高 2021级 2023年上期半期考试
数学试题 (文科)参考答案
1.【答案】D
【详解】由题意，命题 p: x∈ 1,2 ，x2-1≥ 0，由全称命题的否定为存在命题，可得：
p为 x 20∈ 1,2 ，x0-1< 0，故选：D．
2.【答案】B
【详解】a a- 3 > 0 a< 0或 a> 3，则 a a- 3 > 0 a> 3，a> 3 a a- 3 > 0，
所以“a a- 3 > 0”是“a> 3”的必要不充分条件．故选：B．
3.【答案】A
【解析】由题得 a2= 4,∴ a= 2.
由双曲线的定义可知 PF1 - PF2 =-4.
故选：A
4.【答案】C
【详解】抛物线 y2= x 1 1焦点F 4 ,0 ，准线方程为 x=- 4 ，
1 7
设点M的横坐标为 x0，根据抛物线的定义，|MF| = x0+ 4 = 2,∴ x0= 4 .故选:C
5.【答案】D
【详解】f′ (x) = 2f′ (1) + 2x，
令 x= 1，则 f′ (1) = 2f′ (1) + 2，得 f′ (1) =-2，
所以 f′ (0) = 2f′ (1) + 0=-4.故选D
6.【答案】C
【详解】设点P的坐标为 (x0，y0)，因为 f′ (x) = 4x3-1，
所以 f′ (x 30) = 4x0-1= 3，即 x0= 1.
把 x 40= 1代入函数 f(x) = x -x，得 y0= 0，
所以点P的坐标为 (1,0)．故选:C
7.【答案】C
【详解】列表如下：
x (-∞，-1) (-1,0) (0,1) (1，+∞)
xf ′ (x) - + - +
f′ (x) + - - +
f(x) 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增
文科答案 第 1页 共 8页
故函数 f(x)的单调递增区间为 (-∞，-1)，(1，+∞)，单调递减区间为 (-1,1)．
故函数 f(x)的图象是C选项中的图象．故选:C
8.【答案】B
【详解】因为函数 f(x) = 2x3+ax2+36x- 24在 x= 2处有极值，又 f ′ (x) = 6x2+2ax+ 36，所以 f ′ (2) = 0
解得 a=-15.令 f′ (x)> 0，解得 x> 3或 x< 2，所以函数的一个递增区间是 (3，+∞)．
9.【答案】B
【详解】解：记 r1= PF1 ，r2= PF 4 22 ，由 r1= 2r2，及 r1+r2= 2a，得 r1= 3 a，r2= 3 a，
2 2
又由余弦定理知 r21+r22-2r1r2 cos∠FPF= 4c2 20a - 16a1 2 ，得 9 9 cos∠F1PF2= 4c
2.
e= c = 7 7 16a
2 8a2
由 a 3 ，得 c
2= a29 ，从而 9 cos∠F1PF2=- 9 ，
∴ cos∠F1PF2=- 12 .
∵ 0° <∠F1PF2< 180°，∴∠F1PF2= 120°.故选:B
10.【答案】A
p p
【详解】由题意知，直线 l：y= k x- 2 过抛物线 y2= 2px(p> 0)的焦点F 2 ,0 ，
准线方程为 x=- p2 ，分别过A,B作准线的垂线，垂足为A
,B ，
过A作BB 的垂线，垂足为M，如图，设 AA = AF = t，
因为 FB = 3 FA ，所以 BB = BF = 3t，
则 BM = 2t, AB = 4t，所以∠ABM= 60°，
即直线 l的倾斜角等于∠AFx= 120°，可得直线 l的斜率为 k= tan120° =- 3.故选：A.
11.【答案】A
x x
【详解】若 f x > 0在 0,+∞ e 上恒成立，则m< 2 在 0,+∞ 上恒成立等价于me
x2 min
ex e
x
,+∞
x- 2
在 0 上恒成立，令 h x = 2 x> 0 ，则 h
x = 3 x> 0 ，x x
令 h x > 0，解得 x> 2，令 h x < 0，解得 0< x< 2，
2
故 h x 在 0,2 e 上单调递减，在 2,+∞ 上单调递增，故 h x min= h 2 = 4 ，
e2
故m< 4 .故选：A.
