8.6.3+平面与平面垂直的判定-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)(共30张PPT)

(共30张PPT)
8.6.3 平面与平面垂直的判定
（第1课时）
复习引入
像研究直线与平面垂直一样，我们首先应该给出平面与平面垂直的定义.那么，该如何定义呢？不妨回顾一下直线与平面垂直、直线与直线垂直的定义过程.
在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直.所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础.
在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况.类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直.
新知探索
如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，棱为，面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或二面角.
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.
新知探索
思考1：如图，在日常生活中，我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
如图，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.
新知探索
思考2：教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数.
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的平面角的取值范围是.
教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上.
新知探索
在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质.先研究平面与平面垂直的判定.
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面与平面垂直，记作.
如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
新知探索
思考3：如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直.如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面.这种方法说明了什么道理？
这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直.类似的结论也可以在长方体中发现.如图，在长方体中，平面经过平面的一条垂线，此时，平面垂直于平面.
新知探索
它可以用符号表示为：，.
这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直.
一般地，我们有下面判定两个平面互相垂直的定理：
定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
新知探索
辨析1.判断正误.
(1)如果平面内有一条直线垂直于平面内的一条直线，则.( )
(2)应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化.( )
答案：×，√.
辨析2.在二面角的棱上任选一点，若是二面角的平面角，则必须具有的条件是( ).
A.，， B.，
C.，， D.，，且，
答案：D.
例析
例7.如图所示，在正方体中，求证：平面平面.
证明：∵是正方体，
∴平面，
∴.
又，，
∴平面，而平面，
∴平面平面.
例析
例8.如图所示，是的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点.求证：平面平面.
证明：∵平面，平面,
∴.
∵点是圆周上不同于，的任意一点，是的直径，
∴，即，
又，平面，平面，
∴平面.
又平面，
∴平面平面.
练习
题型一：二面角的概念及其大小的计算
例1.如图，在正方体中，截面与底面所成锐二面角的正切值为( ).
A. B. C. D.
解：如图所示，连接交于点，连接，为的中点.因为，所以在中，.
又因为在正方形中，，所以为二面角
的平面角.设，则.
所以.故选C.
答案：C.
练习
方法技巧：
1.求二面角的大小的步骤
一作：作出二面角的平面角；
二证：证明所作角是二面角的平面角；
三求：利用二面角的平面角所在的三角形求出角的三角函数值.
2.作二面角的平面角的常用方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①，则为二面角的平面角.
练习
方法技巧：
2.作二面角的平面角的常用方法
(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角.如图②，则为二面角的平面角.
(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的点向另一个平面作垂线，垂足为，由点向二面角棱作垂线，垂足为，连接，则为二面角的平面角或其补角.如图③，为二面角的平面角.
练习
变1.如图，四边形是正方形，平面，且
(1)求二面角的平面角的度数；
(2)求二面角的平面角的度数.
解(1)：∵平面，∴.
又四边形为正方形，∴.
∵，∴平面.又平面，
∴平面平面.
∴二面角的平面角的度数为.
解(2)：∵平面，∴.
∴为二面角的平面角.
又四边形为正方形，∴.
即二面角的平面角的度数为.
练习
题型二：平面与平面垂直的判定定理
例2.如图所示，在四面体中，又.求证：平面平面.
证明：(法一：利用定义证明)
∵，，
∴和是等边三角形，则有，
令其值为，则和为共底边的等腰三角形.
取的中点，如图所示，连接，，
则，，∴为二面角的平面角.
在中，∵，∴，.
在中，.在中，∵，∴，即二面角为直二面角，故平面平面.
练习
题型二：平面与平面垂直的判定定理
例2.如图所示，在四面体中，又.求证：平面平面.
证明：(法二：利用判定定理证明)
∵，且，∴.
∴点在平面上的射影为的外心.
∵点在上的射影为斜边的中点.
∴平面.
又∵平面，∴平面平面.
练习
方法技巧：
利用判定定理证明面面垂直的一般方法是从已知直线中寻找与结论有关的平面的垂线，若这样的垂线存在，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若这样的垂线不存在，则可通过作辅助线来解决.在作辅助线时，应有理论根据并有利于证明，不能随意添加.
练习
变2.如图所示，四边形是边长为的菱形，平面，是的中点.求证：平面平面.
证明：连接，设，连接.
∵为的中点，为的中点，
∴是的中位线.∴.
∵平面，∴平面.
又∵平面，
∴平面平面.
练习
题型三：面面垂直判定定理的综合运用——鳖臑模型
例3.如图，在四棱锥中，平面.
(1)求证：平面.
证明(1)：∵平面，平面.
∴
∵
∴平面.
练习
例3.如图，在四棱锥中，平面.
(2)求证：平面平面.
(3)设点为的中点，在棱上是否存在点，使得平面？说明理由.
证明(2)：∵，平面，
∴平面.
∵平面，∴平面平面.
证明(3)：在棱上存在中点，使得平面.
∵点为的中点，∴.
∵平面，平面，
∴平面.
练习
方法技巧：
《九章算术商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”
刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.”
练习
方法技巧：
具体来说，取一长方体，按图①斜割一分为二，得到两个一模一样得三棱柱，称之为堑堵.
如图②，再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得到一个四棱锥和一个三棱锥.以矩形为底，另有一棱与底面垂直的四棱锥，称为阳马.余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑.
练习
变3.如图，四边形为菱形，为与的交点，平面平面.
(2)证明：平面平面；
证明(1)：∵四边形为菱形，
∴.
∵平面，
∴.
又，
∴平面.
又平面，所以平面平面.
练习
变3.(2)若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.
证明(2)：设在菱形中，由，
可得.
∵，所以在中，可得.
由平面，知为直角三角形，可得.
由已知得，三棱锥的体积，故.从而可得，
所以的面积为，的面积与的面积均为.
故三棱锥的侧面积为.
课堂小结
1.二面角：
定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
图形：
表示法：二面角或二面角
或二面角或二面角
课堂小结
2.二面角的平面角：
定义：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角.
图形：
符号：
是二面角的平面角.
范围：.
课堂小结
3.面面垂直的定义：
定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
画法：画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.
记作：
课堂小结
4.平面与平面垂直的判定定理：
文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
图形语言：
符号语言：
作用：证面面垂直.
作业
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P158的练习1——4题；
(3)课本P162的习题8.6的第6、7、18、21题.