高 2021级 2023年上期半期考试
数学试题 (理科)
第 I卷 选择题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的，请将答案涂在答题卡上。
1.命题 p: x∈ 1,2 ，x2-1≥ 0，则 p是 (▲)
A. x 1,2 ，x2-1≥ 0 B. x∈ 1,2 ，x2-1< 0
C. x0 1,2 ，x20-1≥ 0 D. x0∈ 1,2 ，x20-1< 0
2.设 a∈R，则“a a- 3 > 0”是“a> 3”的 (▲)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.抛物线 x2= 2y上一点A的纵坐标为 2，则点A与抛物线焦点的距离为 (▲)
A. 32 B. 2 C.
5
2 D. 3
2 y2
4.双曲线C: x16 - 12 = 1上的点P到左焦点的距离为 9，则P到右焦点的距离为 (▲)
A. 5 B. 1 C. 1或 17 D. 17
5.在 x- 1
n
2 x 的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中 x
6的系数为 (▲)
A. 45 35 354 B. - 8 C. 8 D. 7
6.已知抛物线C：y2= 8x的焦点为F，点P是抛物线C上一动点，则线段FP的中点Q的轨迹方程是 (▲)
A. y2= 4(x- 1) B. y2= 4x C. x2= 4(y- 1) D. x2= 4y
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7. 4名男生 2名女生排成一排，要求两名女生相邻且都不与男生甲相邻的排法总数为 (▲)
A. 72 B. 120 C. 144 D. 288
7
8.已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P为C上一点， PF1 = 2 PF2 ，若C的离心率为 3 ，则∠F1PF2= (▲)
A. 150° B. 120° C. 90° D. 60°
9.数学与生活密不可分，在一次数学讨论课上，老师安排 5名同学讲述圆、椭圆、双曲线、抛物线在实际生活
中的应用，要求每位学生只讲述一种曲线，每种曲线至少有 1名学生讲述，则可能的安排方案的种数为
(▲)
A. 240 B. 480 C. 360 D. 720
p
10.已知直线 l:y= k x- 2 与抛物线C:y2= 2px(p> 0)相交于A、B两点 (其中A位于第一象限)，若 BF
= 3 FA ，则 k= (▲)
A. - 3 B. - 33 C. 1 D. -
1
3
11.P为双曲线 x2-y2= 1左支上任意一点，EF为圆C:(x- 2)2+y2= 4的任意一条直径，则PE PF的最小
值为 (▲)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 9
x2 y
2
12.已知椭圆C: 2 + 2 = 1 a> b> 0 的左右焦点为F1，F2，过F2的直线与圆 x
2+y2= b2相切于点A，并与
a b
椭圆C交于不同的两点P，Q，如图，若A，F2为线段PQ的三等分点，则椭圆的离心率为 (▲)
y
P
A
F2
F1 O x
Q
A. 23 B.
3
3 C.
5
3 D.
7
3
理科数学 第 2页 共 4页
第 ΙΙ卷 非选择题
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13.已知m是常数，若 mx- 1 5= a x5+a x4+a x3+a x25 4 3 2 +a1x+ a0且 a1+a2+a3+a4+a5= 33，则m=▲.
14.已知命题“ x0∈ [1，2]，x20-2ax0+1> 0”是真命题，则实数 a的取值范围为▲.
2
E: x
2 y
15.已知椭圆 2m + m = 1(m> 0)的右焦点为F，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐
标为 (1,-1)，则椭圆E的方程为▲.
16.在图中，从上往下读 (不能跳读)构成句子“构建和谐社会，创美好未来”的不同读法种数是▲.
