形，
∵，，，
，∴，即.
∵EF∥AC，∴EF⊥BC，又∵EF⊥CF，，
平面；
(2)
取BF中点为G，连接CG、AG，
∵BC＝FC，∴CG⊥BF，
∵BC＝FC，∠ACF＝∠ACB＝90°，
∴，
∴AF＝AB，∴AG⊥BF，
∴∠AGC为平面FAB与平面FCB夹角或其补角，
在Rt△ABC中，AB＝2，AC＝，
∵平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，FC⊥AC，FC平面ACFE，
∴FC⊥平面ABCD，∵BC平面ABCD，∴FC⊥BC，
∴在Rt△BCF中，BF＝，CG＝，
∴在Rt△AGB中，，
∴在△ACG中，根据余弦定理得，.
∴平面FAB与平面FCB夹角的余弦值为.
如图，四棱柱的底面为菱
形，底面，，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若，求二面角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3).
【解析】
(1)
证明：取的中点，连接
，，，，
∴，．
∴四边形是平行四边形． ∴． .
又平面，平面，
∴平面．
(2)
证明：连接,在菱形中，∵，∴．
∴是等边三角形．
∴． ∴．
又平面，∴．
又，平面， ∴平面．
∴平面平面．
(3)
解：取CC1中点M，连接,则ME//DC1//AB1，所以ME在平面B1AE内.
由平面，得平面CDD1C1，∴ME，ED1
即为二面角的平面角，
在中，，，，
所以,
.
如图，在正三棱柱中，各棱长
均为2，是的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的大小．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
取的中点为，的中点为，连接，
由正三棱柱可得平面，而平面，
故，而为等边三角形，，所以，
在中，、分别为所在棱的中点，故，
而，所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
由可得平面，
而平面，故平面平面.
(2)
延长交的延长线于，连接.
因为，故，由可得，
所以，
因为为等边三角形，故，所以，
所以为直角三角形且，
故为平面与平面ABC所成的锐二面角，
在中，，故，
所以平面与平面ABC所成的锐二面角为.
作垂直构造二面角
如图，四棱锥中，平面
，分别为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
【答案】(1)见详解；
(2).
【解析】
(1)分别为的中点，平面平面平面
四边形为平行四边形，即平面平面平面平面平面平面；
(2)
由，，
所以，所以，又，
所以为等边三角形，
又为中点，
作于，
又平面，
所以，
所以平面，
作于，连接，
则为二面角的平面角，
又，，
所以，
所以.
如图，在三棱锥中，平面
，．
(1)证明：；
(2)若，求二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
(1)
由于平面ABC，所以，
由于，
所以平面，
所以.
(2)
过作交AC于E，过作于，连接,如图，
由,,,
所以平面，所以,
又,,
所以平面,所以，
所以是二面角的平面角，
设，
则，，,
在中，,
在中，,
所以，
即二面角的大小为.
如图，是圆的直径，是圆上
一点，，过点的直线垂直于圆所在平面，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
(1)
证明：因为AB是圆O的直径，C是圆O上一点，所以AC⊥BC.
又VC⊥平面ABC，平面ABC，所以；
因为，平面，所以AC⊥平面VBC.
因为D，E分别是VA，VC的中点，所以，所以DE⊥平面VBC.
(2)
解：由知，，，所以，
三棱锥的体积为，解得.
过C点作AB的垂线交AB于M点，连接CM VM.
因为平面ABC，平面ABC，所以，
又，，平面，所以平面，
所以为二面角的平面角.
易知，，所以，
所以.
如图，在四棱锥中，平面平
面，.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
(1)
依题意，∠ABC=∠DAB=90°，四边形是直角梯形，，则，，
在中，，
则有，即，，
因平面CDE⊥平面ABCD，平面平面，平面，则平面，
又平面，则有，而，，平面ADE，
所以AB⊥平面ADE.
