2021级高二下学期期中校际联合考试答案 2023.4
一、单项选择题：1-8 ACBA CDDA
二、多项选择题：9. AB 10.BD 11. BCD 12.AC
3
三、填空题：13 3 ; 14 1 ; 15 4 ; 16 .
2
四、解答题：
17.解：（1）设等差数列{an}的公差为 d ， 因为 a6 a2 4d ，
所以10 22 4d ，所以 d 3， a1 a2 d 25，所以 an 28 3n .………5 分
（2）因为 an 是等差数列，所以 a2 ,a4 ,a6 , ,a20 是首项为 a2 22，公差为 6的等差数列，共有10项，
a a a a 10 22+ 9 102 4 6 20 ( 6) 50 . …………………10 分2
18. 解：（1） f x 3ax2 2bx 2， ……………1 分
由题意可知： f 1 0, f 2 0;
3a 2b 2 0,12a 4b 2 0 a 1 ,b 1， 解得 . ……5分
3 2
经检验符合题意. ……6 分
（2）因为 g(x) f (x) x 2 x 2 , 所以 g (x) 2x 1，
又因为 g (1) 3， g (1) 0，所以切线方程是 y 0 3(x 1)， ………8分
因为切线在 x轴上的截距是1， y 轴上的截距是 3；
1 3
所以三角形面积是： 1 3 . …………12 分
2 2
19.解：（1）由题意知， a2 a1 4， a3 a2 6， an an 1 2（n n 2） ………2分
(a2 a1) (a3 a2 ) (an an 1) 4 6 8 2n 2(2 3 4 n)
2(2 n)(n 1)
n2 n 2， 所以 an n2 n 1， ……………………5分2
当n 1时a1 1满足上式. a n
2
n n 1，n N
* ……………………6分
2n (1 n) 2n 2n 1（2）由题意得，b ， …………………………………………9分n an 1 n n 1
21 22 22 23 2n 2n 1 n 1
所以 Tn ( ) ( ) ( ) 2
2
……………………12 分
1 2 2 3 n n 1 n 1
20.解：（1）在图甲中，连接MO交 EF 于点T．设OE OF OM R，
1 R
在 Rt OET中，因为 EOT EOF
R
60 ，所以OT ，则MT OM OT ．
2 2 2
BE MT R ,R 2BE 2. ………2分 NC 弧E MF的长度， NC
2 4
R ,………3分
2 3 3
EF 3R 2 3. ………4分
高二数学试题 第 1 页 共 3页
BC EF NC 4 2 3
3
BC 4 2 3分米 …………5分
3
（2）设 BE x，则 R 2x，则所得柱体的底面积
S S S 1 R2 1 R2sin120 4 3 x2扇形OEF OEF . ………6分3 2 3
又所得柱体的高 EG 6 2x， ………7分
8 V 所以 S EG 2 3 x3 3x2 ，其中0 x 3 . ………8分
3
令 f x x3 3x2 , x 0,3 ，则由 f x 3x2 6x 3x x 2 0，解得 x 2 .
列表如下：
x 0,2 2 2,3
f x ＋ 0 －
f x 增 极大值 减
所以当 x 2时， f x 取得最大值， ………10分
并且V 8 max 2 3
8 12
32
8 3.
3 3
所以当 BE =2分米时，折卷成的包装盒容积最大，
32
最大值为 8 3 立方分米 . ………12分
3
21.(1)因为
n 2时， an 2a
n
n -1 2 2， an 2 2（a
n
n -1 2）+2 ， ………2分
a
n
2 a
n 1
2
n n 1 =1. ………4分2 2
an 2 a 2
所以数列 是公差为 1，首项为 1 1的等差数列，
2n
2
an 2所以 n．所以数列 an 的通项公式为 an n 2n 2n . ……6分2
（2）由题意知：b nn an+2 n 2 ， ……7分
令 Sn 1 2
1 2 22 n 1 2n 1 n 2n ①
则 2S 2 n-1n 1 2 n 2 2 n 1 2n+n 2n 1 ②
① ②得 S 21n 2
2 23 2n n 2n 1 ，所以 Sn (n 1) 2
n 1 2
∴ 1 n S 2n 2 (n 1) 2n 1n 2恒成立，
高二数学试题 第 2 页 共 3页
若 n为偶数，则 (n 1) 2n 1 2恒成立，∴ 26； ………10分
若 n为奇数，则 (n 1) 2n 1 2恒成立，∴ 10，∴ 10 . ………11分
综上， （ 10，26）. ………12分
22 1 f (x) 2e2 x a．解：（ ） (x 1)
x 1
①a 0时， f (x) 0，此时 f (x)没有零点. ………………..2分
②a 0时，由于 y 2e2 x单调递增， y a (x 1)单调递增，
x 1
f (x)在 ( 1，+ )单调递增；
由于 f (a) 2e2a a 2e2a 1 0， ……………………..3分
a 1
a a a a
f (a e a 1) 2eae 2 a 2eae 2 2ea 2(eae 2 ea a ) 2(e
ae ea ) .
2 a2 e
因为 a 0 a，所以ae a f (a e a，所以 1) 0，
2
从而 f (x)只有一个零点. ……….5分
综上：a 0时，没有零点；a 0时，一个零点. ……….6分
（2）证明：由（1）知，导函数 f (x)在 ( 1，+ )上存在唯一的零点 x0
当 x ( 1, x0)时， f '(x) 0；当 x (x0 , )时， f '(x) 0；
故在 x x0时， f (x)取得最小值 f (x0 ) .
令 f (x0 )
a a
2e2 x0 0 2 x，即 e 0 ， ……….7分
x0 1 2(x0 1)
ln(x 1) ln a从而有 0 2x ………..9分2 0
f (x) f (x ) e 2 x a a00 a ln(x0 1) a(ln 2x2(x 1) 2 0
)
0
a 2ax a ln a a 2a(x 1) 2a a ln a
2(x 1) 00 2 2(x0 1)
0 2
2 a 2a(x 1) 2a a ln a
2(x0 1)
0 2
………11分
2a 2a a ln a a ln 2
2 a
a 1
当且仅当 2a(x 1)时，即 x 时等号取得。 ……..12分
2(x0 1)
0 0 2
高二数学试题 第 3 页 共 3页
