2022—2023 学年度第二学期期中考试
高 二 数 学
本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在
答题卡指定的位置上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑；如
需改动，擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域
内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回。
一、单项选择题: 共 8小题，每小题 5分，共 40 分．在每个小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
f (x x) f (x )
1．若函数 f (x)在 x 处可导，则 lim
0 0 的值
0 x 0 x
A.与 x0 , x都有关 B. 仅与 x0 有关，而与 x 无关
C.仅与 x 有关，而与 x0 无关 D. 与 x0 , x均无关
2．5 件产品中有 3 件次品，从中任取 2 件，可作为随机变量的是
A. 取到产品的件数 B. 取到正品的概率
C. 取到次品的件数 D. 取到次品的概率
3．设离散型随机变量 X 的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
若随机变量 Y=X-2，则 P(Y=2)等于
A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7
4. 设 4 名学生报名参加同一时间安排的 3 项课外活动方案有 a 种，这 4 名学生在运动会
上共同争夺 100 米、跳远、铅球 3 项比赛的冠军的可能结果有 b 种，则 (a,b)为
(34 ,34 ) (43A. B. ,3
4 ) 4 3 C. (3 , 4 ) D. (A34 , A
3
4 )
高二数学试题 第 1 页（共 6 页）
5. 已知函数 f x cos x，则曲线 y f x 在 x 处的切线的倾斜角为
2
3 2
A． B． C． D．
4 4 2 3
6．甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少
一人，则甲、乙在同一组的概率为
1 1 1 1
A． B． C． D．
6 4 3 2
7．某学校有 A，B 两家餐厅，小王同学第 1 天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第 1
天去 A 餐厅，那么第 2 天去 A 餐厅的概率为 0.6；如果第 1 天去 B 餐厅，那么第 2 天
去 A 餐厅的概率为 0.8.则小王同学第 2 天去 A 餐厅用餐的概率为
A．0.5 B．0.6 C．0.8 D．0.7
8．设函数 f x ， g x 在R 上的导函数存在，且 f x g x ，则当 x a,b 时
A． f x g x B． f x g x
C． f x g a g x f a D． f x g b g x f b
二、多项选择题：共 4小题，每小题 5分，共 20 分.在每个小题给出的四个选项中，有多
个项符合题目要求.全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分.
9．现有不同的红球 4 个，黄球 5 个，绿球 6 个，则下列说法正确的是
A．从中任选 1 个球，有 15 种不同的选法
B．若每种颜色选出 1 个球，有 120 种不同的选法
C．若要选出不同颜色的 2 个球，有 31 种不同的选法
D．若要不放回地依次选出 2 个球，有 210 种不同的选法
10．已知随机事件 A, B发生的概率分别为P(A) 0.3,P(B) 0.6，下列说法正确的有
A. 若 A B，则 P(A | B) 0.3 B. 若 P(AB) 0.18 ，则 A，B 相互独立
C. 若 A，B 不相互独立，则 P(B | A) 0.6 D. 若 P(B | A) 0.4 ，则 P（AB）=0.12
高二数学试题 第 2 页（共 6 页）
11. 函数 y f x 的导函数 y f ' x 的图象如图所示，下列命题正确的是
A. 3是函数 y f x 的极值点
B. 1是函数 y f x 的最小值点
C. y f x 在区间 3，1 上单调递增
D. y f x 在 x 0处切线的斜率小于零
12.已知 fn (a,b) ( 3a b)
n(n N ,a,b R) ，则下列结论正确的是
A. 若 f (1,1) a 3b , a ,b Z，则a b 32 n n n n n 5 5
B. f2 (1,1) f2 (1, 1) 是正整数
C. f2n 1(1, 1) 是 f2n 1(1,1) 的小数部分
c2 n 1 n 2D. 设 f ，则n (1, 1) cn 3dn ,cn ,dn Z n ( 1) 2 3dn
三、填空题：共 4小题，每小题 5分，共 20分．
1
13． (x )6 的展开式中 x2 的系数是 **** .
x
14．已知随机变量 X 取可能的值 1，2，3，…， n 是等可能的，且 E(X ) 10 ,则 n
**** .
15．已知某次数学期末试卷中有 8 道 4 选 1 的单选题，某同学能完整做对其中 5 道题，在
剩下的 3 道题中，有 2 道题有思路，还有 1 道完全没有思路，有思路的题做对的概率
3
为 ，没有思路的题只好从 4 个选项中随机选一个答案．该同学从这 8 题中任选 1 题，
4
则他做对的概率为 **** .
f (x) x316. 已知函数 3x ，若过点M (3,t)可作曲线 y f (x)的三条切线，则实数 t 的
取值范围是 **** .
高二数学试题 第 3 页（共 6 页）
四、解答题：共 6小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10 分）
（1）用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
4 2 3 4
（2）设 (1 2023x) a0 a1x a2x a3x a4x （ x R），
求 a0 a1 a2 a3 a4的值.
18．（12 分）
老师要从 10 篇课文中随机抽 3 篇不同的课文让同学背诵，规定至少要背出其中 2 篇
才能及格.某位同学只能背诵其中的 6 篇，求：
（1）抽到他能背诵的课文的数量的分布列;
（2）他能及格的概率.
高二数学试题 第 4 页（共 6 页）
19．（12 分）
已知函数 f (x) (x2 3x 1)ex.