(2)
取AD中点F，在平面ADE内过F作于O，连接CO，CF，如图，
显然，由（1）知，则，而，平面，
则平面，又平面，则，于是得是二面角C-AE-D的平面角，
在与中，，，解得，
而平面ADE，则在中，，，于是得，
所以二面角C-AE-D的大小为.
如图，在三棱柱中，所有棱长均
为.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
(1)
取中点，连接则.
，，∴△为等边三角形，
，
∵，，
，，
平面，
平面，∴平面平面.
(2)
由题可知二面角的正弦值与二面角正弦值相等.
平面，过作于点，连接，
即为所求二面角的平面角，
∵，，
.
故二面角的正弦值为.第八章 立体几何初步
8.6空间直线、平面的垂直
8.6.1直线与直线垂直
（1）平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于的
角称为这两条直线所成的角（或夹角）.
（2）如图，两条异面直线，经过空间任一点分别作直线，把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）.
（3）如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.记作.当两条直线相互平行时，所成的角为.所以空间两条直线所成角的取值范围是.
8.6.2直线与平面垂直
（1）如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，就说
直线与平面互相垂直，记作.直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足.
（2）过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
（3）定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
（4）平面内的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.直线与平面所成的角的取值范围是.
（5）定理：垂直于同一个平面的两条直线平行.
（6）一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.如果两个平面平行，其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，叫做这两个平行平面间的距离.
8.6.2直线与平面垂直
（1）从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面
角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或二面角.
（2）如图，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.二面角的平面角的取值范围是.
（3）两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与垂直，记作.
（4）定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
（5）定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.
1异面直线所成角
我国古代将四个面都是直角三角形的四面体称作整
儒.如图，在鳖儒S—中平面是以点为直角顶点的等腰直角三角形，且，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A． B．
C． D．
在我国古代数学名著《九章算术》中，将四
个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑 中，平面，且，则异面直线与所成角为（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
如图，四面体中，
分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
如图，在长方体中，
，分别是、的中点.则直线与是（ ）
A．相互垂直的相交直线
B．相互垂直的异面直线
C．相互不垂直的异面直线
D．夹角为60°的异面直线
如图，四边形为正方形，平面
，，，则直线与直线所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
如图，在四面体中，
，AC与BD所成的角为，分别为的中点，则线段的长为_______.
如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，
点是线段的中点，点在底面圆的圆周上，且的长度等于的长度，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，
点是线段的中点，点在底面圆的圆周上，且的长度是长度的两倍，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）
A． B．
C． D．
2线面垂直
直接找
如图：已知四棱锥中，平面
，是正方形，是的中点，求证：
平面．
如图，在四棱锥中，底面满
足平面，且.
证明：平面.
如图，是圆的直径，点是圆上的
点，过点的直线垂直于圆所在平面，分别是的中点.
求证：平面.
如图，已知正四棱锥中，为底面
对角线的交点.
求证：平面.
通过勾股定理或三线合一
如图，已知四棱锥的底面是边长为
的正方形，，，是上的中点．
求证：平面．
已知四边形为直角梯形，
，，为等腰直角三角形，平面平面，E为PA的中点，，.
求证：平面PBD.
如图，在四棱锥中，平面平
面，，.
证明:平面.
如图，在长方体中，
，M，N分别为，的中点，与交于点.
证明：平面.
如图所示，四棱锥中，平面
平面是等腰直角三角形，．
求证：平面.
如图，在直三棱柱中，
，是的中点，是线段上的点，，.
求证：平面.
已知三棱柱的棱长均为，
平面，为的中点.
证明：平面.
翻折问题
如图1，在边长为4的菱形中，
于点,将沿折起到的位置，使，如图2.求证：平面.
如图，已知等腰梯形中，，
，是的中点，，将BAE沿着翻折成，使平面平面.
求证：平面.
如图1，直角梯形中,
，将梯形沿中位线折起并连接得到图2所示的多面体，且
证明：平面.