三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17题10分，其余每题12分。
17.（满分10分）从 5名男生和 4名女生中选出 4人去参加数学竞赛．
(1)如果选出的 4人中男生、女生各 2人，那么有多少种选法？
(2)如果男生中的小王和女生中的小红至少有 1人入选，那么有多少种选法？
(3)如果被选出的 4人是甲、乙、丙、丁，将这 4人派往 2个考点，每个考点至少 1人，那么有多少种派送方
式？
x- 5
18.（满分12分）已知命题 p： x < 0，命题 q：y= log
2
2 x -x- 12 有意义．
(1)若 p∧ q为真命题，求实数 x的取值范围;
(2)若 p∨ ( q)为假命题，求实数 x的取值范围．
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19.（满分12分）已知双曲线的焦点为F1(-3,0)，F2(3,0)，且该双曲线过点P(2,-2 6)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过左焦点F1作斜率为 2 6的弦AB，求AB的长；
(3)求△F2AB的周长．
1 n
20.（满分12分）已知 2x+ 的展开式中第 2项与第 3项的二项式系数之比为 2:5.x
(1)求n的值；
(2)求展开式中系数最大的项．
21.（满分12分）已知抛物线C：y2= 2px p> 0 的焦点为F，点P x0, 2 在C上，且 PO = PF (O为坐标
原点)．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点 a,0 a< 0 1 1 的直线与抛物线C交于点A，B两点，若 + 为定值，求实数 a的值．
AF BF
2
x2 y
22.（满分12分）已知椭圆E: 2 + 2 = 1(a> b> 0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶a b
点，且椭圆E过T(2，1)，直线 l：y= x+m与椭圆E交于A、B．
y
T
P
O B x
A
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线TA、TB的斜率分别为 k1，k2，证明：k1+k2= 0；
(3)直线 l 是过点T的椭圆E的切线，且与直线 l交于点P，定义∠PTB为椭圆E的弦切角，∠TAB为弦
TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角∠PTB与弦TB对应的椭圆周角∠TAB的关系，并证明你的
结论．
理科数学 第 4页 共 4页高 2021级 2023年上期半期考试
数学试题 (理科)参考答案
1.【答案】D
【详解】由题意，命题 p: x∈ 1,2 ，x2-1≥ 0，由全称命题的否定为存在命题，可得： p为 x0∈ 1,2 ，x0
2-1< 0，故选：D．
2.【答案】B
【详解】a a- 3 > 0 a< 0或 a> 3，则 a a- 3 > 0 a> 3，a> 3 a a- 3 > 0，
所以“a a- 3 > 0”是“a> 3”的必要不充分条件．故选：B．
3. 【答案】C
p
【详解】对于抛物线 x2= 2y 2p= 2, = 1 1， 2 2 ，∴ 准线方程为 y=- 2 ，
点A到焦点的距离为 2+ 12 =
5
2 ；故选：C.
4.【答案】D
【详解】设双曲线的左焦点为F1，右焦点为F2，
则 PF1 - PF2 = 2a= 8，故 9- PF2 = 8，故 PF2 = 1或 PF2 = 17.
由双曲线性质知，P到焦点距离的最小值为 c- a= a2+b2- a= 2 7- 4> 1，
所以 PF2 = 1舍去.故选：D.
5.【答案】C
【详解】依题意，第五项二项式系数最大，一共是 9项，所以n= 8，
8-r r
二项式展开项的通项公式为：T =Cr r - 1 x 2
4+
r+1 8 2 x
r= r rC8 - 12 x
2 r，4+ 2 = 6,r= 4 ，
∴ x6 1 4 35的系数为C48 - 2 = 8 故选：C.
6.【答案】A
= 2+ xx 1 ,
【详解】设Q(x，y)，P(x1，y1)，则 y21= 8x 21①，又F(2，0)，由Q为PF的中点，得 = yy 12 ,
x1= 2x- 2,
从而 = 代入①，得 (2y)
2= 8(2x- 2)，即 y2= 4(x- 1)．故选：A
y1 2y,
7.【答案】C
【详解】第一步先排列除甲之外的三名男生，第二步将两名女生看作一个整体与男生甲插入排好的三名
男生 4个空隙中的两个空隙，第三步将两名女生内部排列，即：A3A2A23 4 2= 144.
故选：C.
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8.【答案】B
【详解】解：记 r1= PF1 ，r2= PF2 ，
r 4 2由 1= 2r2，及 r1+r2= 2a，得 r1= 3 a，r2= 3 a，
又由余弦定理知 r21+r2 22-2r1r2 cos∠F1PF2= 4c ，
20a2 - 16a
2
得 9 9 cos∠F
2
1PF2= 4c .
