2023届高三下学期4月高考数学（理）考前冲刺训练（四川适用）（含答案）

2023年高考考前冲刺训练（四川适用）
理科数学
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2022·汕头模拟)集合A＝{x|x<1}，B＝{x|log3x<0}，则(　　)
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝{x|x<1}
C．A∩B＝? D．A∪B＝{x|x<0}
2．(2022·泰州模拟)已知复数z满足|z|＋z＝8＋4i，则z等于(　　)
A．3＋4i B．3－4i
C．－3＋4i D．－3－4i
3．已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为2，高为，则该圆台的侧面积为(　　)
A.π B.π C．3π D．3π
4．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1 000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是(　　)

A．a＝0.005
B．估计这批产品该项质量指标的众数为45
C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60
D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[50,70)的概率约为0.5
5．若α∈(0，π)，且cos α＋sin α＝－，则cos 2α等于(　　)
A. B．－
C．－ D.
6．(2022·安阳模拟)已知a＝log20.3，b＝0.3，c＝，则(　　)
A．a C．c 7．(2022·柳州模拟)若实数x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为(　　)
A．－1 B．4 C．5 D．14
8．(2022·贵阳模拟)2021年10月16日，航天员翟志刚、王亚平、叶光富进驻天和核心舱，中国空间站开启有人长期驻留时代，而中国征服太空的关键是火箭技术，在理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量的公式Δv＝veln ，其中Δv为火箭的速度增量，ve为喷流相对于火箭的速度，m0和m1分别代表发动机开启和关闭时火箭的质量．在未来，假设人类设计的某火箭ve达到5公里/秒，当从100提高到200，速度增量Δv增加的百分比约为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)(　　)
A．13% B．15% C．17% D．19%
9．(2022·安阳模拟)已知圆C：(x－2)2＋(y－6)2＝4，点M为直线l：x－y＋8＝0上的一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形CAMB的周长取最小值时，四边形CAMB外接圆的方程为(　　)
A．(x－7)2＋(y－1)2＝4
B．(x－1)2＋(y－7)2＝4
C．(x－7)2＋(y－1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－7)2＝2
10．(2022·德阳模拟)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB＝2，BC＝1，AC＝，若规定正视方向垂直平面ACC1A1，则此三棱柱的侧视图的面积为(　　)

A. B．2 C．4 D．2
11．(2022·福州模拟)已知F是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点，经过原点O的直线l与椭圆E交于P，Q两点，若|PF|＝5|QF|，且∠PFQ＝120°，则椭圆E的离心率为(　　)
A. B. C. D.


12．(2022·中卫模拟)已知定义域为(0，＋∞)的函数f(x)满足f′(x)＋＝，且f(e)＝，e为自然对数的底数，若关于x的不等式－x－＋2≤0恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．[1，＋∞)
B．[2，＋∞)
C.
D.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2022·赣州模拟)(1＋ay)6的展开式中，含x－2y3项的系数为160，则a＝________.
14．写出一个同时满足下列条件①②③的数列{an}的通项公式an＝________.
①{an}为递增数列；②为等比数列；
③为等差数列．
15．(2022·宝鸡模拟)已知函数f(x)＝ln x－x3与g(x)＝x3－ax的图象上存在关于x轴的对称点，则实数a的取值范围为________．
16．在Rt△ABC中，已知AB＝3，AC＝4，点P是斜边BC上一动点，点Q满足PQ＝2，若＝m＋n，则m＋n的最小值为______，最大值为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答)
(一)必考题：共60分．
17．(12分)(2022·江门模拟)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(a＋b)·(sin A－sin B)＝(a－c)sin C.
(1)求角B的大小；
(2)若c＝2，求a的取值范围．





18．(12分)(2022·河北五校模拟)在我国北京和张家口联合承办的第二十四届冬季奥林匹克运动会共设7个大项、15个分项、109个小项．某校为了调查学生喜欢冬季冰雪运动是否与性别有关，在高三年级选取了200名学生进行了问卷调查，得到如下的2×2列联表：

