长春博硕学校 2022—2023学年度下学期
高一年级阶段性验收考试 数学学科试卷
考试时间： 90分钟 满分： 120 分
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求）
1. 已知向量 a ( 1,2) ，b (1,0) 则3a b （ ）
A． ( 2,6) B． ( 2, 6) C． (2,6) D． (2, 6)
2. 设平面向量 a (1, 2),b ( 2, y) ,若 ∥ ，则| |等于 （ ）
A． 5 B．2 5 C．20 D．3 2
3．已知点 D是 ABC所在平面上一点，且满足 BD 1 BC，则
2 AD （ ）
1 1 1 1 3 1
A． AB AC B． AB AC 1C． AB 3 AC D． AB AC
2 2 2 2 2 2 2 2
4. 下列函数中，最小正周期为 且图象关于原点对称的函数是（ ）
A. y sin 2x B. y cos 2x
C. y tan 2x D. y sin 2x cos2x
5. 已知向量 = 2, 3 , = ( 1, 3)，则 在 上的投影向量为 （ ）
A 1 3 1 3 1 3 1 3． , B． , C． , D． 4 4 4 4 2 2
,
2 2
6. 如图，某港口一天中 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y 3sin x k ，据
6
此可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）
A．5 B．6
C．8 D．10
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7. 为了得到函数 y sin 3x cos 3x的图象，可以将函数 y = 2 sin 3 的图象（ ）
A.向右平移 个单位长度 B.向右平移 个单位长度
12 4
C.向左平移 个单位长度 D.向左平移 个单位长度
12 4
8. x 1 1已知函数 f (x) sin 2 sin x ( 0) ， x R .若 f ( x ) 在区间 ( ,2 ) 内没有零点，
2 2 2
则ω的取值范围是（ ）
A. (0, 1] B. (0, 1 ] [5 ,1) C. (0, 5] D. (0, 1 ] [ 1 , 5 ]
8 4 8 8 8 4 8
二、多选题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对得 5分，部分选对得 2分，有选错得 0分）
9. 在 ABC中，下列命题正确的是（ ）
A. AB AC BC；
B. AB BC CA 0；
C. 若 (AB AC) (AB AC) 0，则 ABC为等腰三角形；
D. AC AB 0，则 ABC为锐角三角形．
10. 3若 sin ， 0, ，则（ ）
2 3
cos 1A． B． sin
2
3 3
C sin 6 2 3 D sin 2 3 6． ．2 4 6
2 4 6
11. 下列命题中，正确的是( )
A 1．设 1 , 2 是两个不共线的向量，则向量 = 2 1 2 与向量 = 1 2 共线；2
B．若平面向量 = 0，则 ；
C．非零向量 ， 满足| | = | | = | |，则 与 + 的夹角是 30°；
D．若两点 A(4,1)，B(7，－3)，则与向量 3同向的单位向量是 ,
4
5 5 .
12. 将函数 f (x) 3sin 4x 6 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，再向右平移 6 个单位
长度，得到函数 y g(x) 的图象，则下列说法正确的是（ ）
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A ． g(x) 3sin 8x
B．函数 y g(x)
的图象关于点 , 0
对称
6 12
x C y g(x) D y g(x) ． 是函数 的一条对称轴 ．函数 在 0, 上单调递增3 3
三、填空题（本大题共 4小题，每题 5分，共 20分）
3
13. 已知向量 a与b的夹角 ，且 a 3， b 2 2 ,则 a b =_________．4
14. 若向量 = 1， 3 ， = , = 0,则| |=_________．
15. 明朝早期，郑和在七下西洋的过程中，将中国古代天体测量方面所取得的成就创造性应
用于航海，形成了一套自成体系且行之有效的先进航海技术——“过洋牵星术”.简单地说，
就是通过观测不同季节时辰的日月星辰在天空运行的位置和测量星辰在海面以上的高度来判
断方位，其采用的主要工具为牵星板.由12块正方形木板组成，最小的一块边长约为2厘米(称
一指).观测时，将木板立起，一手拿着木板，手臂垂直，眼睛到木板的距离大约为 72 厘米，
使牵星板与海平面垂直，让板的下边缘与海平面重合，上边缘对着所观测的星辰，与其相切，
依高低不同替换调整木板，木板上边缘与被观测星辰重合时所用的是几指板，观测的星辰离
海平面的高度就是几指，然后就可以推算出船在海中的地理纬度.如图所示，若在一次观测中，
所用的牵星板为九指板，则 tan 2 _________．
16. 已知函数 y=sin 2x
6 －m在
[0, ]上有两个零点，则 m的取值范围为__________．
2
四、解答题（本题共 4小题，每题 10分，共 40分，解答应写出文字说明、证明过程或者演
算步骤）
17. 已知向量 a (3, 2)，b (2, 1) ．
(1) 若a kb 与 ka b平行，求 k的值；
(2) 若 a b a 与 b垂直，求 的值．
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18. , 已知 0,
,sin
5
,cos( ) 1 .