由 e= c = 7 ，得 c2= 7 2a 3 9 a ，
16a2 2
从而 9 cos∠F1PF2=-
8a
9 ，∴ cos∠F1PF=-
1
2 2 .
∵ 0° <∠F1PF2< 180°，∴∠F1PF2= 120°.故选:B
9.【答案】A
【详解】解：有四种曲线，要求每位学生只讲述一种曲线，
C2C1C1C1
则 5名同学分成 2，1，1，1四组，共有 5 3 2 1
A3
= 10种情况，
3
再将四组学生分配给四种曲线，一共有A44= 24种情况，
则可能的安排方案的种数为 10× 24= 240种，故选：A.
10.【答案】A
【详解】由题意知，直线 l:y= k x-
p
过抛物线 y22 =
p
2px(p> 0)的焦点F 2 ,0 ，
=- p准线方程为 x 2 ，分别过A,B作准线的垂线，垂足为A
,B ，过A作BB 的垂线，垂足为M，如图，设
AA = AF = t，因为 FB = 3 FA ，
所以 BB = BF = 3t，
则 BM = 2t, AB = 4t，所以∠ABM= 60°，
即直线 l的倾斜角等于∠AFx= 120°，可得直线 l的斜率为 k= tan120° =- 3.故选：A.
11.【答案】C
【详解】如图，圆C的圆心C为 (2,0)，半径 r= 2，
P y
F
O C x
E
理科答案第 2页 共 7页
PE PF = PC +CE PC +CF = PC +CE PC -CE = |PC|2-|CE|2= |PC|2-4，则当点P位
于双曲线左支的顶点时，|PC|2-4最小，即PE PF最小.
此时PE PF的最小值为： 1+ 2 2-4= 5.故选：C.
12.【答案】C
【详解】如图,连接PF1,OA,因为A，F2为线段PQ的三等分点,
y
P
A
F2
F1 O x
Q
所以在△PF1F2中,O为F1F2中点，A为PF2中点，所以PF1 OA，
又因为过F2的直线与圆 x
2+y2= b2相切于点A，所以PF2⊥OA，
因为圆 x2+y2= b2的半径为 b，
所以 OA = b, PF1 = 2b，由椭圆的定义得： PF2 = 2a- PF1 = 2a- 2b，所以 AF2 = a- b，
所以在Rt△AOF2中， OA 2+ AF 22 = OF 22 ，即 c2= b2+ a- b 2，
2
整理得：3b= 2a b = 2，即：a 3 ，所以 e= 1-
b
a =
5
3 .故选：C
13.【答案】3
【详解】取 x= 0，则 -1 5=-1= a0；
取 x= 1，则 m- 1 5= a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1+ 33= 32，所以m- 1= 2，即m= 3.
故答案为：3.
14.【答案】 -∞, 54
【详解】命题“ x 20∈ [1，2]，x0-2ax0+1> 0”是真命题，即有 2a< x 10+ x 在 [1，2]的最大值，0
由 x0+ 1x 在 [1
5 5 5
，2]递增，可得 x0= 2取得最大值 2 ，则 2a< 2 ，可得 a< 4 ，0
5 5
则实数 a的取值范围为 -∞，4 ．故答案为 -∞，4 ．
x2 y
2
15.【答案】18 + 9 = 1
1
【详解】由题意可知，点F( m，0)，所以直线AB的斜率为 k= ，
m- 1
设A，B两点的坐标分别为 (x1，y1)，(x2，y2)，
x2 2 1 +
y1
2m m = 1 y1-y2 x +x 1× 2 1
则 2 2 ，两式相减，整理得，
1 2
x2 y2 x1-x
=-
+ = 2 2(y1+ )
=-
y2 2× (-
= ，
1) × 2 2
2m m 1
1
所以 k= = 12 ，解得m= 9，m- 1
2
∴ y
2 2 2
椭圆E x的方程为 18 + 9 =
y
1 x．故答案为：18 + 9 = 1．
理科答案第 3页 共 7页
16.【答案】252
