第四章 2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用
（原卷版）
A 基础练习
一、选择题
1．cos－sin的值是( )
A．0 B．
C．－ D．2
2．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
3.cos α－sin α可化为( )
A．sin B．sin
C．sin D．sin
4．若tan(α－β)＝，tan β＝，则tan α＝( )
A．1 B．
C． D．
5．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为( )
A． B．－
C．7 D．
6．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为( )
A． B．－
C．或－ D．－或
二、填空题
7．设α∈，β∈，cos α＝，且tan α＝，则sin(α－β)＝ .
8.＝ .
9．设tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则tan(α＋β)的值为 .
三、解答题
10．已知cos αcos β＋sin αsin β＝，－<β<0<α<.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)若sin β＝－，求sin α的值．
B达标练习
一、选择题
1．(多选)下列对等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β的描述正确的是( )
A．对任意的角α，β都成立
B．α＝β＝0时成立
C．只对有限个α，β的值成立
D．有无限个α，β的值使等式成立
2．(多选)下列式子结果为的是( )
①tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；
③；④.
A．① B．②
C．③ D．④
3．已知α＋β＝，且α、β满足(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α等于( )
A．－ B．
C．－ D．3
4．已知tan＝，tan ＝，那么tan 等于( )
A． B．
C． D．
二、填空题
5．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为 ，最小值为 .
6．(2022·江苏南通高三期末改编)在△ABC中，若sin Acos B＝3sin Bcos A，B＝A－，则B＝ .
三、解答题
7．设cos α＝－，tan β＝，π<α<，0<β<，求α－β的值．
8．是否存在锐角α和β，使得下列两式
①α＋2β＝π ②tantan β＝2－同时成立？第四章 2.2两角和与差的正弦、正切公式及其应用
（解析版）
A 基础练习
一、选择题
1．cos－sin的值是( B )
A．0 B．
C．－ D．2
[解析] cos－sin＝2＝
2＝2sin＝2sin＝.
2．在△ABC中，已知sin(A－B)cos B＋cos(A－B)sin B≥1，则△ABC是( C )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰非直角三角形
[解析] 由题设知sin [(A－B)＋B]≥1，
∴sin A≥1而sin A≤1，∴sin A＝1，A＝，
∴△ABC是直角三角形．
3.cos α－sin α可化为( A )
A．sin B．sin
C．sin D．sin
[解析] 原式＝sincos α－cossin α
＝sin.
4．若tan(α－β)＝，tan β＝，则tan α＝( A )
A．1 B．
C． D．
[解析] tan α＝tan [(α－β)＋β]
＝
＝＝1．
5．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值为( C )
A． B．－
C．7 D．
[解析] 易知tan α＝－.
tan β＝tan [(α＋β)－α]＝＝＝＝7.
6．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值为( B )
A． B．－
C．或－ D．－或
[解析] 由韦达定理得
tan α＋tan β＝－3，tan α·tan β＝4，
∴tan α<0，tan β<0，
∴tan(α＋β)＝＝＝，
又－<α<，－<β<，且tan α<0，tan β<0，
∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.
二、填空题
7．设α∈，β∈，cos α＝，且tan α＝，则sin(α－β)＝ .
[解析] 由已知得tan α＝＝，
即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，
所以sin αcos β－cos αsin β＝cos α，
即sin(α－β)＝cos α＝.
8.＝ .
[解析]
＝
＝
＝＝sin 30°＝.
9．设tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，则tan(α＋β)的值为 －2 .
[解析] 因为tan α，tan β是函数f(x)＝x2－4x＋3的两个零点，所以tan α＋tan β＝4，tan α·tan β＝3，
tan(α＋β)＝＝＝－2.
三、解答题
10．已知cos αcos β＋sin αsin β＝，－<β<0<α<.
(1)求sin(α－β)的值；
(2)若sin β＝－，求sin α的值．
[解析] (1)∵cos αcos β＋sin αsin β＝，
∴cos(α－β)＝，
∵－<β<0<α<，∴0<α－β<π，
∴sin(α－β)＝.
(2)又sin β＝－，∴cos β＝，
由(1)得cos(α－β)＝，sin(α－β)＝，
∴sin α＝sin [(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝.
B达标练习
一、选择题
1．(多选)下列对等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β的描述正确的是( BD )
A．对任意的角α，β都成立
B．α＝β＝0时成立
C．只对有限个α，β的值成立
D．有无限个α，β的值使等式成立
[解析] 因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝sin α＋sin β，所以cos β＝1且cos α＝1可使等式成立，所以α＝β＝2kπ(k∈Z)，因为k∈Z，所以α，β有无限多个，包含α＝β＝0，故B，D成立．
2．(多选)下列式子结果为的是( ABC )
①tan 25°＋tan 35°＋tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；③；④.
A．① B．②
C．③ D．④
[解析] 对于①，利用正切的变形公式可得原式＝；对于②，原式可化为2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝.
对于③，原式＝＝tan 60°＝.
对于④，原式＝，故选A，B，C．
3．已知α＋β＝，且α、β满足(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，则tan α等于( D )
A．－ B．
C．－ D．3
[解析] ∵(tan αtan β＋2)＋2tan α＋3tan β＝0，
∴tan αtan β＋3(tan α＋tan β)＝tan α－2①
∵tan(α＋β)＝＝，
∴3(tan α＋tan β)＝(1－tan αtan β)，②
将②代入①得＝tan α－2，
∴tan α＝＋2＝3.
4．已知tan＝，tan ＝，那么tan 等于( B )
A． B．
C． D．
[解析] tan ＝
tan
＝
＝＝，故选B．
二、填空题
5．函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为 1 ，最小值为 －1 .
[解析] 因为f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)＝sin [(x＋φ)＋φ]－2sin φcos(x＋φ)＝sin(x＋φ)cos φ－sin φ·cos(x＋φ)＝sin x，所以函数f(x)的最大值为1，最值小值为－1．
6．(2022·江苏南通高三期末改编)在△ABC中，若sin Acos B＝3sin Bcos A，B＝A－，则B＝ .
[解析] ∵sin Acos B＝3sin Bcos A，∴tan A＝3tan B，
又B＝A－，
∴tan B＝tan＝，
即tan B＝，
∴3tan2B－2tan B＋1＝0，∴tan B＝，
又B为三角形的内角，∴B＝.
三、解答题
7．设cos α＝－，tan β＝，π<α<，0<β<，求α－β的值．
[解析] ∵π<α<，0<β<，∴<α－β<.
∵cos α＝－，π<α<，∴sin α＝－.
∵tan β＝，0<β<，
∴cos2β＝＝＝＝＝，
即cos β＝，sin β＝.
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝－×－×＝－.
∵<α－β<，∴α－β＝.
8．是否存在锐角α和β，使得下列两式
①α＋2β＝π ②tantan β＝2－同时成立？
[解析] 存在α＝，β＝，使①②同时成立．
假设存在符合题意的锐角α和β，
由①知：＋β＝，
∴tan＝＝，
由②知tantan β＝2－，∴tan＋tan β＝3－，
∴tan，tan β是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，
得x1＝1，x2＝2－.
∵0<α<，则0∴tan≠1，即tan＝2－，tan β＝1．
又∵0<β<，则β＝，代入①，得α＝，
∴存在锐角α＝，β＝，使①②同时成立．