2 7 3
(1) 求 cos 、tan 的值；
(2) 求 cos(2 ) 的值.
19. 3已知向量 =（sin x，）， = (cos ,-1）
2
(1) 当 ∥ 时，求 tanx的值；
(2) 求 f (x) a b b - π在 ，0 上的最大值． 2
20. 设函数 f (x) Asin( x ) （ A, , 为常数，且 A 0, 0,0 ）的部分图象如图
所示.
(1) 求函数 f (x) 的解析式；
(2) 若不等式 2 + + ≥ 0在 ∈ 0, π 上恒成立，求实数 a的取值范围.4
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高一年级阶段性验收考试 数学学科答案
一、单选题
1. A 2. B 3．D 4. A 5. A 6. C 7. C 8. D
二、多选题
9. BC 10. AC 11.AC 12. BCD
三、填空题
8 1
13. 5 14. 2 5 15. 16. [ , 1)15 2
四、解答题
17.解：（1）因为向量 a (3, 2)，b (2, 1)，
所以 a kb (3 2k , 2 k)， ka b (3k 2,2k 1)，
因为a kb 与 ka b 平行，所以 (3 2k)(2k 1) (2 k)(3k 2) 0，即 k 2 1，
所以 k 1.
（2）因为向量 a (3, 2)，b (2, 1)，
a
b (3 2,2 1) a
所以 ， b (3 2 , 2 )，
因为 a b 与a b 垂直，所以 (3 2,2 1) (3 2 , 2 ) 0，
所以 (3 2)(3 2 ) (2 1)(2 ) 0，解得 1 2 .
0 5 ,sin cos 2 6 , tan sin 5 618. （1）因为 ，所以2 7
.
7 cos 12
1 2 2
（2）因为 , 0, ,cos( ) ，所以sin( ) .
2 3 3
cos(2 ) cos[ ( )] cos cos( ) sin sin( )
2 6 1 5 2 2 2 6 10 2 .
7 3 7 3 21
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(1) a b 3cos x sin x 0 tan x 319. 因为 ∥ ，所以 ＋ ＝ ，所以 ＝－ ，
2 2
2x π＋
(2)f(x) 2＝(a＋b)·b＝ sin 4 .
2
π
π≤x≤0 3π
2x＋
因为－ ，所以－ ≤2x π π＋ ≤ ，所以－1≤sin 4 ≤ 2，
2 4 4 4 2
2 1 1
所以－ ≤f(x)≤ ，所以 f(x)
2 2 max
＝ .
2
20.(1) A= 2,ω = 2,所以 = 2sin (2 + )
将（ ， 2）代入得φ =
，所以 f (x) 2 sin
2x
6 6 6 ；
（2） ∈ 0, , 2 + ∈ [ , 2 ]
4 6 6 3
sin 2 + ∈ 1 , 1 ,所以
6 2 ∈
2 , 2
2
2
令 = t ∈ , 22
不等式 2 + + ≥ 0在 ∈ 0, π 上恒成立,有 24 + ≥
即 2 + ≥ 恒成立，
即 ≤ （ 2 + ）
2
当 t = 时，（ 2 + ） =
1+ 2
2 2
≤ 1+ 2 ≥ 1+ 2，所以
2 2
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