【详解】解本题相当于在题图中先在“构”字处标上 1，再在上半部分三角形
的两腰的各字处标上 1，然后从上到下依次逐字累加 (如图)，图中间每一点
处的数等于它肩上两数的和，
一直计算到下面最后一字由此可得，共有 252种不同读法．
17.【答案】(1)60 (2)91 (3)14
【详解】(1)从 5名男生中选 2名，4名女生中选 2人，属于组合问题，C2C25 4= 60，故有 60种选法；
3分
(2)若小王和小红均未入选，则有C47= 35种选法，故男生中的小王和女生中的小红至少有 1人入选，则有
C4 49-C7= 126- 35= 91种选法； 6分
(3)若 2个考点派送人数均为 2人，则有C24C22= 6种派送方式，
若 1个考点派送 1人，另 1个考点派送 3人，则有C1C3A24 3 2= 8种派送方式，
故一共有 8+ 6= 14种派送方式. 10分
18.【答案】(1) (4,5) (2)x<-3或 x≥ 5．
【详解】(1)解: , x- 5由题知 x < 0，解得 0< x< 5，
即 p:0< x< 5, 2分
要使函数 y= log2 x2-x- 12 有意义,
只需 x2-x- 12> 0,，解得 x<-3或 x> 4，
即 q:x<-3或 x> 4, 4分
若 p∧ 0< x< 5q为真，则有 x> 4或 x<- ，解得:4< x< 5,3
∴实数 x的取值范围是 4,5 ; 6分
(2)由 (1)知 p:0< x< 5,q:x<-3或 x> 4,
若 p∨ q为假命题，则 p与 q都为假命题，即 p与 q都为真命题， 8分
∴ p:x≤ 0或 x≥ 5, 10分
x≤ 0或 x≥ 5只需 ，解得 x<-3或 x≥ 5．x> 4或 x<-3
则实数 x的取值范围:x<-3或 x≥ 5． 12分
理科答案第 4页 共 7页
y2
19.【答案】(1)x2- 8 = 1 (2)25 (3)54
【详解】(1)因为双曲线的焦点在 x轴上，
x2 y
2
设双曲线方程为 2 - 2 = 1， 1分a b
a2+b2= 9 a2= 1
由题意得 42 - 242 = 1，解得 2= ， 3分a b b 8
y2
所以双曲线方程为 x2- 8 = 1. 4分
(2)依题意得直线AB的方程为 y= 2 6(x+ 3)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立 y= 2 6(x+ 3) y2 消 y得 x
2+9x+ 14= 0，
x2- 8 = 1
则 x1+x2=-9，且 x1x2= 14， 6分
所以 AB = 1+ k2 x1-x2
= 1+ 24 x1+x 22 -4x1x2= 5 81- 56= 25. 8分
(3)由 (2)知A，B两点都在双曲线左支上，且 a= 1，
由双曲线定义， AF2 - AF1 = BF2 - BF1 = 2a， 10分
从而 AF2 + BF2 = 4a+ AF1 + BF1 = 4a+ AB ，
△F2AB的周长为 AF2 + BF2 + AB = 4a+ 2 AB = 4+ 50= 54． 12分
20.【答案】(1)n= 6 (2)T3= 240x3
【详解】(1)因为第二项与第三项的二项式系数之比是 2:5，
C1n = 2 n 2则 2 5 ，即 = ，解得n= 0(舍)或n= 6，Cn n(n- 1) 5
2
所以n的值为 6. 5分
1 6 k 6-k 1 k k 6-k 6- 3k(2) 2x+ 的展开式的通项为Tk+1=C6(2x) =C62 x 2 0≤ k≤ 6,k∈N ，x x
Ck26-k≥Ck-127-k
令 6 6 4 7 ，解得 ≤ k≤ ， 9分Ck26-k6 ≥Ck+125-k 3 36
又∵ k∈N，∴ k= 2，
∴展开式中系数最大的项为第 3项，且T3= 240x3． 12分
理科答案第 5页 共 7页
21.【答案】(1)y2= 4x (2)a=-1
p