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12.【答案】C
【详解】如图,连接PF1,OA,因为A，F2为线段PQ的三等分点,
y
P
A
F2
F1 O x
Q
所以在△PF1F2中,O为F1F2中点，A为PF2中点，所以PF1 OA，
又因为过F2的直线与圆 x
2+y2= b2相切于点A，所以PF2⊥OA，
因为圆 x2+y2= b2的半径为 b，
所以 OA = b, PF1 = 2b，
由椭圆的定义得： PF2 = 2a- PF1 = 2a- 2b，
所以 AF2 = a- b，
所以在Rt△AOF2中， OA 2+ AF 22 = OF2 2，即 c2= b2+ a- b 2，
整理得：3b= 2a b 2，即：a = 3 ，
2
所以 e= 1- ba =
5
3 .故选：C
13.【答案】2x+ 2y- 3= 0
【详解】f x = x- 2x，则切线斜率 k= f
1 =-1，
1 1 y- 1切点为 ，2 ，所以切线方程为 2 =- x- 1 ，化简得：2x+ 2y- 3= 0.
14.【答案】 -∞, 54
【详解】命题“ x0∈ [1，2]，x20-2ax0+1> 0”是真命题，
1
即有 2a< x0+ x 在 [1，2]的最大值，0
x + 1由 0 x 在 [1，2] x = 2
5
递增，可得 0 取得最大值 ，
0 2
2a< 5 a< 5则 2 ，可得 4 ，
则实数 a 5 5的取值范围为 -∞，4 ．故答案为 -∞，4 ．
15.【答案】 4 3 ，+∞
解析 由题意知 f′ (x) = x+ 2a- 1 1 x ≥ 0在 3 ，2 上恒成立，
即 2a≥-x+ 1 1在 x 3 ，2 上恒成立，
∵ -x+ 1 8x = ，max 3
∴ 2a≥ 8 43 ，即 a≥ 3 .
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16.【答案】4- 2ln2
【详解】设 f(x1) = g(x2) = t，即 ln x1= t 1，2 x2+1= t，
解得 x1= et，x2= 2t- 2，所以 x t1-x2= e-2t+ 2，
令 h(t) = et-2t+ 2，则 h′ (t) = et-2，
令 h′ (t) = 0，解得 t= ln2，
当 t< ln2时，h′ (t)< 0，
当 t> ln2时，h′ (t)> 0，
所以 h(t)在 (-∞，ln2)上单调递减，在 (ln2，+∞)上单调递增，
所以 h(t)的最小值为 h(ln2) = 2- 2ln2+ 2= 4- 2ln2，
所以 x1-x2的最小值为 4- 2ln2.
17.【答案】(1) [4，5 (2)x≤-3或 x≥ 5．
【详解】(1)解:由题知 x x- 5 < 0，解得 0< x< 5，
即 p：0< x< 5, 2分
要使 x2-x- 12有意义,只需 x2-x- 12≥ 0，解得 x≤-3或 x≥ 4，
即 q：x≤-3或 x≥ 4, 4分
∧ 0< x< 5若 p q为真，则有 ≥ ≤- ，解得:4≤ x< 5,x 4或 x 3
∴实数 x的取值范围是 [4，5 ； 5分
(2)由 (1)知 p:0< x< 5,q:x≤-3或 x≥ 4,
若 p∨ ( q)为假命题，则 p与 q都为假命题，即 p与 q都为真命题， 7分
∴ p:x≤ 0或 x≥ 5， 8分
x≤ 0或 x≥ 5只需 ≤- ≥ ，解得 x≤-3或 x≥ 5．x 3或 x 4
则实数 x的取值范围:x≤-3或 x≥ 5． 10分
18.【答案】(1)a= 1，b=-3 (2)单调递增区间为 (-∞，-3)，(1，+∞)，单调递减区间为 (-3,1)
【详解】解：(1) ∵ f(x) = 1 x3+ax23 +bx，
∴ f′ (x) = x2+2ax+ b， 2分
f′ (-1) =-4， 1- 2a+ b=-4，由 ′ ( ) = 得 4分f 2 5， 4+ 4a+ b= 5.
