第四章　因式分解　复习课件　2022—2023学年北师大版数学八年级下册 17张PPT

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小结与复习
第四章 因式分解
一、因式分解
1. 把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫
做多项式的_________，也叫将多项式__________.
2. 因式分解的过程和　 　的过程正好______：
前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者
是把几个整式的______化为一个________.
因式分解
乘积
分解因式
整式乘法
相反
多项式
乘积
乘积
考点一 因式分解与整式乘法的关系
例1 判断下列各式变形是不是分解因式，并说明理由：
(1) a2 - 4 + 3a = (a + 2)(a - 2) + 3a；
(2) (a + 2)(a - 5) = a2 - 3a - 10；
(3) x2 - 6x + 9 = (x - 3)2；
(4) 3x - 2xy + x = x(3x - 2y)2.
不是
不是
是
不是
二、提公因式法
1. 一般地，多项式的各项都含有的因式，叫做这个
多项式各项的________，简称多项式的________.
2. 公因式的确定：
(1)系数：多项式各项整数系数的 ；
(2)字母：多项式各项　 　的字母；
(3)各字母指数：取次数最　　的．
公因式
公因式
最大公约数
相同
低
3. 定义：逆用乘法对加法的______律，可以把
_______写在括号外边，作为积的一个_____，这
种将多项式分解因式的方法，叫做提公因式法.
分配
公因式
因式
考点二 提公因式法分解因式
例2 因式分解：
(1) 8a3b2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3) (a＋b)(a－b)－a－b.
解：(1) 原式 ＝ 4ab2(2a2＋3bc).
(2) 原式 ＝ (2a－3)(b＋c).
(3) 原式 ＝ (a＋b)(a－b－1).
方法归纳：公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.
1. 把下列多项式分解因式.
针对训练
2. 已知 a＋b＝7，ab＝4，求 a2b＋ab2 的值．
解：因为 a＋b ＝ 7，ab ＝ 4，
所以原式＝ ab(a＋b)
＝ 4×7＝28.
针对训练
方法归纳 原式提取公因式变形后，将 a＋b 与 ab 作为一个整体代入计算即可得出答案．
三、公式法 —— 平方差公式
1. 因式分解中的平方差公式
a2－b2＝　 　 ；
2. 多项式的特征：(1) 可化为个____整式；
(2) 两项符号______；
(3) 每一项都是整式的______.
3. 注意事项：(1) 有公因式时，先提出公因式；
(2) 进行到每一个多项式都不能再分解
为止.
(a＋b)(a－b)
两
相反
平方
考点四 平方差公式分解因式
例4 分解因式：
(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.
解：(1) 原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)
＝(b－a)(3a＋b).
(2) 原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)
＝(2m＋4n)(4m＋2n)
＝4(m＋2n)(2m＋n)．
3. 已知 x2－y2＝－1，x＋y＝ ，求 x－y 的值.
解：∵ x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－1，
x＋y＝ ，
∴ x－y＝－2.
针对训练
4. 如图，100 个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为 100 cm，向里依次为 99 cm，98 cm，…，1 cm，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？
解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积
的差，
而正方形的面积是其边长的平方，
则 S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)
＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050．
答：所有阴影部分的面积和是 5050 cm2.
四、公式法 —— 完全平方公式
1. 完全平方公式：a2 + 2ab + b2 = ( )2
a2 - 2ab + b2 = ( )2
2. 完全平方式的特征：(1) 三项式；
(2) 有两项是两个数 (或式) 的_______
的形式；
(3) 另一项是这两个数 (或式) 的______
的_____倍.
3. 注意事项：有公因式时，应先提出_______.
a + b
a - b
平方和
乘积
±2
公因式
考点五 完全平方公式分解因式
例5 因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2； (2) (a2＋4)2－16a2.
解：(1) 原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2.
(2) 原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
＝(a＋2)2(a－2)2.
5. 已知 a＋b＝5，ab＝10，求 a3b＋a2b2＋ ab3的值.
解： a3b＋a2b2＋ ab3＝ ab(a2＋2ab＋b2)
＝ ab(a＋b)2.
当 a＋b＝5，ab＝10 时，
原式＝ ×10×52＝125.
针对训练
因式分解
定义
提公因式法
公式法
平方差公式
完全平方公式