北师大版八年级数学下册4.3.1公式法导学案(含答案)

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名称 北师大版八年级数学下册4.3.1公式法导学案(含答案)
格式 docx
文件大小 504.8KB
资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2023-04-23 13:29:22

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文档简介

4.3.1公式法
导学案
学习目标
1.掌握用平方差公式分解因式的方法.
2.能综合运用提取公因式法、平方差公式法分解因式.
一、自学释疑
1. 能用平方差公式因式分解的多项式的项数、系数、指数、符号有什么特征?
2. 将多项式因式分解首先考虑的分解法是什么?
3. 因式分解的最后结果必须用什么形式表示?
二、合作探究
探究点一:
问题1: 观察多项式 x -25 、9x -y 、1-9a 他们有什么共同特征?
问题2:尝试将它们分别写成两个因式的乘积.
x -25=
9x -y =
1-9a =
事实上,把乘法公式(平方差公式) ,反过来,就得到因式分解的(平方差公式): .
探究点二
问题1: 因式分解下列各式
(1)25-16x ; (2)9a - b
问题2: 下列各式能用平方差公式因式分解吗?为什么?
A.m +n B.-m -n C.-m +n D. m -tn
探究点三
问题1:把下列各式分解因式:
(1)9(m+n) -(m-n) ; (2)2x -8x. (3) x 4-1
温馨提示:当多项式的各项含有公因式时,通常先提出这个公因式,然后再进一步因式分解,直至不能再分解为止.
问题2:已知n是整数,证明:(2n+1) -1能被8整除.
强化训练
1. 已知a、b、c是 ABC的三边,且满足a c -b c =a4-b4,是判断 ABC的形状.
2. 证明:任意两奇数的平方差能被8整除.
随堂检测
1.判断正误
(1)x2+y2 =(x+y)(x-y); ( )
(2)x2-y2= (x+y)(x-y); ( )
(3)-x2 +y2=(-x+y)(-x-y); ( )
(4)-x2-y2=-(x+y)(x-y). ( )
2. 某同学粗心大意,分解因式时,把等式x4-■=(x +4)(x+2)(x-▲)中的两个数字弄污了,则式子中的■,▲对应的一组数字可以是( )
A.8,1 B.16,2 C.24,3 D.64,8
3. 填空题
(1)分解因式:a -4a=______.
(2)已知x -y =69,x+y=3,则y-x=______.
4. a,b,c为 ABC的三条边长,且b +2ab=c +2ac,试用因式分解的有关知识判断三角形ABC的形状
我的收获
.
参考答案
探究点一
问题1:解:都是平方差的特征。既:◇ -□
问题2:(x+5)(x-5);(3x+y)(3x-y);(1+3a)(1-3a).
事实上,把乘法公式(平方差公式) (a+b)(a-b)= a -b ,反过来,就得到因式分解的(平方差公式):a -b =(a+b)(a-b)
探究点二
问题1:解:(1)25-16x
=(5) -(4x)
=(5+4x)(5-4x)
(2)9a - b
=(3a) -( b)
=(3a+ b)(3a- b)
问题2:
解:A.m +n 的两平方项符号相同,不能用平方差公式进行因式分解;
B.-m -n 的两平方项符号相同,不能用平方差公式进行因式分解;
C.-m +n 符合平方差公式的特点,能用平方差公式进行因式分解;
D. m -tn 不符合平方差公式的特点,不能用平方差公式进行因式分解.
探究点三
问题1
解:(1)9(m+n) -(m-n)
=(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n)
=(4m+2n)(2m+4n)
=4(2m+n)(m+2n)
(2)2x -8x
=2x(x -4)
=2x(x+2)(x-2)
(3)x 4-1
=(x +1) (x -1)
=(x +1)(x+1)(x-1)
问题2
证明:∵(2n+1) -1
=(2n+1+1)(2n+1-1)
=4n(n+1)
又∵n、n+1是两个连续整数,
∴必定能被2整除,
∴4n(n+1)是8的倍数, 即(2n+1) -1能被8整除.
强化训练
1. 解:a c -b c =a4-b4,
a c -b c -a4+b4=0,
c (a -b )-(a +b )(a -b )=0
(a -b )(c -a -b )=0
(a +b ) (a -b )(c -a -b )=0
其中a+b≠0,
∴a -b=0 或c -a -b =0
∴a +b =c 或 a=b.
ABC是直角三角形,或 ABC是等腰直角三角形.
2. 证明:设任何奇数为2m+1,2n+1(m,n是整数)
则(2m+1) -(2n+1)
=(2m+1+2n+1)(2m-2n)
=4(m-n)(m+n+1)
可见只要证明(m-n)(m+n-1)是偶数即可,
若m,n都是奇数或偶数,则m-n为偶数, 4(m-n)(m+n+1)能被8整除,
若m,n都为一奇一偶,则m+n+1为偶数, 4(m-n)(m+n+1)也能被8整除,
所以,任意的两个奇数的平方差能被8整除.
随堂检测
答案:
1.  
2.B 
3. a(a+2)(a-2),-23 
4. 解:∵ b +2ab=c +2ac,
∴b -c +2ab-2ac=0,
∴(b+c)(b-c)+2a(b-c)=0,
(b-c)(b+c+2a)=0.
∵a,b,c为三角形三边,所以b+c+2a>0,
∴b-c=0,即b=c.所以△ABC为等腰三角形.