喜欢
不喜欢
总计
男生
a
c

女生
b
d

总计




已知从这200名学生中随机抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，表格中a＝100，d＝20.
(1)完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关；
(2)从上述喜欢冰雪运动的学生中采用分层抽样方法抽取8名学生，再从这8人中抽取3人调查其喜欢的运动，用X表示3人中女生的人数，求X的分布列及均值．
参考公式及数据：
K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.01
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
6.635
10.828





19．(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝CC1＝2，AC⊥BC，点M，N，F分别为棱AB，BB1，A1B1的中点，点E为棱A1C1上的动点．

(1)求证：CN⊥ME；
(2)当直线ME与平面AC1F所成的角最小时，求三棱锥M－ECN的体积．






20．(12分)(2022·铜仁模拟)已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在坐标轴上，设M(1，－2)是抛物线上一点．
(1)求抛物线的方程；
(2)若抛物线的焦点在x轴上，过点M作两条直线l1，l2分别交抛物线于A，B两点，若直线l1与l2的倾斜角互补，求△ABM面积的最大值．





21．(12分)(2022·衡阳模拟)已知函数f(x)＝－kx－1.
(1)若k＝1，求f(x)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)试确定k的所有可能取值，使得存在t>0，对?x∈(0，t)，恒有|f(x)|




(二)选考题(共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分)
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22．(2022·成都模拟)在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin
＝2.
(1)求直线 l 的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
(2)已知点P的直角坐标为(0,4)，直线 l 与曲线C相交于不同的两点A，B，求|PA|＋|PB|的值．






[选修4—5：不等式选讲]
23．(2022·渭南模拟)已知函数f(x)＝|x2－x|＋1.
(1)求不等式f(x)<3的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)＋|x－2|＋m>0恒成立，求实数m的取值范围．





