第十七章：勾股定理练习题（含解析）2021-2022学年山西省八年级下学期人教版数学期末试题选编
文档属性
| 名称 | 第十七章：勾股定理练习题（含解析）2021-2022学年山西省八年级下学期人教版数学期末试题选编 |
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| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 411.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-23 00:00:00 | ||
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文档简介
第十七章：勾股定理 练习题
一、单选题
1．（2022春·山西吕梁·八年级统考期末）如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走（ ）米路
A．30 B．20 C．50 D．40
2．（2022春·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
3．（2022春·山西忻州·八年级统考期末）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．144 D．194
4．（2022春·山西忻州·八年级统考期末）已知是的三边长，如果，则是（ ）
A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形
C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
5．（2022春·山西临汾·八年级统考期末）已知一三角形的三边长m，n，p满足，则这个三角形的面积为（ ）
A．12 B．60 C．48 D．24
6．（2022春·山西大同·八年级统考期末）已知在中，，，的对边分别记为，，，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022春·山西吕梁·八年级统考期末）下列长度的线段中，能组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，，2 B．2，3，4 C．4，5，6 D．5，6，7
8．（2022春·山西吕梁·八年级统考期末）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
9．（2022春·山西太原·八年级统考期末）已知△ABC中．AB＝AC＝5．BC＝2．如图．将线段AC绕点C顺时针旋转，点A的对应点为D．当∠ACD＝90°时，连接BD，则线段BD的长为 _____．
10．（2022春·山西运城·八年级校联考期末）如图，在中，，，，，P为AD的中点，连接BP，则BP的长为______．
11．（2022春·山西大同·八年级统考期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，那么原处还有______尺高的竹子．
12．（2022春·山西朔州·八年级统考期末）如图，客船以24海里/时的速度从港口向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口向东南方向航行，则1小时后两船相距______海里．
13．（2022春·山西吕梁·八年级统考期末）若△ABC的三边长为，，，且满足，则△ABC的形状是________．
三、解答题
14．（2022春·山西临汾·八年级统考期末）如图，小明在甲岛上的一个观测站A处观测，发现在甲岛的正西方10海里处B点有一艘船向正北方驶去，2小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛海里的C处，求该船的行驶速度．
15．（2022春·山西朔州·八年级统考期末）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．
16．（2022春·山西吕梁·八年级统考期末）阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点M（），N（），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN=．例如，M（3，1），N（1，－2），则MN=
【直接应用】
(1)已知P（2，－3），Q（－1，3），求P、Q两点间的距离；
(2)如图，在平面直角坐标系中，A（－1，－3），OB=，OB与轴正半轴的夹角是45°．
①求点B的坐标；
②试判断△ABO的形状．
参考答案：
1．B
【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵AB=40米，BC=30米，
∴AC==50（米），
30+40-50=20（米），
∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意正确应用勾股定理．
2．B
【分析】先根据点A，B的坐标求出OA，OB的长度，再根据勾股定理求出AB的长，即可得出OC的长，再比较无理数的大小确定点C的横坐标介于哪个区间．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，3）
∴OA＝2，OB＝3
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝
∴AC＝AB＝
∴OC＝﹣2
∴点C的坐标为（﹣2，0）
∵
∴
即点C的横坐标介于1和2之间
故选：B．
【点睛】本题考查了弧与x轴的交点问题，掌握勾股定理、无理数大小比较的方法是解题的关键．
3．C
【详解】解：结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差，
所以字母B所代表的正方形的面积=169-25=144．
故选：C．
4．A
【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴是以为斜边的直角三角形；
故选：A.
