第四章 2.4积化和差与和差化积公式
（原卷版）
A 基础练习
一、选择题
1．计算sin 105°cos 75°的值是( )
A． B．
C．－ D．－
2．已知sin(α＋β)sin(β－α)＝m，则cos2α－cos2β等于(提示：sin 2α＝2sin αcos α)( )
A．－m B．m
C．－4m D．4m
3．函数y＝sincos x的最大值为( )
A． B．
C．1 D．
4．sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为( )
A．0 B．
C． D．1
5．函数f(x)＝2sinsin的最大值等于( )
A．1－cos α B．1－sin α
C．1＋cos α D．1＋sin α
6．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β的值为( )
A．－ B．－
C． D．
二、填空题
7．sin 105°＋sin 15°＝ .
8．cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝ .
9．sin·cos化为和差的结果是
.
三、解答题
10．在△ABC中，若B＝30°，求cos Asin C的取值范围．
B 达标练习
一、选择题
1．函数f(x)＝2sinsin的最大值是( )
A． B．
C．－ D．－
2．(多选)下列四个关系式中，不正确的是( )
A．sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ
B．cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ
C．sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ
D．sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ
3．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )
A．－ B．－
C． D．
4．已知△ABC是锐角三角形，P＝sin A＋sin B，Q＝cos A＋cos B，则( )
A．P
Q
C．P＝Q D．P与Q的大小不能确定
二、填空题
5．函数y＝coscos的最大值是 .
6.＋＝ .
三、解答题
7．已知f(x)＝－＋，x∈(0，π)．
(1)将f(x)表示成cos x的多项式；
(2)求f(x)的最小值．
8．求下列各式的值：
(1)cos＋cos－2sincos；
(2)sin 138°－cos 12°＋sin 54°.第四章 2.4积化和差与和差化积公式
（解析版）
A 基础练习
一、选择题
1．计算sin 105°cos 75°的值是( B )
A． B．
C．－ D．－
[解析] sin 105°cos 75°＝(sin 180°＋sin 30°)＝.
2．已知sin(α＋β)sin(β－α)＝m，则cos2α－cos2β等于(提示：sin 2α＝2sin αcos α)( B )
A．－m B．m
C．－4m D．4m
[解析] cos2α－cos2β＝(cos α＋cos β)(cos α－cos β)
＝－2sinsin·2cos·cos
＝－sin(α＋β)sin(α－β)
＝m.
故选B．
3．函数y＝sincos x的最大值为( B )
A． B．
C．1 D．
[解析] ∵y＝sincos x
＝
＝
＝sin－.
∴函数y取最大值为.
4．sin 20°＋sin 40°－sin 80°的值为( A )
A．0 B．
C． D．1
[解析] 原式＝2sin 30°cos 10°－sin 80°＝cos 10°－sin 80°＝sin 80°－sin 80°＝0.
5．函数f(x)＝2sinsin的最大值等于( A )
A．1－cos α B．1－sin α
C．1＋cos α D．1＋sin α
[解析] f(x)＝2sinsin＝－[cos α－
cos(x－α)]＝cos(x－α)－cos α.
当cos(x－α)＝1时，f(x)取得最大值1－cos α.
6．已知cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β的值为( C )
A．－ B．－
C． D．
[解析] 由已知得cos2αcos2β－sin2αsin2β＝，
∴cos2α(1－sin2β)－sin2αsin2β＝，
即cos2α－sin2β＝.
二、填空题
7．sin 105°＋sin 15°＝ .
[解析] sin 105°＋sin 15°
＝2sincos＝2sin 60°cos 45°
＝2××＝.
8．cos 40°＋cos 60°＋cos 80°＋cos 160°＝ .
[解析] 原式＝cos 40°＋cos 80°＋cos 60°－cos 20°
＝2cos 60°·cos(－20°)＋cos 60°－cos 20°
＝cos 60°＝.
9．sin·cos化为和差的结果是
cos(α＋β)＋ sin(α－β) .
[解析] 原式＝＝ cos(α＋β)＋ sin(α－β)．
三、解答题
10．在△ABC中，若B＝30°，求cos Asin C的取值范围．
[解析] 由题意，得cos Asin C＝[sin(A＋C)－
sin(A－C)]＝[sin(π－B)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)．
∵B＝30°，∴－150°＜A－C＜150°，
∴－1≤sin(A－C)≤1，
∴－≤－sin(A－C)≤.
∴cos Asin C的取值范围是.
B 达标练习
一、选择题
1．函数f(x)＝2sinsin的最大值是( A )
A． B．
C．－ D．－
[解析] f(x)＝2sinsin
＝－
＝－cos＋cos
＝cos－.
f(x)max＝1－＝.
2．(多选)下列四个关系式中，不正确的是( ABCD )
A．sin 5θ＋sin 3θ＝2sin 8θcos 2θ
B．cos 3θ－cos 5θ＝－2sin 4θsin θ
C．sin 3θ－sin 5θ＝－cos 4θcos θ
D．sin 5θ＋cos 3θ＝2sin 4θcos θ
[解析] A错误，右边应是2sin 4θcos θ.B错误，右边应是2sin 4θsin θ.C错误，右边应是－2cos 4θsin θ.D错误，左边为异名三角函数，应先用诱导公式化为同名三角函数后再化积，即sin 5θ＋cos 3θ＝sin 5θ＋sin＝2sincos.
3．若sin α＋sin β＝(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( D )
A．－ B．－
C． D．
[解析] ∵α、β∈(0，π)，∴sin α＋sin β>0.
∴cos β－cos α>0，
∴cos β>cos α，又在(0，π)上，y＝cos x是减函数．
∴β<α，∴0<α－β<π，由原式可知：
2sincos＝，
∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.
4．已知△ABC是锐角三角形，P＝sin A＋sin B，Q＝cos A＋cos B，则( B )
A．PQ
C．P＝Q D．P与Q的大小不能确定
[解析] P－Q＝(sin A＋sin B)－(cos A＋cos B)＝2sin·cos－2cos·cos＝2cos，由于△ABC是锐角三角形，所以A＋B＝180°－C>90°，所以>45°，
sin>cos，00，综上，P－Q>0，即P>Q，故选B．
二、填空题
5．函数y＝coscos的最大值是 .
[解析] 由题意知，y＝
＝＝－cos 2x，
因为－1≤cos 2x≤1，所以ymax＝.
6.＋＝ .
[解析] ＋＝＋
＝
＝
＝
＝＝2cos 30°＝.
三、解答题
7．已知f(x)＝－＋，x∈(0，π)．
(1)将f(x)表示成cos x的多项式；
(2)求f(x)的最小值．
[解析] (1)f(x)＝＝
＝2coscos＝cos 2x＋cos x＝2cos2x＋cos x－1．
(2)∵f(x)＝22－且－1∴当cos x＝－时，f(x)取最小值－.
8．求下列各式的值：
(1)cos＋cos－2sincos；
(2)sin 138°－cos 12°＋sin 54°.
[解析] (1)cos＋cos－2sincos
＝2cos·cos－cos
＝2coscos－cos
＝cos－cos＝0.
(2)sin 138°－cos12°＋sin 54°
＝sin 42°－cos 12°＋sin 54°
＝sin 42°－sin 78°＋sin 54°
＝－2cos 60°sin 18°＋sin 54°
＝sin 54°－sin 18°＝2cos 36°sin 18°
＝
＝
＝
＝＝.