解得 a= 1，b=-3. 6分
(2)由 (1)得 f(x) = 1 33 x +x
2-3x.
f′ (x) = x2+2x- 3= (x- 1) (x+ 3)． 9分
由 f′ (x)> 0得 x> 1或 x<-3；
由 f′ (x)< 0得-3< x< 1.
∴ f(x)的单调递增区间为 (-∞，-3)，(1，+∞)，单调递减区间为 (-3,1)． 12分
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2
19.【答案】(1)x2- y8 = 1 (2)25 (3)54
【详解】(1)因为双曲线的焦点在 x轴上，
2
x2 y
设双曲线方程为 -
a2 b2
= 1， 1分
a2+b2= 9 a2= 1
由题意得 4 - 24 = 1，解得 2 ， 3分a2 b2 b = 8
y2
所以双曲线方程为 x2- 8 = 1. 4分
(2)依题意得直线AB的方程为 y= 2 6(x+ 3)，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
y= 2 6(x+ 3)联立 y2 消 y得 x
2+9x+ 14= 0，
x2- 8 = 1
则 x1+x2=-9，且 x1x2= 14， 6分
所以 AB = 1+ k2 x1-x2
= 1+ 24 x 21+x2 -4x1x2= 5 81- 56= 25. 8分
(3)由 (2)知A，B两点都在双曲线左支上，且 a= 1，
由双曲线定义， AF2 - AF1 = BF2 - BF1 = 2a， 10分
从而 AF2 + BF2 = 4a+ AF1 + BF1 = 4a+ AB ，
△F2AB的周长为 AF2 + BF2 + AB = 4a+ 2 AB = 4+ 50= 54． 12分
20.【答案】(1)y2＝ 8x (2)6 3
【详解】 1 ∵抛物线的焦点F到 y轴的距离为 2，
∴ p2 = 2，故 p= 4， 4分
∴抛物线方程 y2＝ 8x; 3分
2 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2
y ＝ 8x联立 消 y化简整理得 k
2x2- 4(k＋ 2)x＋ 4＝ 0， 5分
y＝ kx- 2
Δ＝ 16(k＋ 2)
2- 16k2> 0
则 4 k+ 2 ， 7分x1+x2＝ = 4k2
文科答案 第 5页 共 8页
∴ k> - 1 k=- ，1或 k= 2
∴ k= 2， 8分
2 2
∴ AB = 1+ 22 ×
16(2＋ 2) -16× 2
2 = 8 5 ×
3
2 = 2 15， 10分2 2
又点D -2，0 ，
∴点D到直线 y＝ 2x - 2的距离为 d= 6 ， 11分
5
∴△ABD 1的面积为 2 × 2 15 ×
6 = 6 3. 12分
5
21.【答案】(1)y=-1 (2) 2 1 2 ,e e
【详解】(1)解：当 a= 1时，f x = lnx- x，
f x = 1 - 1= 1- x x x x> 0 ， 1分
令 f x > 0，得 0< x< 1， 2分
所以 f x 在 0，1 上单调递增，在 1，+∞ 上单调递减， 3分
故当 x= 1时，函数 y= f x 有极大值，
并且极大值为 f 1 =-1，无极小值； 5分
(2) x∈ 1,e2 f x = 0 a= lnx解：当 时，由 可得 x ，
令 g x = lnx x ，其中 x∈ 1，e
2 ， 6分
则直线 y= a与函数 g x 在 1，e2 上的图象有两个交点，
g x = 1- lnx 2 ， 8分x
当 1< x< e时，g x > 0，此时函数 g x 单调递增，
当 e< x< e2时，g x < 0，此时函数 g x 单调递减.