【点睛】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点．
5．D
【分析】根据非负数的性质，分别求出m、p、n，根据勾股定理的逆定理，判定该三角形是直角三角形，再进一步根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半求解即可．
【详解】解：
化简可得：
∴
∴m=6，p=8，n=10
∵
∴三角形为直角三角形
∴
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式和平方的非负性，勾股定理的逆定理的运用，直角三角形的面积等，解题的关键是熟练掌握非负性及直角三角形的判定．
6．D
【分析】根据三角形内角和定理可判断A和D，根据勾股定理可判断B和C，在一个三角形中，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【详解】解：A、∵，，
∴，∴，
∴为直角三角形，不符合题意；
B、∵，
设， 则，
∴，
∴，不符合题意；
C、，为直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴设，
∴，解得，
∴，
∴不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
7．A
【分析】由勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、∵12+（）2＝22，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵42+52≠62，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵52+62≠72，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟练运用勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．C
【分析】根据每个小网格都为正方形，设每个网格为1，由勾股定理可以求出AD、AC、 CD的长，再由勾股定理的逆定理得到△ACD为等腰直角三角形，同理可得△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC= ∠DAC．
【详解】解：如图，设正方形每个网格的边长都为1，连接CD、BC，
则，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
同理：，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的性质、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定，解本题的关键要掌握勾股定理及逆定理的基本知识．
9．
【分析】过A作AE⊥BC于E、过D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，则可证明△AEC≌△CFD，由勾股定理即可求得BD的长．
【详解】过A作AE⊥BC于E、过D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，如图所示，
∵AB=AC=5，AE⊥BC，
∴，
由勾股定理得：；
∵DC是由AC旋转90°得到，
∴AC=DC，∠ACE+∠DCF=90°，
∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠DCF，
∵∠AEC=∠CFD=90°，
∴△AEC≌△CFD，
∴，，
在Rt△BDF中，，
由勾股定理得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构造辅助线证明三角形全等是关键．
10．
【分析】过点B作交DA的延长线于点E，先求出AE，PE，BE的长，最后利用勾股定理再求出PB即可．
【详解】解：如图，过点B作交DA的延长线于点E，
，
，
，AB=8
，，
，
，点P是AD的中点，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了直角三形的性质，直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解本题的关键．
11．
【分析】设AC=x尺，则AB=(10-x)尺，根据勾股定理得，即，计算即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
由题意得BC=3尺，AB+AC=10尺，
设AC=x尺，则AB=(10-x)尺，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，
∴，
解得x=，
∴原处还有尺高的竹子．
故答案为：．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解图形中各线段的长度构建等式是解题的关键．
12．30
【分析】根据勾股定理直接计算两船的速度即可．
【详解】解：∵客船以24海里/时的速度从港口 A 向东北方向航行，
货船以18海里/时的速度同时从港口 A 向东南方向航行，
∴客船与货船方向的夹角为，
且客船行驶1小时的距离为24海里，货船行驶1小时的距离为18海里，
故两船1小时后的距离为海里，
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，在实际问题中找到直角三角形是解题的关键．
13．直角三角形
【分析】将进行化简，再根据勾股定理逆定理进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴△ABC的形状是直角三角形，
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，平方差公式的计算，熟练掌握勾股定理逆定理的应用是本题的关键．
14．该船的行驶速度为7.5海里/小时
【分析】先根据勾股定理求出BC的长度，再根据路程时间关系求出速度即可．
【详解】依题意，AB=10海里，海里，
由勾股定理，得（海里），
15÷2=7.5（海里/小时）．
答：该船的行驶速度为7.5海里/小时．
【点睛】本题考查勾股定理，解决本题的关键是正确应用勾股定理求解．
15．尺
【分析】设OA=OB=x尺，表示出OE的长，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设OA=OB=x尺，
∵EC=BD=5尺，AC=1尺，
∴EA=EC-AC=5-1=4（尺），OE=OA-AE=（x-4）尺，
在Rt△OEB中，OE=（x-4）尺，OB=x尺，EB=10尺，
根据勾股定理得：x2=（x-4）2+102，