（1）求 f (x) 的单调区间；
（2）求 f (x) 在区间[ 2,0]上的最大值和最小值．
20．（12 分）
蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于游牧生活.其结
构如图所示，上面部分是侧棱长为 3 的正六棱锥，下面部分是高为 1 的正六棱柱，P,Q
分别为正六棱柱上底面与下底面的中心.
（1）若 OP 长为 x，把蒙古包的体积 V 表示为 x 的函数；
（2）求蒙古包体积的最大值.
高二数学试题 第 5 页（共 6 页）
21．（12 分）
甲、乙两名同学与同一台智能机器人进行象棋比赛，记分规则如下：在一轮比赛中，
如果甲赢而乙输，则甲得 1 分；如果甲输而乙赢，则甲得﹣1 分；如果甲和乙同时赢或同
时输，则甲得 0 分.设甲赢机器人的概率为 0.6，乙赢机器人的概率为 0.5.求:
（1）在一轮比赛中，甲的得分 X 的分布列；
（2）在两轮比赛中，甲的得分 Y 的分布列；
（3） Y 的均值和方差.
22．（12 分）
x＋1
已知函数 f(x)＝ x （e 为自然对数的底数）．
e
（1）求 f(x)的最大值；
（2）设 a 为整数．若 xe ≥ln(x＋a)在定义域上恒成立，求 a 的最大值；
3 4 n＋1 e
（3）证明： 2 3 nln2＋(ln ) ＋(ln ) ＋···＋(ln ) ＜ ．
2 3 n e－1
高二数学试题 第 6 页（共 6 页）2022－2023学年度第二学期期中考试
高二数学参考答案及评分说明
一、单项选择题 1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.A 7.D 8.C
二、多项选择题 9. ABD 10. BD 11. AC 12.ACD
三、填空题 13. 15 14.19 15. 16.
四、解答题
17.解：（1）解法1： 由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成:第 1步，确定百位上的数字，可以从1~9这9个数字中取出1个， 有种取法;第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的 9个数字中取出2个，有种取法.根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为
………………………………………………………………5分（无文字表述扣1分）
（建议：列对式子，没有计算对排列数，扣2分，即只写对给2分）
解法2：从0~9这10个数字中选取3 个的排列数为，其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，即所求三位数的个数为
=648. ……………………………………………………………………….5分（无文字表述扣1分）
（建议：列对式子，没有计算对排列数，扣2分，即只写对给2分）
(2)令，……………………………………………………………………………7分
……………………………………………………….10分
（建议：先写对结果（保留指数形式），但又展开计算最终结果16715701418256不对，扣1分）
18. 解：(1)设抽到该同学能背诵的篇数为X，则X的可能取值为0、1、2、3. ………………………1分
…………….9分 （每算对一个概率给2分）
故X分布列如下表：
X 0 1 2 3
P
…………………………………………..10分
(2)该同学能及格表示他能背出2或3篇，故他能及格的概率为
P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3) …………………………………………………………………………..11分
＝＋＝……………………………………………………………………………………12分
19.解：由函数的解析式可得：， ……...…….1分
令，得， ……………………..…….……………………………….2分
与的变化情况如下：
x 2
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
……………………………………………………………5分
所以的单调递增区间为和，……………………………………………………6分
单调递减区间为 ………………………………………………………………..……..7分
由可知在区间上单调递增，在区间上单调递减．
所以在区间上的最大值为，…………………………………………………8分
在区间上的最小值为…………………………………………………9分
因为，且，………………………………………………….………….11分
所以在区间上的最小值为 ……………………………………….…………….12分
20.解：正六边形的边长，…………………………………………………1分
底面积，……………………………………………………2分
于是，
其中…………………………………………………………………5分（不写定义域扣1分）
，
，…………….……8分
当时，单调递增，……………………………………………….……….9分
当时，单调递减，…………………………………………………………10分
所以当时，……………………………………………………………11分
综上所述，当时，蒙古包体积最大，且最大体积为………………………….……….12分
21.解：（1）X的可能取值为-1，0，1. ………………………………………………………………………1分
根据计分规则，得：，
………………………………………………………………...4分
故X分布列如下表：
X -1 0 1
P 0.2 0.5 0.3
……………………………………………………………………………………………..5分
（2）Y的可能取值为-2，-1，0，1，2由于两轮比赛的结果是独立的，…………………………..6分
故
…………………………………………………………………….9分
故Y分布列如下表：
Y -2 -1 0 1 2
P 0.04 0.2 0.37 0.3 0.09
………………………………………………………………………………………………………………10分
(3) ……………………………..11分
（用课本69页的结论计算也可以） ……………………………………………..12分
22.解：（1）函数的定义域为，
求导得：，令，解得………………………………………………………..1 分
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，………………………………………………….2分
所以当时，………………………………………………………………………..3分
（2）由（1）知，，即，当且仅当时等号成立.
因此对，，……………………………………………………………..4分
当时，对，，则有，
于是当时，对，恒成立，…………………………………………………..5分
当时，函数的定义域为，，必有，解得，……………………….…………….6分 而为整数，则最大值不大于2，
因为对，恒成立，则对，有恒成立，当且仅当时取等号，又，恒成立，当且仅当时取等号，
于是对，，………………………………………………..……………………….7分
综上得当时，对，恒成立，即整数，
所以整数a的最大值为2. …………………………………………………………..……………..………...8分
（3）由（2）知，，，
令，有，….…………………………………………………9分
因此，………………………………………………………………………………….10分
从而，……………………………11分
所以原不等式成立…………………………………………………………………………………………….12分