【详解】(1)已知点P x0, 2 在C上，且 PO = PF ，F 2 ,0 ，
p
则点P在线段OF的中垂线上，即P 4 , 2 ， 2分
p2
把点P代入抛物线C的方程 y2= 2px，则 2= 2 ，p> 0，
解得 p= 2， 4分
所以抛物线C的标准方程为 y2= 4x． 5分
(2)设过 a,0 的直线为 y= k x- a k≠ 0 ，A x1,y1 ，B x2,y2
y2= 4x
联立 = - ，得 k
2x2- 2ak2+4 x+ k2a2= 0， 6分y k x a
则Δ= 2ak2+4 2-4a2k4= 16ak2+16> 0，即 ak2+1> 0， 7分
x +x = 2ak
2+4 4
且 21 2 2 = 2a+ 2 ，x1x2= a 8分k k
1
所以 + 1 = 1 + 1 x1+x2+2
AF BF x1+1 x +1
=
2 x1+1 x2+1
4
x +x 2a+ 2+ 2= 1 2+2 = kx1x2+x1+x2+1 2a+ a2+1+ 4
k2
1 1
因为 + 为定值， 10分
AF BF
所以 2a+ 2= 2a+ a2+1，a< 0，解得 a=-1或 a= 1(舍去)
当 a=-1，k∈ -1,0 ∪ 0,1 时Δ> 0，
1 1
所以当 + 为定值时，a=-1． 12分
AF BF
2
x2 y
22.【答案】(1) 6 + 3 = 1 (2)证明见解析 (3)∠PTB=∠TAB，证明见解析
2
【详解】(1)由题意知，b= c= a，所以 a22 = 2b
2， 1分
又椭圆经过T(2,1) 4 1，所以 2 + 2 = 1， 2分a b
解得 a2= 6，b2= 3， 3分
x2 y
2
所以椭圆方程为 6 + 3 = 1； 4分
(2) y= x+m联立直线与椭圆方程，得 2 2 x2+2y2= ，联立消 y得 x +2(x+m) = 6，6
整理得 3x2+4mx+ 2m2-6= 0， 5分
则Δ= 16m2-12(2m2-6)> 0，解得-32
设A x1,y1 ,B x2,y2 ，则 x1+x2=- 4m x x = 2m -63 ， 1 2 3 ，
理科答案第 6页 共 7页
+ = y1-1 + y2-1 = x所以 k k 1+m- 1 x2+m- 11 2 x1-2 x2-2 x1-2
+ x2-2
= x1-2+m+ 1 x2-2+m+ 1x +1-2 x2-2
= 2+ (m+ 1) 1 1x1-2 + x2-2
= + ( + ) x1+x2-42 m 1 (x1-2) (x2-2)
= 2+ (m+ 1) x1+x2-4- ( + )+ 7分x1x2 2 x1 x2 4
- 4m - 4
= 2+ (m+ 1) 3
2m2-6 - 2 - 4m3 3 + 4
= - ( + ) 2(m+ 3)2 m 1 ( = 0，m+ 1) (m+ 3)
即 k1+k2= 0； 9分
(3)椭圆E的弦切角∠PTB与弦TB对应的椭圆周角∠TAB相等.证明如下：
设切线方程为 y- 1= k x- 2 ，即 y= kx+ 1- 2k，
y= kx+ 1- 2k由 2 2+ 2= ，得 x +2(kx+ 1- 2k)
2= 6，
x 2y 6
所以 (1+ 2k2)x2+4k(1- 2k)x+ 2(1- 2k)2-6= 0，
Δ= 16k2 1- 2k 2-4 1+ 2k2 2 1- 2k 2-6 = 0，解得 k=-1，
则∠TQD= 45°，又 kl= 1，所以∠AMC=∠PMQ= 45°，所以∠TQD=∠AMC，
设切线与 x轴交点为Q，TA、TB分别与 x交于C，D，
y
T
C PQ
O MB x
A
因为 k1+k2= 0，所以∠TCD=∠TDC，又∠TQD=∠AMC，
∠TCD=∠TAB+∠AMC，∠TDC=∠PTB+∠TQD，
所以∠PTB=∠TAB. 12分
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