整理得：8x=116，即2x=29，
解得：x=14.5．
则秋千绳索的长度为14.5尺．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握“勾股定理，用含有一个未知数的代数式表示直角三角形的边”是解本题的关键．
16．(1)
(2)①B（1， 1）；△ABO是直角三角形．
【分析】（1）由两点间的距离公式可求出答案；
（2）①过点B作BF⊥y轴于点F，求出OF＝BF＝1，则可求出答案；
②求出OA和AB的长，由勾股定理的逆定理可得出结论．
【详解】（1）解：∵P（2， 3），Q（ 1，3），
∴PQ＝；
（2）①过点B作BF⊥y轴于点F，
∵OB与x轴正半轴的夹角是45°，
∴∠FOB＝∠OBF＝45°，
∵OB＝，
∴OF＝BF＝1，
∴B（1， 1）；
②∵A（ 1， 3），B（1， 1），
∴OA＝
，AB＝，
∵AB2＋OB2＝8＋2＝10，OA2＝10，
∴AB2＋OB2＝OA2，
∴△ABO是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
一、单选题
1．（2022春·山西吕梁·八年级统考期末）如图，某公园的一块草坪旁边有一条直角小路，公园管理处为了方便群众，沿修了一条近路，已知米，米，则走这条近路可以少走（ ）米路
A．30 B．20 C．50 D．40
2．（2022春·山西吕梁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（0，3），以点A为圆心，AB长为半径画弧，交x轴的正半轴于点C，则点C的横坐标介于（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
3．（2022春·山西忻州·八年级统考期末）如图，已知两正方形的面积分别是25和169，则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A．12 B．13 C．144 D．194
4．（2022春·山西忻州·八年级统考期末）已知是的三边长，如果，则是（ ）
A．以为斜边的直角三角形 B．以为斜边的直角三角形
C．以为斜边的直角三角形 D．不是直角三角形
5．（2022春·山西临汾·八年级统考期末）已知一三角形的三边长m，n，p满足，则这个三角形的面积为（ ）
A．12 B．60 C．48 D．24
6．（2022春·山西大同·八年级统考期末）已知在中，，，的对边分别记为，，，则下列条件不能判定为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022春·山西吕梁·八年级统考期末）下列长度的线段中，能组成直角三角形的一组是（ ）
A．1，，2 B．2，3，4 C．4，5，6 D．5，6，7
8．（2022春·山西吕梁·八年级统考期末）如图所示的网格是正方形网格，A，B，C，D是网格线交点，则与的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法确定
二、填空题
9．（2022春·山西太原·八年级统考期末）已知△ABC中．AB＝AC＝5．BC＝2．如图．将线段AC绕点C顺时针旋转，点A的对应点为D．当∠ACD＝90°时，连接BD，则线段BD的长为 _____．
10．（2022春·山西运城·八年级校联考期末）如图，在中，，，，，P为AD的中点，连接BP，则BP的长为______．
11．（2022春·山西大同·八年级统考期末）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，那么原处还有______尺高的竹子．
12．（2022春·山西朔州·八年级统考期末）如图，客船以24海里/时的速度从港口向东北方向航行，货船以18海里/时的速度同时从港口向东南方向航行，则1小时后两船相距______海里．
13．（2022春·山西吕梁·八年级统考期末）若△ABC的三边长为，，，且满足，则△ABC的形状是________．
三、解答题
14．（2022春·山西临汾·八年级统考期末）如图，小明在甲岛上的一个观测站A处观测，发现在甲岛的正西方10海里处B点有一艘船向正北方驶去，2小时后，小明再次观察发现该船位于距离甲岛海里的C处，求该船的行驶速度．
15．（2022春·山西朔州·八年级统考期末）《西江月》中描述：平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步恰竿齐，五尺板高离地…；翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺）将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索的长度．
16．（2022春·山西吕梁·八年级统考期末）阅读下列一段文字，回答问题．
【材料阅读】平面内两点M（），N（），则由勾股定理可得，这两点间的距离MN=．例如，M（3，1），N（1，－2），则MN=
【直接应用】
(1)已知P（2，－3），Q（－1，3），求P、Q两点间的距离；
(2)如图，在平面直角坐标系中，A（－1，－3），OB=，OB与轴正半轴的夹角是45°．
①求点B的坐标；
②试判断△ABO的形状．
参考答案：
1．B
【分析】根据勾股定理求出AC即可解决问题．
【详解】解：在Rt△ABC中，
∵AB=40米，BC=30米，
∴AC==50（米），
30+40-50=20（米），
∴他们踩坏了50米的草坪，只为少走20米的路．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意正确应用勾股定理．
2．B
【分析】先根据点A，B的坐标求出OA，OB的长度，再根据勾股定理求出AB的长，即可得出OC的长，再比较无理数的大小确定点C的横坐标介于哪个区间．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（0，3）
∴OA＝2，OB＝3
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB＝
∴AC＝AB＝
∴OC＝﹣2
∴点C的坐标为（﹣2，0）
∵
∴
即点C的横坐标介于1和2之间
故选：B．
【点睛】本题考查了弧与x轴的交点问题，掌握勾股定理、无理数大小比较的方法是解题的关键．
3．C
【详解】解：结合勾股定理和正方形的面积公式，得字母B所代表的正方形的面积等于其它两个正方形的面积差，
所以字母B所代表的正方形的面积=169-25=144．
故选：C．
4．A
【分析】首先根据绝对值，平方数与算术平方根的非负性，求出a，b，c的值，在根据勾股定理的逆定理判断其形状是直角三角形．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴是以为斜边的直角三角形；
故选：A.