利用线面垂直性质定理
如图，在四棱锥中，平面平面
，，，，，.
证明：平面.
如图，四棱锥中，底面是直
角梯形，，，平面平面，设平面与平面的交线为.
证明：平面.
先证目标直线所在平面内的其他直线
已知长方体中，棱，棱，连
接，过点作的垂线交于，交于.
求证平面.
通过平行传递
四棱锥中，底面为矩形，底
面，，分别为的中点.
求证：平面；
如图，在棱长都相等的正三棱柱
中，分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面.
如图所示，在四棱锥中，平
面，底面是矩形，，，过点作，交于点，点分别为线段的中点．
证明：平面.
3面面垂直
直接找线面垂直
如图，在正三棱柱中，是的中
点．
证明：平面平面．
如图，在三棱锥中，
.
证明：平面平面.
如图所示，在三棱柱中，
，侧面底面分别为棱和的中点．
求证：平面平面.
如图，在三棱锥中，平面
，点分别是和的中点，设，直线与直线所成的角为.
求证：平面平面.
如图所示，矩形所在平面与半圆弧
所在平面垂直，是弧上异于、的点.
证明：平面平面.
翻折问题
在梯形中，，，点
分别在边上，沿直线，分别将、、折起，点重合于一点P.
证明：平面平面.
图甲是由直角梯形和等边三角形
组成的一个平面图形，其中，，，将沿折起使点到达点的位置（如图乙），在四棱锥中，若.
证明：平面平面.
在如图1所示的梯形中，已知
，为的中点，将沿折起，得到的如图2所示的四棱锥，且C1D⊥BE．
证明：平面平面．
如图甲，直角梯形中，，
，为的中点，在上，且，现沿把四边形折起得到空间几何体，如图乙.在图乙中求证：
(1)平面平面；
(2)平面平面.
构造辅助线
如图，在三棱柱中，所有棱长均为
.
证明：平面平面.
如图所示，已知平面，平面
，为等边三角形，，为的中点.求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
如图，在正三棱柱中，各棱长均
为2，是的中点．
求证：平面平面．
如图，三棱锥中，
，，.
证明：平面平面.
3角度距离问题
等体积法求点到线的距离
在三棱锥中，底面,,
，是的中点，是线段上的一点，且，连接.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
如图，四棱锥中，平面
,，，，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
如图，正三棱柱中，
，点是棱的中点．
(1)求证：；
(2)求点到平面的距离．
如图，如图，在四棱锥中，底面
为平行四边形，，，且底面．
(1)证明：平面；
(2)求到平面的距离．
如图，四棱锥中，底面
．底面为菱形，且，，分别为棱的中点．为上的动点，
(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为2，求棱的长．
如图，点是以为直径的圆上异于
的动点，平面，四边形是直角梯形，且.
(1)证明：平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求点到平面的距离.
如图，四棱锥中，底面为
矩形，平面，点在上.
(1)若为的中点，证明：平面.
(2)若，判断点在什么位置时，使得三棱锥的体积为.
翻折问题
已知平行四边形中，，点在
上，且满足，将沿折起至的位置，得到四棱锥．
(1)求证：平面平面；
(2)若，求点到平面的距离．
直角梯形中，，，
，，，将梯形沿中位线折起使，并连接得到多面体，连接，，.
(1)求证：平面；
(2)求到平面的距离.
图甲是由直角梯形和等边三角形
组成的一个平面图形，其中，，，将沿折起使点到达点的位置（如图乙），在四棱锥中，若.
(1)证明：平面平面；
(2)若平面与平面的交线为，求与平面的交点到平面的距离.
如图1，在矩形中，，
，是的中点，将沿折起，得到如图2所示的四棱锥，其中平面平面．
(1)设F为的中点，若线段上的一点，满足．求证：平面；
(2)求点到平面的距离．
换点、换面
如图，在三棱柱中，平面
平面，，.