1
所以，函数 g x 的极大值为 g e = e ，且 g 1 = 0，g e
2 = 22 ， 10分e
如下图所示：
y y= a
1
e
2
e2
O 1 e e2 x
2 1
由图可知，当 2 ≤ a< e 时，直线 y= a与函数 g x 在 1,e
2 上的图象有两个交点，
e
2 1
因此，实数 a的取值范围是 2 , e . 12分e
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2 2
22.【答案】( ) x y1 6 + 3 = 1 (2)证明见解析 (3)∠PTB=∠TAB，证明见解析
2
【详解】(1)由题意知，b= c= 2 a，所以 a
2= 2b2， 1分
T(2,1) 4 + 1又椭圆经过 ，所以 2 2 = 1， 2分a b
解得 a2= 6，b2= 3， 3分
x2 + y
2
所以椭圆方程为 6 3 = 1； 4分
(2) y= x+m联立直线与椭圆方程，得 2 2 2+ 2= ，联立消 y得 x +2(x+m) = 6，x 2y 6
整理得 3x2+4mx+ 2m2-6= 0， 5分
则Δ= 16m2-12(2m2-6)> 0，解得-32
设A x1,y1 ,B x2,y2 ，则 x +x =- 4m1 2 3 ，x1x =
2m -6
2 3 ，
+ = y1-1 + y2-1 x1+m- 1 x2+m- 1所以 k1 k2 x1-2 x2-2
= x +1-2 x2-2
= x1-2+m+ 1 + x2-2+m+ 1x1-2 x2-2
= 2+ (m+ 1) 1x -2 +
1
1 x2-2
= x2+ (m+ 1) 1+x2-4(x1-2) (x2-2)
= + ( + ) x1+x2-42 m 1 7分
x1x2-2(x1+x2) + 4
- 4m - 4
= 2+ (m+ 1) 3
2m2-6
3 - 2 -
4m
3 + 4
= - ( + ) 2(m+ 3)2 m 1 ( + ) ( + ) = 0，m 1 m 3
即 k1+k2= 0； 9分
(3)椭圆E的弦切角∠PTB与弦TB对应的椭圆周角∠TAB相等.证明如下：
设切线方程为 y- 1= k x- 2 ，即 y= kx+ 1- 2k，
y= kx+ 1- 2k由 2 2 x2+2y2= ，得 x +2(kx+ 1- 2k) = 6，6
所以 (1+ 2k2)x2+4k(1- 2k)x+ 2(1- 2k)2-6= 0，
Δ= 16k2 1- 2k 2-4 1+ 2k2 2 1- 2k 2-6 = 0，解得 k=-1，
则∠TQD= 45°，又 kl= 1，所以∠AMC=∠PMQ= 45°，所以∠TQD=∠AMC，
设切线与 x轴交点为Q，TA、TB分别与 x交于C，D，
文科答案 第 7页 共 8页
y
T
C PQ
O MB x
A
因为 k1+k2= 0，所以∠TCD=∠TDC，又∠TQD=∠AMC，
∠TCD=∠TAB+∠AMC，∠TDC=∠PTB+∠TQD，
所以∠PTB=∠TAB. 12分
文科答案 第 8页 共 8页高 2021级 2023年上期半期考试
数学试题 (文科)
第 I卷 选择题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的，请将答案涂在答题卡上。
1.命题 p： x∈ 1，2 ，x2-1≥ 0，则 p是 ( )
A. x 1，2 ，x2-1≥ 0 B. x∈ 1，2 ，x2-1< 0
C. x 2 20 1，2 ，x0-1≥ 0 D. x0∈ 1，2 ，x0-1< 0
2.设 a∈R，则“a a- 3 > 0”是“a> 3”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2 y2
3.设P x是双曲线 4 - 3 = 1左支上的动点，F1，F2分别为左右焦点，则 PF1 - PF2 = ( )
A. -4 B. 2 3 C. 4 D. 2 7
4.已知抛物线 y2= x上的点M到其焦点的距离为 2，则M的横坐标是 ( )
