2022学年第二学期浙大附中期中考试
高二数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B C B B D A
题号 9 10 11 12
答案 BD AC BCD AC
15 3
13. 14. 96π 15. [ , 2] 16. (0,1]
16 2
17.解：（1）作出函数 y x 1和y x 2 的图象，如图，
1
2－x，x＜ ，2 1 3
f (x)＝ 所以 f (x)的最小值为 f ( ) .
1 2 2
x＋1，x≥ ，2
k
(2) 1, k 2
2
π
18.解：（1） f (x)f (x) sin(2x ) 1，∴ 的最小值为 2 ，最小正周期为 ．
6
（2）∵ f (C) sin 2C 1 0．即 sin 2C 1，
6 6
11
∵ 0 C , 2C , 2C , C ．
6 6 6 6 2 3
a b
∵m 与 n共线．∴ sin B 2sin A 0．由正弦定理 ．得b 2a，①
sin A sin B
9 a2 2
∵ c 3．由余弦定理．得 b 2abcos ，②
3
a 3
解方程组①②，得
b 2 3
19.解：（1）选①an 2n 1,3bn 2Tn 3，可得3b1 2T1 3 2b1 3，即b1 3，
当 n 2时，3bn 1 2Tn 1 3，又3bn 2Tn 3，
两式相减可得3bn 3bn 1 2Tn 3 2Tn 1 3 2bn ，即有bn 3bn 1 ，
则数列 b n 1 nn 是首项和公比均为 3的等比数列，所以bn 3 3 3 ；
选②2S
2
n n an ,bn a2nSn ，
可得2a1 2S1 1 a1 ，解得a1 1，当n 2
2
时，2Sn 1 (n 1) a
2
，又2Sn n an 1 n，
2 2
两式相减可得2an 2Sn 2Sn 1 n an (n 1) an 1 2n 1 an an 1，
则an an 1 2n 1，
即为an n an 1 n 1 ,a n 1 n 1 an 2 n 2 ，
,a2 2 a1 1 0，所以an n ( 1)
n 1 a1 1 0，即an n ，
1 1
Sn n n 1 ,bn a2nSn 2n n n 1 n
2 n 1
2 2
n
a 1
（2）证明：若选①，可得c nn 2n 1 ，
bn 3
2 3 n 1 n
1 1 1 1 1
设Rn c1 c2 c3 cn 1 3 5 2n 3 2n 1 ，
3 3 3 3 3
2 3 4 n n 1
1 1 1 1 1 1
Rn 1 3 5 2n 3 2n 1 ,
3 3 3 3 3 3
上面两式相减可得
2 3 n 1 n n 12 1 1 1 1 1 1
Rn 2 2n 1
3 3 3 3 3 3 3
1 1
1 n 1 n
1 9 3n 1 1 1
2 2n 1 ，所以Rn 1 n 1 3 1 3
，
1 3
3
an 1 1 1
若选②，可得cn ，
bn n n 1 n n 1
1 1 1 1 1 1
则Rn c1 c2 c3 cn 1 1 .
