四川省成都市名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学（理）试题（Word版含答案）

成都市名校2022～2023学年度下期高2024届半期考试
数学试卷（理科）
考试时长：120分钟 满分：150分
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知复数，为纯虚数，则实数m的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．1或
2．在极坐标系中，过点且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（ ）
A． B． C． D．
3．利用分析法证明不等式成立，只需证明成立即可，则“成立”是“成立”的（ ）
A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
4．已知是圆上一点，则直线与圆相切，且为切点，类似的，点是椭圆上一点，则以为切点，与椭圆相切的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
5．已知复数，（x，）对应的点在第一象限，z的实部和虚部分别是双曲线C的实轴长和虚轴长，若，则双曲线C的焦距为（ ）
A．8 B．4 C． D．2
6．函数的大致图像为（ ）
A． B． C． D．
7．将圆经过伸缩变换后得到的曲线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数区间上单调递增，则实数a的范围是（ ）
A． B． C． D．
9．已知，，，则下列不等关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆的左右焦点分别为，，抛物线与椭圆C有相同的焦点，点P为抛物线E与椭圆C在第一象限内的交点，直线与抛物线E相切，则椭圆C的长轴长为（ ）
A． B． C．4 D．
11．关于函数的零点，下列说法正确的是（ ）
A．函数有两个零点，，且
B．函数有两个零点，，且
C．函数有三个零点，，，且
D．函数有三个零点，，，且
12．已知实数a，b满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．复数的共轭复数为，则______．
14．在极坐标系中，点，，则线段AB的长为______．
15．已知定义在R上的函数的导函数为，，且，则不等式的解集为______．
16．已知函数，，有以下四个命题：
①对，不等式恒成立；
②是函数的极值点；
③函数的图像与x轴及围成的区域面积为；
④．
其中正确的命题有______．（将正确的序号都写上，多写漏写均不得分）
三、解答题（共70分）
17．（本小题10分）已知曲线C的极坐标方程为，A，B是曲线C上不同的两点，且，其中O为极点．
（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）求点B的极径．
18．（本小题12分）某企业生产的某种乳制品的蛋白质含量x（%）与生产成本y（元）之间的数据如下表：
x 0 0.69 1.39 1.79 2.40 2.56 2.94
y 19 32 40 44 52 53 54
已知生产成本y与产品蛋白质含量x之间具有线性相关关系．
（Ⅰ）求生产成本y关于蛋白质含量x的回归方程；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结果，若公司准备将生产成本提高到60至70元，则判断生产的乳制品蛋白质含量的取值范围．（精确到小数点后两位）
参考公式：．
参考数据：，，．
19．（本小题12分）函数．
（Ⅰ）若是函数的极值点，求a的值，并判断是极大值点还是极小值点；
（Ⅱ）求函数的单调区间．
20．（本小题12分）在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为边长为2的正三角形，且平面平面ABCD，E为线段AD的中点，PE与平面ABCD所成角为45°．
（Ⅰ）求证：平面平面PBC；
（Ⅱ）求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．
21．（本小题12分）已知过点的直线与抛物线相交于A，B两点，M为线段AB的中点，过M作x轴的垂线与抛物线交于点N．
（1）若抛物线在N点处的切线的斜率等于2，求直线AB的方程；
（2）设，求与面积之差的最大值．
22．（本题12分）已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小值；
（Ⅱ）证明不等式．
2022~2023学年度下期高2024届半期考试
数学试卷（理科）（参考答案）
一、选择题（每小题5分，共60分）
BCADB ACDBB CA
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．i 14． 15． 16．①③④
三、解答题（共70分）
17．解：（Ⅰ）由，，
得：，
所以曲线C的直角坐标方程为，
（Ⅱ）设，则由题意可知，
将A，B坐标代入方程得：，
∴，得，
∴B的极径为，
18．解：（Ⅰ）由题中数据可得，
设生产成本y关于蛋白质含量x的回归方程为，
∵，
∴，
所以回归方程为，
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）得．
解得，
当时，由（Ⅰ）得．
解得，
所以生产的乳制品蛋白质含量的取值范围为．
19．解：（Ⅰ），
∵是函数的极值点，
∴，
解得，
当时，，∴在上递减，
当时，，∴在上递增，
∴是函数的极小值点；
（Ⅱ）∵，
①当时，在R上恒成立，
所以函数在R上单调递增，
②当时，令，解得或，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
③当时，令，解得或，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
综上，当时，函数在R上单调递增，
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减，
当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；
20．解（Ⅰ）取AB中点O，连接PO、OE，
由题知平面ABCD
∴，∴
又，∴，，
如图建立空间坐标系，
，，，
设平面PCE法向量为
则，令，，
所以
同理设平面PBC的法向量为，得，
又
所以平面平面PBC，
（Ⅱ）
，
所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为．
21．解：（1）设直线AB方程为，，，
联立，∴，，
∴，
函数的导函数为，
所以抛物线在N点处的切线的斜率为，
∴，即
∴；
（2）由（1）问可得，
点到直线AB的距离为，
点到直线AB的距离为，
∴，
令，
∴，令函数，
，
所以函数在区间上递增，在上递减，
∴，即时，与面积之差取得最大值．
22．解：（Ⅰ），
令函数，则，
所以函数在区间上单调递增，
又∵，
当时，，即，
当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
∴，
（Ⅱ）由（Ⅰ）问知，即，
所以当时，成立，
现用数学归纳法证明：
当时，成立，
假设当时，不等式成立，
则当时，，
要证明，
，
，
，令，则
，∵
，，，
∵，∴，成立，
∴成立，
综上，对，均有不等式成立．