参考答案
1．B　2.A　3.D　4.C　5.A　6.D
7．B　[作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分(含边界)所示，
直线z＝x＋2y化为y＝－x＋z，表示斜率为－的一组平行线，
当y＝－x＋z经过点B时，z有最小值，
由?
所以B(2,1)，则z＝x＋2y的最小值为z＝2＋2＝4.]
8．B　[当＝100时，
速度的增量为Δv1＝5ln 100，
当＝200时，
速度的增量为
Δv2＝5ln 200＝5ln 100＋5ln 2，
所以＝＝
＝≈15%.]
9．D　[圆C：(x－2)2＋(y－6)2＝4的圆心C(2,6)，半径r＝2，点C到直线l的距离d＝＝2，
依题意，CA⊥AM，四边形CAMB的周长为2|CA|＋2|AM|＝4＋2≥4＋2＝4＋2＝8，
当且仅当CM⊥l时取等号，此时lCM：x＋y－8＝0，
由得点M(0,8)，
四边形CAMB的外接圆圆心为线段CM的中点(1,7)，半径为，
所以四边形CAMB外接圆的方程为(x－1)2＋(y－7)2＝2.]
10．A　[由题设可知∠ABC＝90°，且AC边上的高h＝＝，
侧视图是以AC边上的高h为宽，长为侧棱长的矩形．
故其面积为S＝2×＝.]
11．C　[如图，设椭圆的右焦点为F′，连接PF′，QF′，
根据椭圆的对称性可知四边形PFQF′为平行四边形，
则|QF|＝|PF′|.
因为∠PFQ＝120°，
可得∠FPF′＝60°.
所以|PF|＋|PF′|＝6|PF′|＝2a，
则|PF′|＝a，|PF|＝a.
由余弦定理可得
(2c)2＝|PF|2＋|PF′|2－2|PF|·|PF′|cos 60°＝(|PF|＋|PF′|)2－3|PF||PF′|，
即4c2＝4a2－a2＝a2，
即＝，
故椭圆E的离心率
e＝＝＝.]
12．B　[由f′(x)＋＝，
得xf′(x)＋f(x)＝，
设g(x)＝xf(x)，
g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＝，
则g(x)＝ln x＋c，
从而有f(x)＝.
又因为f(e)＝＝，
所以c＝1，
所以f(x)＝，
f′(x)＝，
所以f(x)在(0,1)上单调递增，
在(1，＋∞)上单调递减，
所以f(x)max＝f(1)＝1.
因为不等式－x－＋2≤0恒成立，
所以f(x)－x2＋2x－a≤0，
即f(x)－(x－1)2＋1≤a，
又因为f(x)－(x－1)2＋1≤2，
所以a≥2.]
13．－2　14.n·2n(答案不唯一)
15.
解析　函数f(x)＝ln x－x3与g(x)＝x3－ax的图象上存在关于x轴的对称点，
∴f(x)＝－g(x)有解，
∴ln x－x3＝－x3＋ax，
∴ln x＝ax，
即a＝在(0，＋∞)上有解，
令h(x)＝，
则h′(x)＝.
当x∈(0，e)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(e，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减．
h(x)max＝h(e)＝，且x→0，h(x)→－∞，
∴实数a的取值范围为.
16.　
解析　以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，
则A(0,0)，B(3,0)，C(0,4)，
直线BC的方程为＋＝1，
则可设P，其中0≤t≤3，
由|PQ|＝2，得点Q在以点P为圆心，2为半径的圆上，
可设Q，
由＝(3,0)，＝(0,4)，
＝，＝m＋n，
得＝(3m,4n)，
所以
即
则m＋n＝＋
＝sin θ＋cos θ＋1
＝sin(θ＋φ)＋1，
所以1－≤m＋n≤＋1，
即≤m＋n≤，
故m＋n的最小值为，最大值为.
17．解　(1)因为(a＋b)(sin A－sin B)
＝(a－c)sin C，
所以由正弦定理可得
(a＋b)(a－b)＝(a－c)c，
化简得a2＋c2－b2＝ac，
所以由余弦定理得
cos B＝＝＝，
因为B∈(0，π)，
所以B＝.
(2)因为B＝，
所以A＋C＝π－B＝，
由正弦定理得＝，
所以a＝＝
＝
＝＋，
因为△ABC为锐角三角形，
所以
得所以tan C>，
所以0<<3，
所以<＋<4，
所以即a的取值范围为(，4)．
18．解　(1)由题可知，从200名学生中抽取1人，这个人喜欢冰雪运动的概率为0.8，
故喜欢冰雪运动的有
200×0.8＝160(人)，
不喜欢冰雪运动的有
200－160＝40(人)，
即a＝100，b＝60，c＝20，d＝20，
2×2列联表如下，
喜欢
不喜欢
总计
男生
100
20
120
女生
60
20
80
总计
160
40
200
K2＝
≈2.083<2.706，
所以没有90%的把握认为喜欢冰雪运动与性别有关．
(2)采用分层抽样方法抽取8名学生，设抽取女生x名，男生y名，
则＝＝，解得x＝3，y＝5，
即抽取的8人中喜欢冰雪运动的女生有3人，男生有5人，
故X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
19．(1)证明　取BC的中点P，连接MP，PC1，
∵CB＝CC1，
∴CP＝BN，
CN＝PC1，
