AP 3
7．如图，在△OAB中，点 P在边 AB上，且 ．则OP （ ）
PB 2
西宁市海湖中学 2022—2023 学年度第二学期
高一数学第一阶段学情考试
3 2 2 3 3 2 2
A． OA OB
3
B． OA OB C． OA OB D． OA OB
5 5 5 5 5 5 5 5
时间：120 分钟 满分：150 分
8.在△ABC 中， sin A : sin B : sinC 2 : 6 : 3 1 ，则三角形最小的内角是（ ）
第 I 卷（选择题） A. 600 B. 450 C.300 D.以上都错
一、单选题（每小题 5 分，共 40 分） 二、多选题（每小题 5 分，共 20 分，少选得 2 分，多选错选不得分）
1．已知向量a ( 3,4)，则与a方向相反的单位向量是（ ） 9．下列说法中正确的是（ ）
3 4 ,
3 4 3 4 r r 3 4
A． B． , C． , D． , A．若 e1,e2 为单位向量，则
e1 e2 B．若 a与b共线，则 a b 或 a b
5 5 5 5 5 5 5 5
2．已知向量 a，b不共线，且 AB a 4b， BC a 9b，CD 3a b，则一定共线的是（ ） a
a
C．若 0，则a 0 D． 是与非零向量 a共线的单位向量a
A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D
3 a b 60° b＝1，| 2a-b |＝1 | a | 10．在下列向量组中，可以把向量 a (3,2)．已知非零向量 表示出来的是（ ），的夹角为 ，且 ，则 （ ）
A 1． B．1 C． 2 D．2 A． e1 (0,0)，e2 (1,2) B． e1 ( 1,2)， e2 (5, 2)2
4 a 3,3 b 1,0 c a kb a c k C． e1 (3,5)， e2 ( 6,10)．已知向量 ， ， ．若 ，则实数 的值为（ ） D． e1 (2, 3)， e2 ( 2,3)
4 11．在 ABC中，若 a :b : c 4 : 5 : 6，下列结论中正确的有（ ）
A． 6 B． C．0 D．6
3
A． sin A : sin B : sinC 4 :5 : 6 B． ABC是钝角三角形
5 a
2 b 1 a 3b 7 a
．已知向量 ， ，且 ，则向量 ,b 的夹角是（ ）
C． ABC的最大内角是最小内角的 2倍 D．若 c 6，则 ABC 8 7外接圆的半径为
5π π 2π π 7
A． B． C． D．6 6 3 3 12．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中恰有一解的是（ ）
6．已知向量a x 1,2 ,b 2,4 ，则“ a与b 夹角为锐角”是“ x 3”的（ ） A． c 3，C B．b 5 ，c 6，C
6 4
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C． a 6
，b 3 3，B D． a 20，b 15，B
3 6
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
第 II 卷（非选择题）
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13．已知向量 a 2,1 ,b 3,5 ，若 a b ∥b，则 __________.
14．已知 AB 1,2 ， AC 2, t ，若 AB BC 0，则 t ______．
15．在 ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且 a2 b2 c2 3ac，则角 B的大小是______.
16．如图，在 ABC中， B 45 ，D是BC边上一点， AD 5， AC 7，DC 3，则 AB ________.
20．在 ABC中，内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c . C π , a 2 10已知 c.
4 5
(1)求 sinA的值；(2)若 c 5，求b的值.
三、解答题（17 题 10 分，其它题各 12 分，共 70 分)
17．已知向量 a 3, 2 ，b 1, 1 ．
(1)求 a b与 2a 3b的坐标；(2)求向量 a，b的夹角的余弦值． 21. 已知 ABC的三个顶点的直角坐标分别为 A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0)
（１） 若 c=5，求 sin∠A的值；（２） 若∠A为钝角，求 c的取值范围；
18．已知向量 | a | 3， | b | 2，a与b的夹角为 .3
（1）求 a b及 | a b |；（2）求 (a 2b) (a 3b) .
22．在锐角三角形 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，CD为CA在CB方向上的投影向量，
且满足 2csin B 5 CD .
(1)求 cosC的值；(2)若b 3，a 3ccosB，求 ABC的周长.