【点睛】本题主要考查了非负数的性质与勾股定理的逆定理，此类题目在考试中经常出现，是考试的重点．
5．D
【分析】根据非负数的性质，分别求出m、p、n，根据勾股定理的逆定理，判定该三角形是直角三角形，再进一步根据直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半求解即可．
【详解】解：
化简可得：
∴
∴m=6，p=8，n=10
∵
∴三角形为直角三角形
∴
故选：D．
【点睛】本题考查二次根式和平方的非负性，勾股定理的逆定理的运用，直角三角形的面积等，解题的关键是熟练掌握非负性及直角三角形的判定．
6．D
【分析】根据三角形内角和定理可判断A和D，根据勾股定理可判断B和C，在一个三角形中，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
【详解】解：A、∵，，
∴，∴，
∴为直角三角形，不符合题意；
B、∵，
设， 则，
∴，
∴，不符合题意；
C、，为直角三角形，不符合题意；
D、∵，
∴设，
∴，解得，
∴，
∴不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．
7．A
【分析】由勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、∵12+（）2＝22，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵22+32≠42，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、∵42+52≠62，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵52+62≠72，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，熟练运用勾股定理的逆定理是解题的关键．
8．C
【分析】根据每个小网格都为正方形，设每个网格为1，由勾股定理可以求出AD、AC、 CD的长，再由勾股定理的逆定理得到△ACD为等腰直角三角形，同理可得△ABC为等腰直角三角形，即∠BAC= ∠DAC．
【详解】解：如图，设正方形每个网格的边长都为1，连接CD、BC，
则，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
同理：，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
故选：C．
【点睛】本题考查勾股定理的性质、勾股定理的逆定理以及等腰直角三角形的判定，解本题的关键要掌握勾股定理及逆定理的基本知识．
9．
【分析】过A作AE⊥BC于E、过D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，则可证明△AEC≌△CFD，由勾股定理即可求得BD的长．
【详解】过A作AE⊥BC于E、过D作DF⊥BC，交BC的延长线于点F，如图所示，
∵AB=AC=5，AE⊥BC，
∴，
由勾股定理得：；
∵DC是由AC旋转90°得到，
∴AC=DC，∠ACE+∠DCF=90°，
∵∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠CAE=∠DCF，
∵∠AEC=∠CFD=90°，
∴△AEC≌△CFD，
∴，，
在Rt△BDF中，，
由勾股定理得：
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，构造辅助线证明三角形全等是关键．
10．
【分析】过点B作交DA的延长线于点E，先求出AE，PE，BE的长，最后利用勾股定理再求出PB即可．
【详解】解：如图，过点B作交DA的延长线于点E，
，
，
，AB=8
，，
，
，点P是AD的中点，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了直角三形的性质，直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解本题的关键．
11．
【分析】设AC=x尺，则AB=(10-x)尺，根据勾股定理得，即，计算即可．
【详解】解：根据题意画图如下：
由题意得BC=3尺，AB+AC=10尺，
设AC=x尺，则AB=(10-x)尺，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，，
∴，
解得x=，
∴原处还有尺高的竹子．
故答案为：．
【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解图形中各线段的长度构建等式是解题的关键．
12．30
【分析】根据勾股定理直接计算两船的速度即可．
【详解】解：∵客船以24海里/时的速度从港口 A 向东北方向航行，
货船以18海里/时的速度同时从港口 A 向东南方向航行，
∴客船与货船方向的夹角为，
且客船行驶1小时的距离为24海里，货船行驶1小时的距离为18海里，
故两船1小时后的距离为海里，
故答案为：30．
【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，在实际问题中找到直角三角形是解题的关键．
13．直角三角形
【分析】将进行化简，再根据勾股定理逆定理进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴△ABC的形状是直角三角形，
故答案为：直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理逆定理的应用，平方差公式的计算，熟练掌握勾股定理逆定理的应用是本题的关键．
14．该船的行驶速度为7.5海里/小时
【分析】先根据勾股定理求出BC的长度，再根据路程时间关系求出速度即可．
【详解】依题意，AB=10海里，海里，
由勾股定理，得（海里），
15÷2=7.5（海里/小时）．
答：该船的行驶速度为7.5海里/小时．
【点睛】本题考查勾股定理，解决本题的关键是正确应用勾股定理求解．
15．尺
【分析】设OA=OB=x尺，表示出OE的长，在直角三角形OEB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解即可得到结果．
【详解】解：设OA=OB=x尺，
∵EC=BD=5尺，AC=1尺，
∴EA=EC-AC=5-1=4（尺），OE=OA-AE=（x-4）尺，
在Rt△OEB中，OE=（x-4）尺，OB=x尺，EB=10尺，
根据勾股定理得：x2=（x-4）2+102，
整理得：8x=116，即2x=29，
解得：x=14.5．
则秋千绳索的长度为14.5尺．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握“勾股定理，用含有一个未知数的代数式表示直角三角形的边”是解本题的关键．
16．(1)
(2)①B（1， 1）；△ABO是直角三角形．
【分析】（1）由两点间的距离公式可求出答案；
（2）①过点B作BF⊥y轴于点F，求出OF＝BF＝1，则可求出答案；
②求出OA和AB的长，由勾股定理的逆定理可得出结论．
【详解】（1）解：∵P（2， 3），Q（ 1，3），
∴PQ＝；
（2）①过点B作BF⊥y轴于点F，
∵OB与x轴正半轴的夹角是45°，
∴∠FOB＝∠OBF＝45°，
∵OB＝，
∴OF＝BF＝1，
∴B（1， 1）；
②∵A（ 1， 3），B（1， 1），
∴OA＝
，AB＝，
∵AB2＋OB2＝8＋2＝10，OA2＝10，
∴AB2＋OB2＝OA2，
∴△ABO是直角三角形．
【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，坐标与图形的性质，两点间的距离公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键．