第四章 2.3三角函数的叠加及其应用
（原卷版）
A 基础练习
一、选择题
1．sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝( )
A．－ B．
C．－ D．
2．计算：cos＋sin＝( )
A． B．2
C．2 D．
3．函数f(x)＝sin x－cos的值域为( )
A．[－2,2] B．[－，]
C．[－1,1] D．
4．若函数f(x)＝5cos x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cos θ 等于( )
A． B．－
C． D．－
5．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x在区间上的零点之和是( )
A．－ B．－
C． D．
6．函数f(x)＝cos x＋cos的一个单调递增区间为( )
A． B．
C． D．
二、填空题
7．函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为 .
8．化简：＝ .
9．已知cos＋sin α＝，则cos的值是 .
三、解答题
10．已知函数f(x)＝1－cos－cos 2x，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值与最小值．
B 达标练习
一、选择题
1．已知向量＝(2,2)，＝(cos α，sin α)，则的模的取值范围是( )
A．[1,3] B．[1,3]
C．[，3] D．[，3]
2．函数y＝cos x－sin x具有性质( )
A．最大值为，图象关于直线x＝对称
B．最大值为1，图象关于直线x＝对称
C．最大值为，图象关于对称
D．最大值为1，图象关于对称
3．若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是( )
A．3≤m≤5 B．－5≤m≤5
C．3
4．(多选)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的可能值为( )
A． B．
C． D．π
二、填空题
5．已知△ABC中，∠A＝120°，则sin B＋sin C的最大值为 .
6．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为 .
三、解答题
7．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π.
(1)求f的值；
(2)若α，β∈，f＝，f＝－，求cos(α＋β)的值．
8．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．第四章 2.3三角函数的叠加及其应用
（解析版）
A 基础练习
一、选择题
1．sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝( D )
A．－ B．
C．－ D．
[解析] sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
2．计算：cos＋sin＝( B )
A． B．2
C．2 D．
[解析] cos＋sin＝2
＝2sin＝2sin＝2.
3．函数f(x)＝sin x－cos的值域为( B )
A．[－2,2] B．[－，]
C．[－1,1] D．
[解析] f(x)＝sin x－cos
＝sin x－cos x＋sin x
＝sin x－cos x
＝
＝sin∈[－，]．
4．若函数f(x)＝5cos x＋12sin x在x＝θ时取得最小值，则cos θ 等于( B )
A． B．－
C． D．－
[解析] f(x)＝5cos x＋12sin x＝
13
＝13sin(x＋α)，其中sin α＝，cos α＝.
由题意知θ＋α＝2kπ－，(k∈Z)，得
θ＝2kπ－－α，(k∈Z)，所以
cos θ＝cos
＝cos＝－sin α＝－.
5．函数f(x)＝sin 2x－cos 2x在区间上的零点之和是( B )
A．－ B．－
C． D．
[解析] 由题意得f(x)＝2sin，令f(x)＝0，解得2x－＝kπ(k∈Z)，即x＝＋(k∈Z)，所以f(x)的零点为x＝＋(k∈Z)．又x∈，令k＝－1，则x＝－，令k＝0，则x＝，所以f(x)在区间上的零点之和为－＋＝－.故选B．
6．函数f(x)＝cos x＋cos的一个单调递增区间为( A )
A． B．
C． D．
[解析] 由题可知f(x)＝cos x＋cos＝sin x＋cos x＝sin.由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，可得－≤x≤，即函数的一个单调递增区间为，故选A．
二、填空题
7．函数f(x)＝2cos x＋sin x的最大值为 .
[解析] f(x)＝sin(x＋φ)
＝sin(x＋φ)≤.
8．化简：＝ 1 .
[解析] 原式＝
＝
＝
＝1．
9．已知cos＋sin α＝，则cos的值是 .
[解析] cos＋sin α＝cos α＋sin α＝，
cos α＋sin α＝，∴cos＝cos α＋sin α＝.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝1－cos－cos 2x，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值与最小值．
[解析] (1)f(x)＝1－cos－cos 2x＝
sin 2x－cos 2x＋1＝2sin＋1，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)∵x∈，
∴2x－∈，
∴sin∈，
∴f(x)max＝3，f(x)min＝1－.
B 达标练习
一、选择题
1．已知向量＝(2,2)，＝(cos α，sin α)，则的模的取值范围是( D )
A．[1,3] B．[1,3]
C．[，3] D．[，3]
[解析] ＝＋＝(2＋cos α，2＋sin α)，
所以||＝
＝，
所以≤||≤3，所以||∈[，3]．故选D．
2．函数y＝cos x－sin x具有性质( C )
A．最大值为，图象关于直线x＝对称
B．最大值为1，图象关于直线x＝对称
C．最大值为，图象关于对称
D．最大值为1，图象关于对称
[解析] y＝＝－＝cos，其最大值为，排除B，D；由x＋＝kπ(k∈Z)得x＝kπ－(k∈Z)为此函数的对称轴方程，不包含直线x＝，排除A．故选C．
3．若sin x＋cos x＝4－m，则实数m的取值范围是( A )
A．3≤m≤5 B．－5≤m≤5
C．3[解析] ∵sin x＋cos x
＝cos xcos＋sin xsin＝cos(x－)＝4－m，
∴cos(x－)＝4－m，
∴|4－m|≤1，解得3≤m≤5.
4．(多选)若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的可能值为( AB )
A． B．
C． D．π
[解析] f(x)＝cos x－sin x
＝－
＝－sin，
当x∈，
即x－∈时，
y＝sin单调递增，
y＝－sin单调递减．
∵函数f(x)在[－a，a]是减函数，
∴[－a，a] ，
∴0二、填空题
5．已知△ABC中，∠A＝120°，则sin B＋sin C的最大值为 1 .
[解析] 由∠A＝120°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，
得sin B＋sin C＝sin B＋sin(60°－B)
＝cos B＋sin B＝sin(60°＋B)．
显然当∠B＝30°时，sin B＋sin C取得最大值1．
6．若函数f(x)＝(1＋tan x)cos x,0≤x<，则f(x)的最大值为 2 .
[解析] f(x)＝cos x＋sin x＝2sin，
∵0≤x<，∴≤x＋<，
∴当x＋＝时，f(x)取最大值为2.
三、解答题
7．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π.
(1)求f的值；
(2)若α，β∈，f＝，f＝－，求cos(α＋β)的值．
[解析] (1)因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx，
所以f(x)＝sin.
因为函数f(x)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为π，所以T＝2π，ω＝＝1，
所以f(x)＝sin.
所以f＝sin
＝sincos－cossin＝.
(2)由(1)得f＝sin α＝，
f＝sin(β＋π)＝－sin β＝－，
所以sin β＝.
因为α，β∈，
所以cos α＝＝，cos β＝＝，
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝－.
8．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
[解析] (1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx
＝
＝sin.
又f＝0，所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z，又0<ω<3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin
＝sin.
因为x∈，所以x－∈，
当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.