19. 如图，测量河对岸的塔高 AB时，可以选与塔底 B在同一水平面内的两个侧点C与D．现测得
BCD 60 , BDC 75 ，CD 50 2，并在点C测得塔顶 A的仰角为 60°，求塔高 AB．西宁市海湖中学 2022-2023 学年
高一下学期第一阶段学情考试数学测试题参考答案
1．C
a 3 4
2 2
解析：由题意 a ( 3) 4 5， , a 5 5 ．
故选：C．
2．A
解析：向量 a，b不共线，且 AB a 4b， BC a 9b，CD 3a b，
BD BC CD 2a 8b 2(a 4b) 2AB，则有 AB / /BD，而 AB,BD有公共点 B，有 A，B，
D 共线，A 是；
BC 0，不存在实数 ，使得 AB BC，因此 AB,BC不共线，A，B，C 不共线，B 不是；
BC 0，不存在实数 ，使得CD BC，因此 BC,CD不共线，B，C，D 不共线，C 不是；
AC AB BC 13b 0，不存在实数 t，使得CD t AC，因此 AC,CD不共线，A，C，D 不
共线，D 不是.
故选：A
3．A
解析：由题意得 a·b a 1 1
a
＝ .
2 2
又 | 2a-b |＝1，
2 2
2
∴ | 2a b | ＝4a 4a b+b2＝4 a 2 a 1＝1，
2
即 4 a 2 a 0，又 a 0，
a 1解得 .
2
故选：A
4．A
解析： c a kb 3,3 k 1,0 3 k ,3 ，
a c， a·c 0，即3 3 k 9 0，解得 k 6，
故选：A.
5．D
2 2 2
解析： a 3b a 6a b 9 b 13 6a b 7， a b 1，
cos a ,b a b 1
a ,b 0, π a ,b π2，又 ， a b .3
故选：D.
6．A
解析：当 a b 2 x 1 2 4 0，解得： x 3，
且当 a //b时， 4 x 1 4 0，解得： x 2，
a
所以“ 与b 夹角为锐角时， x的取值范围是 x 3且 x 2，
所以“a与b 夹角为锐角”是“ x 3”的充分不必要条件.
故选：A
7．B
AP 3 3
解析：由于 ，所以 AP AB，
PB 2 5
3
所以OP OA AP OA AB
5
OA 3 OB OA 2 3 OA OB .5 5 5
故选：B
8．B
解析：
sin A : sin B : sinC 2 : 6 : 3 1
由正弦定理得a :b : c 2 : 6 : 3 1
设：a 2k ,b 6k ,c 3 1 k
因为三角形中大边对大角，小边对小角，所以 A 最小
2 2 2
b2 c2 a2 6k 3 1 k 2k cos A 2
2bc 2 6k 3 1 k 2
所以 A=45°，即三角形最小的内角是 45°，故选：B
9．CD
解析：对于 A 中，向量 e1,e2 的方向不一定相同，所以 A 错误；
对于 B 中，向量 a与b的长度不一定相等，所以 B 错误；
对于 C 中，由 a 0，根据零向量的定义，可得 a 0，所以 C 正确；
a 1 a
对于 D中，由 a
a a ，可得
与向量a同向，a
a a
又由
的模等于1，所以 是与非零向量 a共线的单位向量，所以 D正确.a a
故选：CD.
10．BC
解析：对于 A． e1＝(0，0)， e1 // e2 ， e1,e2 不可以作为平面的基底，不能表示出 a；
1 2
对于 B．由于 ，e1,e2 不共线， e1,e2 可以作为平面的基底，能表示出 a；5 2
3 5
对于 C． ， e1,e2 不共线， e1,e2 可以作为平面的基底，能表示出6 10 a
；
对于 D． e2 e1 ， e1 // e2 ， e1,e2 不可以作为平面的基底，不能表示出 a．
故选：BC.
11．ACD
解析：根据正弦定理由 a :b : c 4 : 5 : 6 sin A : sin B : sinC 4 : 5 : 6，因此选项 A 正确；
设 a 4k ,b 5k ,c 6k，所以C为最大角，
a2 b2 c2 16k 2 2cosC 25k 36k
2 1
0，所以C为锐角，因此 ABC是锐角三角
2ab 2 4k 5k 8
形，因此选项 B 不正确；
b2 c2 a2cos A 25k
2 36k 2 16k 2 3
，显然A为锐角，
2bc 2 5k 6k 4
1 1
cosC 2cos2 C 1 cosC 1 cosC 8 3 cos A，
2 2 2 2 4
C
因此有 A C 2A，因此选项 C 正确；
2
由 cosC 1 sinC 1 cos 2C 1 1 3 7 ，
8 64 8
1 c 1 6 8 7
ABC外接圆的半径为： 2 sinC 2 3 7 7 ，因此选项 D正确，
8
故选：ACD
12．BC
解析：A 选项有无穷多解，显然错误；
B b sinC 5 2中，因为 ，C 为锐角，所以bsinC b c，所以该三角形有一解，B 正确；
2
C 中，因为 a sin B 3 3，B 为锐角，所以b a sin B，所以该三角形有一解，C 正确；
D中，因为 a sin B 10，B 为锐角，所以 asin B b a，所以该三角形有两解，D 错误.