∴Rt△PCC1≌Rt△NBC，
∴∠PC1C＝∠BCN，
∴∠C1PC＋∠BCN
＝∠C1PC＋∠PC1C＝，
∴CN⊥C1P.
∵M，P分别为AB，BC的中点，
∴MP∥AC.
又EC1∥AC，
∴M，P，C1，E四点共面．
∵AC⊥BC，
∴MP⊥BC.
易知CC1⊥平面ABC，MP?平面ABC，
∴MP⊥CC1，
∵BC∩CC1＝C，BC，CC1?平面BCC1B1，
∴MP⊥平面BCC1B1，
∵CN?平面BCC1B1，
∴MP⊥CN.
∵CN⊥PC1，MP∩PC1＝P，MP，PC1?平面MPC1E，
∴CN⊥平面MPC1E.
∵ME?平面MPC1E，
∴CN⊥ME.
(2)解　以C为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，
则A(2,0,0)，C1(0,0,2)，M(1,1,0)，F(1,1,2)，
设E(λ，0,2)(0≤λ≤2)，
∴＝(－2,0,2)，＝(－1,1,2)，＝(λ－1，－1,2)，
设n＝(x，y，z)为平面AC1F的法向量，
则
令x＝1，则z＝1，y＝－1，
得n＝(1，－1,1)．
设直线ME与平面AC1F所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈，n〉|
＝
＝
＝.
令t＝λ＋2，
则t∈[2,4]，∈，
则sin θ＝
＝
＝，
根据二次函数的性质知，当＝，即t＝2时，sin θ取得最小值，
即直线ME与平面AC1F所成的角最小，
此时λ＝0，点E与点C1重合，
连接C1N，MC1，取BC的中点P，连接MP，
则VM－ECN＝false＝××2×2×1＝.
故三棱锥M－ECN的体积为.
20．解　(1)由题意知抛物线过点
M(1，－2)，
所以设抛物线的方程为
y2＝2px或x2＝－2py(p>0)，
代入点M得，p＝2或p＝，
所以抛物线的方程为
y2＝4x或x2＝－y.
(2)由抛物线焦点在x轴上，知抛物线的方程为y2＝4x，
设A，B，
因为直线l1与l2的倾斜角互补，
所以kMA＝－kMB，
得＝－，
即
＝－，
整理得y1＋y2＝4，
所以kAB＝＝1，
则设直线lAB：y－y1＝x－，
即x－y＋y1－＝0，
点M到直线lAB的距离为d＝，
|AB|＝
＝|y2－y1|＝2|2－y1|，
所以S△ABM＝××2×|2－y1|
＝|(y1－2)2－16||y1－2|，
令y1－2＝t，
由y1＋y2＝4，y1≥0，y2≥0，
得－2≤t≤2，
所以S△ABM＝|t3－16t|.
设f(t)＝|t3－16t|，
则f(t)是偶函数，
所以只需讨论0≤t≤2的情况．
当0≤t≤2时，令g(t)＝16t－t3，
则g′(t)＝16－3t2>0，
所以g(t)在[0,2]上单调递增，
所以g(t)max＝g(2)＝24，
即S△ABM＝|t3－16t|的最大值为f(2)＝g(2)＝6.
综上可知，△ABM面积的最大值为6.
21．解　(1)若k＝1，
则f(x)＝－x－1，
f′(x)＝，
构造函数g(x)＝ex－x－1，x>0，
g′(x)＝ex－1>0，g(x)单调递增，
g(x)>g(0)＝0，
故当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当0(2)依题对?x∈(0，t)，
有
?
记h(x)＝－1，
h′(x)＝
记m(x)＝－1，
m′(x)＝，
①若k<，
存在t1＝，
在x∈(0，t1)，h′(x)<0，h(x)单调递减，
h(x)②若k>，
存在t2＝，
在x∈(0，t2)，m′(x)>0，m(x)单调递增，
m(x)>m(0)＝0，矛盾；
③若k＝，h′(x)＝，m′(x)＝，
当x∈(0,1)时，h(x)单调递增，m(x)单调递减，m(x)<0综上可得，k＝.
22．解　(1)由曲线C的参数方程得
x2－(2y)2＝2－2＝4.
∴曲线C的普通方程为－y2＝1.
直线 l 的极坐标方程化简为
ρsin θ＋ρcos θ＝4.
由极坐标与直角坐标的互化关系
x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
得直线 l 的直角坐标方程为
x＋y－4＝0.
(2)设直线 l 的参数方程为
(m为参数)，
将直线 l 的参数方程代入曲线C的普通方程，
整理可得3m2＋32m＋136＝0.，
Δ＝(32)2－4×3×136＝416>0，
设m1，m2是方程的两个实数根，
则m1＋m2＝－，
m1m2＝>0，
∴|PA|＋|PB|＝|m1|＋|m2|
＝|m1＋m2|＝.
23．解　(1)由f(x)<3，
得|x2－x|＋1<3，
所以|x2－x|<2，即－2所以不等式f(x)<3的解集为(－1,2)．
(2)由已知，有|x2－x|＋|x－2|＋m＋1>0恒成立，
即－m<|x2－x|＋|x－2|＋1恒成立，
令g(x)＝|x2－x|＋|x－2|＋1，
则g(x)＝
当x<0时，
g(x)＝x2－2x＋3∈(3，＋∞)；
当0≤x<1时，
g(x)＝－x2＋3∈(2,3]；
当1≤x<2时，
g(x)＝x2－2x＋3∈[2,3)；
当x≥2时，
g(x)＝x2－1∈[3，＋∞)．
所以g(x)的最小值为2，
所以－m<2，即m>－2，
所以实数m的取值范围为(－2，＋∞)．