A. 32 B.
5 C. 72 4 D.
9
4
5.若 f(x) = 2xf ′ (1) + x2，则 f′ (0)等于 ( )
A. 2 B. 0 C. -2 D. -4
6.若曲线 f(x) = x4-x在点P处的切线平行于直线 3x- y= 0，则点P的坐标为 ( )
A. (-1，2) B. (1，-3) C. (1，0) D. (1，5)
文科数学 第 1页 共 4页
7.已知函数 y= xf ′ (x)的图象如图所示 (其中 f′ (x)是函数 f(x)的导函数)．下面四个图象中 y= f(x)的图
象大致是 ( )
y= xf x
8.已知函数 f(x) = 2x3+ax2+36x- 24在 x= 2处有极值，则该函数的一个递增区间是 ( )
A. (2,3) B. (3，+∞) C. (2，+∞) D. (-∞，3)
9.已知F1,F 72是椭圆C的两个焦点，P为C上一点， PF1 = 2 PF2 ，若C的离心率为 3 ，则∠F1PF2= ( )
A. 150° B. 120° C. 90° D. 60°
p
10.已知直线 l：y= k x- 2 与抛物线C：y2= 2px(p> 0)相交于A、B两点 (其中A位于第一象限)，若
BF = 3 FA ，则 k= ( )
A. - 3 B. - 33 C. 1 D. -
1
3
f x = e
x
11.已知函数 x -mx(e为自然对数的底数)，若 f x > 0在 0，+∞ 上恒成立，则实数m的取值范
围是 ( )
A. -∞ e
2 2
，4 B. -∞，2 C. -∞，e D.
e
4 ，+∞
x2 y
2
12.已知椭圆C: 2 + 2 = 1 a> b> 0 的左右焦点为F1，F2，过F2的直线与圆 x
2+y2= b2相切于点A，并与
a b
椭圆C交于不同的两点P，Q，如图，若A，F2为线段PQ的三等分点，则椭圆的离心率为 ( )
A. 23 y P
B. 33 AF2
5 FC. 1 O
x
3 Q
D. 73
文科数学 第 2页 共 4页
第 ΙΙ卷 非选择题
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
x2
13.曲线 f x = 2 - 2lnx在点 1，f 1 处的切线方程为 .
14.已知命题“ x ∈ [1，2]，x20 0-2ax0+1> 0”是真命题，则实数 a的取值范围为 .
15.已知函数 f(x) = 1 22 x +2ax- lnx，若 f(x)
1
在区间 3 ，2
上单调递增，则实数 a的取值范围为____．
16.已知函数 f(x) = lnx，g(x) = 12 x+ 1，若 f(x1) = g(x2)，则 x1-x2的最小值为______．
三、解答题：共 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17题 10分，其余每题 12分。
17.（满分 10分）
已知命题 p：x x- 5 < 0，命题 q： x2-x- 12有意义．
(1)若 p∧ q为真命题，求实数 x的取值范围;
(2)若 p∨ ( q)为假命题，求实数 x的取值范围．
18.（满分 12分）
1
已知函数 f(x) = 3 x
3+ax2+bx在点 -1，f -1 处切线斜率为-4，且 f′ (2) = 5.
(1)求 a和 b；
(2)试确定函数 f(x)的单调区间．
19.（满分 12分）
已知双曲线的焦点为F1(-3，0)，F2(3，0)，且该双曲线过点P(2，-2 6)．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过左焦点F1作斜率为 2 6的弦AB，求AB的长；
(3)求△F2AB的周长．
文科数学 第 3页 共 4页
20.（满分 12分）
直线 y＝ kx- 2交抛物线 y2＝ 2px p> 0 于A，B两点，线段AB中点的横坐标为 2，抛物线的焦点F
到 y轴的距离为 2.
1 求抛物线方程；
2 设抛物线准线与 x轴交于点D，求△ABD的面积.
21.（满分 12分）
已知函数 f x = lnx- ax a∈R .
(1)当 a= 1时，求函数 y= f x 的极值；
(2)若函数 f x 在 1，e2 上有且仅有 2个零点，求 a的取值范围.
22.（满分 12分）
2 y2
已知椭圆E x： 2 + 2 = 1(a> b> 0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆Ea b
过T(2，1)，直线 l：y= x+m与椭圆E交于A、B．
y
T
P
O B x
A
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线TA、TB的斜率分别为 k1，k2，证明：k1+k2= 0；
(3)直线 l 是过点T的椭圆E的切线，且与直线 l交于点P，定义∠PTB为椭圆E的弦切角，∠TAB为弦
TB对应的椭圆周角，探究椭圆E的弦切角∠PTB与弦TB对应的椭圆周角∠TAB的关系，并证明你的
结论．
文科数学 第 4页 共 4页