故选：BC
13．0
解析：由题意知 a b 2,1 3,5 2 3, 5 ，又 a b ∥b，所以
5 2 3 3 5 0，解得 0 ,
故答案为：0
3
14．
2
解析：由 BC AC AB (1,t 2)，又 AB BC 0，
所以1 2 (t 2) 0 3，可得 t .
2
3
故答案为：
2
15． ##30
6
解析：解：因为 a2 b2 c2 3ac，所以 a2 c2 b2 3ac，
a2 c 2 b2 3ac 3
由余弦定理的推论，得 cos B ，
2ac 2ac 2
因为 B 0, ，所以 B .
6
故答案为： .
6
16 5 6．
2
49 9 25 11解析：在 ACD中，由余弦定理可得： cosC ，
2 7 3 14
0 C ，则 sinC 5 3 .
14
AB AC在 ABC中，由正弦定理可得 ，
sinC sin B
AC sinC 7
5 3
5 6
则 AB 14 .
sin B 2 2
2
5 6
故答案为：
2
17．(1) a b 4,1 ，2a 3b 3,7 ．
(2) 26
26
解析：（1） a b 4,1 ， 2a 3b 2 3,2 3 1, 1 3,7 ．
2 a
（ ） b 3 2 1， a
9 4 13， b 1 1 2，
b a b 1 26 cos a , a ． b 13 2 26
18．（1） a b 3， a b 19；（2） 18．
解析：（1） a b a b cos a,b 3 2 cos
3，
3
2 2
a b (a b)2 a 2a b b 32 2 3 22 19 ，
2 2
2
（ ） (a 2b) (a 3b) a a b 6b 32 3 6 22 18．
19.解析：在 BCD 中，∵∠BCD=60°，∠BDC=75°，∴∠CBD=45°
BC CD
由正弦定理
sin BDC sin CBD
BC 50 2
sin 75 sin 45
2 6
BC 50 2 sin 75
50 2
4
sin 45
25 2 6
2
2
在Rt△ABC中，AB BC tan 60 =25 2+ 6 3=25 6+75 2
20 (1) 2 5．
5
(2)b 3或b 1
解析：（1）在 ABC C π中， , a 2 10 c，
4 5
sinA 2 10由正弦定理得 sinC 2 10 2 2 5 .
5 5 2 5
（2 2 10） c 5,a c, a 2 2 ，
5
2
由余弦定理 c2 a 2 b2 2abcosC，得5 8 b2 2 2 2 b ，
2
整理得b2 4b 3 0，解得b 3或b 1.
21．（1）
（2）c 的取值范围为（ ，+ ）
解析：(1) AB ( 3, 4) , AC (c 3, 4)
当 c=5 时， AC (2, 4)
cos A cos AC, AB 6 16 1
5 2 5 5
进而
(2)若 A 为钝角，则 AB AC -3(c-3)+( -4)2<0
解得 c>
显然此时有 AB 和 AC 不共线，故当 A 为钝角时，c 的取值范围为（ ，+ ）
2
22．(1) 3
(2) 2 2 3
解析：（1）由CD为CA在CB方向上的投影向量，则 CD b cosC，即 2c sin B 5b cosC，
根据正弦定理， 2sinC sin B 5 sin B cosC，
在锐角 ABC 中， B 0,
，则 sin B 0，即2 2sinC 5 cosC
，
由C 0,
5
，则 cos2C sin2C 1 cos
2C cos2，整理可得 C 1，解得 cosC
2
.
2 4 3
（2）由 a 3ccosB，根据正弦定理，可得 sin A 3sinC cosB，
在 ABC中，A B C ，则 sin B C 3sinC cos B，sin BcosC cosBsinC 3sinC cosB，
sinBcosC 2sinC cosB，
由（1）可知 cosC
2
，sinC 1 cos2C 5 ，则 sin B 5 cos B，
3 3
由 sin2 B cos2 B 1，则5cos2 B cos2 B cos B 61 sin B 30 ，解得 ， ，
6 6
b c c sinC 6根据正弦定理，可得 ，则 b 2，
B C B a c 3
，
sin sin sin 2
故 ABC的周长C ABC a b c 2 3 2 .
