北师大版八年级数学下册4.3.1公式法导学案（含答案）

4.3.1公式法
导学案
学习目标
1．掌握用平方差公式分解因式的方法．
2．能综合运用提取公因式法、平方差公式法分解因式.
一、自学释疑
1. 能用平方差公式因式分解的多项式的项数、系数、指数、符号有什么特征？
2. 将多项式因式分解首先考虑的分解法是什么？
3. 因式分解的最后结果必须用什么形式表示？
二、合作探究
探究点一：
问题1: 观察多项式 x －25 、9x －y 、1－9a 他们有什么共同特征？
问题2：尝试将它们分别写成两个因式的乘积.
x －25=
9x －y =
1－9a =
事实上，把乘法公式(平方差公式) ，反过来，就得到因式分解的(平方差公式)： .
探究点二
问题1: 因式分解下列各式
（1）25-16x ； （2）9a － b
问题2: 下列各式能用平方差公式因式分解吗？为什么？
A．m +n B．-m -n C．-m +n D． m -tn
探究点三
问题1：把下列各式分解因式:
（1）9（m+n） －（m－n） ; （2）2x －8x. （3） x 4-1
温馨提示：当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解，直至不能再分解为止.
问题2：已知n是整数，证明：（2n+1） -1能被8整除.
强化训练
1. 已知a、b、c是 ABC的三边，且满足a c －b c ＝a4-b4，是判断 ABC的形状.
2. 证明：任意两奇数的平方差能被8整除.
随堂检测
1．判断正误
（1）x2+y2 =（x+y）（x－y）; （ ）
（2）x2－y2= （x+y）（x－y）; （ ）
（3）－x2 +y2=（－x+y）（－x－y）; （ ）
（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）. （ ）
2. 某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■=（x +4）（x+2）（x－▲）中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（ ）
A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，8
3. 填空题
（1）分解因式：a －4a=______．
（2）已知x －y =69，x+y=3，则y－x=______．
4. a,b,c为 ABC的三条边长，且b +2ab=c +2ac,试用因式分解的有关知识判断三角形ABC的形状
我的收获
.
参考答案
探究点一
问题1：解：都是平方差的特征。既：◇ －□
问题2：（x+5）（x-5）；（3x+y）（3x-y）；（1+3a）（1-3a）.
事实上，把乘法公式(平方差公式) （a+b）（a－b）= a -b ，反过来，就得到因式分解的(平方差公式)：a -b =（a+b）（a－b）
探究点二
问题1：解：（1）25-16x
=（5） －（4x）
=（5+4x）（5-4x）
（2）9a － b
=（3a） －（ b）
=（3a+ b）（3a- b）
问题2：
解：A．m +n 的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
B．-m -n 的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；
C．-m +n 符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；
D． m -tn 不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解．
探究点三
问题1
解：（1）9（m+n） －（m－n）
=（3m+3n+m-n）（3m+3n-m+n）
=（4m+2n）（2m+4n）
=4（2m+n）（m+2n）
（2）2x －8x
=2x（x -4）
=2x（x+2）（x-2）
（3）x 4-1
=（x +1） （x -1）
=（x +1）（x+1）（x-1）
问题2
证明：∵（2n+1） -1
=(2n+1+1)(2n+1-1)
=4n(n+1)
又∵n、n+1是两个连续整数,
∴必定能被2整除,
∴4n(n+1)是8的倍数, 即（2n+1） -1能被8整除.
强化训练
1. 解：a c -b c =a4-b4，
a c -b c -a4+b4=0，
c (a -b )-(a +b )(a -b )=0
(a -b )(c -a -b )=0
(a ＋b ) (a -b )(c -a -b )=0
其中a＋b≠0，
∴a -b=0 或c -a -b =0
∴a ＋b =c 或 a＝b.
ABC是直角三角形,或 ABC是等腰直角三角形.
2. 证明：设任何奇数为2m＋1,2n＋1(m,n是整数）
则(2m＋1) -(2n＋1)
＝（2m＋1＋2n+1）（2m-2n）
＝4(m-n)(m+n＋1)
可见只要证明(m-n)(m+n-1)是偶数即可，
若m,n都是奇数或偶数，则m-n为偶数, 4(m-n)(m+n＋1)能被8整除，
若m,n都为一奇一偶，则m+n+1为偶数, 4(m-n)(m+n＋1)也能被8整除，
所以，任意的两个奇数的平方差能被8整除.
随堂检测
答案：
1. 　
2.B　
3. a（a+2）（a－2），-23　
4. 解：∵ b +2ab=c +2ac，
∴b －c +2ab－2ac=0，
∴（b+c）（b－c）+2a（b－c）=0，
（b－c）（b+c+2a）=0．
∵a，b，c为三角形三边，所以b+c+2a＞0，
∴b－c=0，即b=c．所以△ABC为等腰三角形．