四川省广安市第二中学校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（文）（Word版含答案）

广安二中2023年春高2021级半期考试
数学（文科）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.设命题：，，则为（ ）
A.， B.，
C.， D.，
2.复数等于（ ）
A. B. C. D.
3.命题是命题的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
4.等差数列的前项和为，若公差，，为与的等比中项，则（ ）
A.15 B.21 C.30 D.42
5.四川乐山沙湾区是一个人杰地灵的好地方，大文豪郭沫若先生就出生于此地.乐山沫若中学高二（2）班文学小组的同学们计划在郭老先生的5部历史剧《屈原》《凤凰涅槃》《孔雀胆》《蔡文姬》《高渐离》中，随机选两部排练节目参加艺术节活动，则《风凰涅槃》恰好被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
6.执行如图所示的程序框图，为使输出的数据为31，则判断框中应填入的条件为（ ）
A. B. C. D.
7.函数的部分图象是（ ）
A. B.
C. D.
8.若，则（ ）
A. B.2 C. D.
9.直线被圆所截得弦长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
10.已知，，直线与曲线相切，则的最小值是（ ）
A.16 B.12 C.8 D.4
11.已知函数对任意的满足（其中是函数的导函数），则下列不等式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与交于，两点（点在第一象限），与交于点，若，，则（ ）
A. B.3 C.6 D.12
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.某高中的三个年级共有学生2000人，其中高一600人，高二680人，高三720人，该校现在要了解学生对校本课程的看法，准备从全校学生中抽取50人进行访谈，若采取分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是______.
14.若实数，满足约束条件，设，则的最大值为______.
15.平面向量，满足，，则与的夹角为______.
16.已知，，对，，且，恒有，则实数的取值范围是______.
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.为庆祝党的二十大的胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高校在全校开展“不负韶华，做好社会主义接班人”的宣传活动.为进一步了解学生对党的“二十大”精神的学习情况，学校开展了“二十大”相关知识的竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取100人，将他们的竞赛成绩（满分为100分）分为5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图：
（1）估计这100名学生的竞赛成绩的中位数（结果保留整数）；
（2）在抽取的100名学生中，规定：竞赛成绩不低于70分为“优秀”，竞赛成绩低于70分为“非优秀”.请将下面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”？（精确到0.001）
优秀 非优秀 合计
男 30
女 50
合计 100
参考公式及数据：，其中.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
18.已知的角，，的对边分别为，，，满足.
（1）求；
（2）若，求周长的取值范围.
19.图甲所示的平面五边形中，，，，，，现将图甲所示中的沿边折起，使平面平面得如图乙所示的四棱锥.在如图乙所示中.
（1）求证：平面.
（2）求三棱锥的体积.
20.若椭圆，过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）不过原点的直线与椭圆交于、两点，求面积的最大值以及此时直线的方程.
21.已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，函数在上恒成立，求整数的最大值.
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线交于点，.求证：
数学（文科）参考答案
1.【详解】B 2.【详解】A 3.【详解】B. 4.【详解】A
5.【详解】B 6.【详解】D 7.【详解】C 8.【详解】C.
9.【详解】A. 10.【详解】D. 11.【详解】C. 12.【详解】B
13.【详解】15 14.【详解】5. 15.【详解】 16.【详解】.
17.【详解】（1）因为，，所以竞赛成绩的中位数在内.设竞赛成绩的中位数为，则，解得，所以估计这100名学生的竞赛成绩的中位数为72.
（2）由（1）知，在抽取的100名学生中，竞赛成绩为“优秀”的有：
人，由此可得完整的列联表：
优秀 非优秀 合计
男 20 30 50
女 40 10 50
合计 60 40 100
零假设：竞赛成绩是否优秀与性别无关.因为，所以有99%的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”.
18.【详解】（1）因为由正弦定理得，即由余弦定理得，所以
（2）.由正弦定理，
即周长
∵，∴，即周长的取值范围
19.【详解】（1）∵，，，∴∴
∵平面平面，是交线，平面，∴平面又∵平面，
∴又∵，，，平面，∴平面.
（2）取中点，连接，，如图，
由，可知，又平面平面，是交线，平面，
∴平面，即三棱锥的高为，由，，知，
由知，∴，
∴，∴.
20.【详解】（1）抛物线的焦点为，所以，因为双曲线的焦点坐标为，，所以则，所以椭圆的方程为.
（2）设，，联立可得，
因为直线与椭圆交于、两点，所以解得，
由韦达定理可得，，
由弦长公式可得，点到直线的距离为，
所以，
当且仅当即时取得等号，所以面积的最大值为，此时直线的方程为.
21.【详解】（1）
若时，，在R上单调递增；
若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数，
若时，，当或时，，为增函数，
当时，，为减函数.
综上，时，在R上单调递增；
当时，在和上单调递增，在上单调递减；
当时，在和上单调递增，在上单调递减.
（2）由，解得，所以，
由时，，可知在上恒成立
可化为在上恒成立，设，
则，
设，则，所以在上单调递增，
又，，
所以方程有且只有一个实根，且，，
所以在上，，单调递减，在上，，单调递增，
所以函数的最小值为，
从而，又为整数，所以的最大值为：4.
22.【详解】（1）将直线的参数方程（为参数）化为普通方程为
∵，∴直线的极坐标方程为
∴由曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为
（2）将代入得
设点、对应的参数为、，则，
∵∴，
∴