(1)求证：；
(2)若，，，求点到平面的距离.
在四棱锥中，底面是矩
形，点是线段的中点.
(1)求证：平面；
(2)若是等边三角形，，平面平面，求点到平面的距离.
如图，已知四棱锥中，平面
为等边三角形，，是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若，求点到平面的距离.
在直四棱柱中，底面
是正方形，，，点分别是，，的中点.
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离.
如图，在圆柱中，，分别为圆
，圆的直径，，，为圆柱的母线.
(1)证明：平面；
(2)若圆的半径为2，，与圆柱的底面成45°角，点为的中点，求点到平面的距离.
几何法求线面成角
构造辅助线找投影
如图，已知三棱锥，平面，
，，，分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
如图，正方体中，
分别是棱、、的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正切值．
如图，在直三棱柱中，
，点是的中点.求证：
(1)
(2)平面.
(3)若，求直线与平面所成角的正切值.
如图，在三棱锥中，，
底面.
(1)求证：平面.
(2)若，是的中点，求与平面所成的角的正切值.
如图，三棱柱中，，
，，为的中点，且.
(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的大小.
如图所示，图（1）中的中，
，，是的中点，现将沿折起，使点到达点的位置，且满足，得到如图（2）所示的三棱锥，点分别是棱的中点，分别在棱上，满足， .
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
如图所示，已知平面，平
面，为等边三角形.，为的中点.
(1)证明：平面.
(2)证明：平面平面.
(3)在上是否存在一点，使直线和平面所成的角为
借助等体积法构造直角三角形
如图，在正方体中，为
的中点.
(1)求证：∥平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．
如图，和所在平面垂直，且
,，.求：
(1)点到平面的距离；
(2)直线与平面所成角的正弦值.
如图，四棱锥中，底面是
直角梯形，，，平面平面，设平面与平面的交线为.
(1)证明：平面；
(2)已知，且，求直线与平面所成角的正弦值.
如图，在四棱锥中，已知平
面，且四边形为直角梯形，，且为线段的中点．
(1)求直线与所成角的大小；
(2)求直线到平面所成角的大小．
直三棱柱中，为正方
形，，，为棱上任意一点，点分别为的中点.
(1)求证：平面；
(2)当点为中点时，求直线和平面所成角的正弦值.
转换到其他线上去
如图，在直三棱柱中，，
是的中点，是线段上的点，，.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
几何法求面面成角
图中已有现成二面角
如图，在三棱锥中，平面，点
分别是和的中点，设，直线与直线所成的角为.
(1)求证：平面平面;
(2)求二面角的平面角的正切值；
如图，在三棱锥中，
，，为线段的中点，为线段上一点.
(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的平面角的大小.
在四棱锥中，四边形为菱
形，，且平面平面．
(1)证明：平面；
(2)若为上一点，且，求二面角的余弦值．
连接辅助线找二面角
菱形中，，与交于，
平面，平面，，.
(1)求证：；
(2)求二面角的余弦值．
如图，正四棱锥的底面是正方
形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，点在侧棱上，且．
(1)求证：；
(2)求二面角的大小；
如图，在梯形中，
，四边形为矩形，平面平面，且.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
如图，四棱柱的底面为菱
形，底面，，分别为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面；
(3)若，求二面角的正弦值．
如图，在正三棱柱中，各棱长
均为2，是的中点．
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的大小．
作垂直构造二面角
如图，四棱锥中，平面
，分别为的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求二面角的正弦值.
如图，在三棱锥中，平面
，．
(1)证明：；
(2)若，求二面角的大小．
如图，是圆的直径，是圆上
一点，，过点的直线垂直于圆所在平面，分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)若三棱锥的体积为，求二面角的正弦值.
如图，在四棱锥中，平面平
面，.
(1)证明:平面;
(2)求二面角的大小.
如图，在三棱柱中，所有棱长均
为.
(1)证明：平面平面；
(2)求二面角的正弦值.
