广东省佛山市S7高质量发展联盟2022-2023学年高一下学期第一次联考（4月）数学试题（含解析）

佛山市S7高质量发展联盟高一年级第一次联考试卷（4月）
数学科
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前，考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.
第I卷（选择题）
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知，则（ ）
A. B. C. D.
2.若向量，且与共线，则实数的值为（ ）
A.-1 B. C.1 D.2
3.为得到函数的图像，只需将函数的图像（ ）
A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位
4.如图所示，三点在地面同一直线上，，从两点测得点的仰角分别是.则点离地面的高等于（ ）
A. B.
C. D.
5.已知向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
6.已知的三边长为，其外心为，则的值为（ ）
A.-25 B. C.0 D.25
7.若是第二象限的角，则的值为（ ）
A. B.2 C.4 D.-4
8.在中，分别为内角的对边，若，，且，则（ ）
A. B.4 C. D.5
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.在中角所对的边分别为，能确定为锐角的有（ ）
A. B.
C.均为锐角，且 D.
10.已知函数，则以下说法中正确的是（ ）
A.的最小正周期为
B.在上单调递减
C.是的一个对称中心
D.当时，的最大值为
11.如图，在同一平面内，两个斜边相等的直角三角形放置在一起，其中，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.关于函数下列说法正确的有（ ）
A.
B.不等式的解集是
C.若方程有3个实数根，则
D.若存在实数满足，则的最小值为8
II卷（非选择题）
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知为一个单位向量，与的夹角是.若在上的投影向量为，则__________.
14.若，则__________.
15.在中，内角的对边分别为.若的面积为，且，，则外接圆的面积为__________.
16.函数，若对于任意的有恒成立，则实数的最小值是__________.
四 解答题：本题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，角的终边与单位圆交于点.
（1）若点的横坐标为，求的值.
（2）若将绕点逆时针旋转，得到角，若，求的值.
18.（本小题满分12分）
已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式及对称中心坐标；
（2）先将的图象纵坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位，最后将图象向上平移1个单位后得到的图象，求函数在上的单调减区间和最值.
19.已知向量.
（1）若，求实数的值；
（2）当取最小值时，求与的夹角的余弦值.
20.的内角的对边分别为，已知为锐角，.
（1）求；
（2）若，且边上的高为，求的面积.
21.在中，为边的中点，为中线的中点.
（1）求中线的长；
（2）求与的夹角的余弦值.
22.设，函数.
（1）讨论函数的零点个数；
（2）若函数有两个零点，求证：.
佛山市2022-2023学年第二学期S7联考高一期中数学测试卷
答案与解析
第I卷（选择题）
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.答案：B
解析：应用同角关系可求得，再由余弦二倍角公式计算.
因为，所以，
所以，所以.
2.详解：，与共线，，
解得.故选：B.
3.答案：A
4.答案：A
5.详解：由题意可得：，整理得，即
故选：C.
6.设的中点为，则，即；
所以，
同理可得，
所以；故选：A.
7.答案：C
解析：因为，
故.因为是第二象限的角，故，
所以，即为第一象限角或第三象限角，
故，所以.故选C.
8.答案：B
详解：
因为，则，所以，
又因为，即，解得，
又由，根据正弦定理，可得，
由余弦定理，可得
，整理得，即.
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.对于为锐角，故A正确；
对于为钝角，故错误；
对于均为锐角；且，
因为，可得，则为锐角，故正确.
对于，由正弦定理得，，则为锐角，故正确.
故选：
10.答案：ABC
解析：依题意.故的最小正周期为，A选项正确.
由，解得，所以在上单调递减，B选项正确.，所以是的一个对称中心，C选项正确.
由于，所以选项错误.故选：
11.对于，由，所以，A正确；
由，可得，所以，
所以，B不正确；
因为，所以
所以，
所以不正确；
.D正确.故选：AD.
12.答案：ABD
函数，
作出图象如图所示，
，故选项A正确；
当时，若，则，即，
解得或，
当时，若，则，即，解得，
结合的图象可得，不等式的解集是，故选项正确；
由函数可知，与的图象有三个不同的交点时，，故选项错误；
设存在实数满足，
则函数与的图象有三个不同的交点，
其中和关于的对称轴对称，故，
当时，，
故c的取值范围是，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，故选项正确.
故选：.
第II卷（非选择题）
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.答案：4
解析：为一个单位向量，与的夹角是由平面向量数量积定义可得
，根据平面向量投影定义可得.
故答案为：4
14.
15.
由余弦定理得，所以
又，所以有，
即，所以，由正弦定理得，，得
所以外接圆的面积为
16.解析：
，
最小值，则实数的最小值是
四 解答题：本题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.解析：（1）在单位圆上，且点的横坐标为，则，
.
（2）由题知，则则
18.解析：（1）由所给图象知：，
，把点代入得：，
即，又，
；由，
得，
所以的对称中心为.
（2）易知.化简得
，当时，由，得
，所以的单调递减区间是：；
当时，，
当，即时，有最大值最大值为
，当，即时，有最小值，最小值为
19.详解：（1）由已知条件可得，则
，解得
（2）
.
当时，取最小值1.
，则，
因此，.
20.（1）由得，
由余弦定理得，
所以，
由正弦定理得是三角形内角，，
所以，又为锐角，所以.
（2）由（1），
所以，即，
.
21.答案：（1）（2）.
分析：
（1）由于，进而根据向量的模的计算求解即可；
（2）由于，
进而根据向量数量积得，
故.
详解：
解：（1）由已知，，
又，
所以，
所以.
（2）由（1）知，，
所以，从而.
所以.
解法2：（1）以点为原点，为轴，
过点且垂直于的直线为轴建系，
则，
因为为边的中点，所以，
，所以.
（2）因为为中线的中点，由（1）知，
，所以，所以，
所以
22.详解：（1），
令，即，
时，即，
或即时，无解；
即时，仅有一解，
此时仅有一解；
即时，有两解，
各有一解，此时有两个零点；
综上，时，无零点，
时，有一个零点，
时，有两个零点；
（2）有两个零点时，令，则为两解，
则，则，
则，由可得，
则，则，则，
由可得，
则，由在递减，
可得，则