2 2 3 n n 1 n 1
20.解：（1）证明：在菱形 ABCD中，因为 ABC 60 ，所以△ABC为正三角形，
又因为 E 为 AB 的中点，所以CE AB，
因为平面 PAB 平面 ABCD， AB 为平面 PAB 与平面 ABCD的交线，
所以CE 平面 PAB ，又因为 PA 平面 PAB ，所以CE PA．
（2）因为 PA PB ， E 为 AB 的中点，所以 PE AB ，
又因为PE CE， AB CE E，所以 PE 平面 ABCD，
以 E 为坐标原点，EB ，EC ，EP 所在直线分别为 x轴，y 轴，z轴，建立空间直角坐标系如
图所示，设 AB 2 ，则PA PB 2 ， EP EA EB 1， EC 3，
E(0,0,0)， B(1,0,0)，C(0, 3,0) ， P(0,0,1)， D( 2, 3,0)，
设 EF EP kPD，其中0 k 1，则 EF ( 2k, 3k,1 k) ，
因为 EB (1,0,0) 为平面 PEC 的法向量，
2 1
所以 | cos(EF,EB) |，得 k ，
2 2
3 1
即 F 是 PD 的中点，所以 F( 1, , ) ．
2 2
3 1
n EF 0 x y z 0
设 n (x, y, z)为平面EFC 的法向量，则 2 2
n EC 0
3y 0
令 z 2 ，得 x 1，取 n (1,0,2)，
m PB 0 x1 z1 0
设m (x1, y1, z1)为平面 PBC 的法向量，则 得出
m PC 0 3y1 z1 0
3 3
令 z1 1，得 x1 1, y1 ，取m (1, ,1)，
3 3
n m 3 105
设平面EFC 与平面 PBC 夹角为 ，则 cos | cos(n,m) | | | ．
| n | | m | 35
y y 3
21.解：(1)设 P(x, y) , 则 kPA kPB ,
x 2 x 2 4
x2 y
2
所以 P 点轨迹方程为: 1(y 0) ;
4 3
(2)显然直线 l 不垂直于 x轴,故设 l : y kx m ,M x1, y1 , N x2 , y2 ,
2
x2 y 2 2 2
代入 1并整理得: 3 4k x 8kmx 4m 12 0，
4 3
8kmx1 x2 3 4k 2
, 2
4m 12x1x2 3 4k
2
3 3 3
y1 y2 x1y2 x2 y1 x1 x2 y1 y2 3
kPM k
2 2 2 PN
x1 1 x2 1 x1 1 x2 1
3
x1 kx2 m x2 kx1 m x1 x2 k x1 x2 2n 3
2
x1x2 x1 x2 1
2
2kx1x2 3 4m 12 3 8kmm k x1 x2 2m 3 2k m k 2m 32 3 4k 2 2 3 4k 2 0,
x1x2 x1 x2 1 x1x2 x1 x2 1
整理得: (2k 1)(2k 2m 3) 0 ,若 2k 2m 3 0 ,此时 l 过 P ,不合题意；
1 1
若 2k 1 0 , 即 k 符合题意, 故直线 l 的斜率为 ．
2 2
ex 2
22.解：(1)当 a 2时, f (x) 2e x x 2,则 f (x) ．
ex
当 x [ 1, ln 2) 时, f (x) 0 ,当 x (ln 2,3]时, f (x) 0 ．
故 f (x)min f (ln2) ln2 1,
2
因为 f (3) 1 , f ( 1) 2e 3 f (3)3 , e
所以 f (x)max 2e 3,
故 f (x)在[ 1,3]上的值域为[ln 2 1,2e 3]．
a 0,
(2)证明:因为 f (x)有两个零点 x1, x2 ,所以 解得0 a e ．
f (ln a) ln a 1 0,
又 x x 0,不妨令 x 0 x ,则 f (0) a 2 01 2 1 2 ,所以0 a 2．
要证 x1 x2 2lna ,只需证 x1 2lna x2 ．
由(1)可知, x1 ( ,lna), x2 (lna, ) ,则 2lna x2 lna ．
因为当 a 0时, f (x)在 ( , ln a)上单调递减,所以要证 x1 2lna x2 ,只需证
f x1 f 2ln a x2 ．
因为 f x1 f x2 ,所以 f x1 f 2ln a x2 等价于 f x2 f 2lna x2 0．
令函数 g(x) f (x) f (2ln a x) 2x 2ln a ae x aex 2lna , x ln a ,
x x 2lna
则 g (x) 2 ae x aex 2lna 2 a e e ．
e x ex 2lna 2 e x x 2lna
2
因为 ,当且仅当 x lna时,等号成立,
a
2 a e x ex 2lna所以 0 ,即 g (x)在 (ln a, ) 上单调递减,所以 g(x) g(ln a) 0 ．
故 f x1 f x2 f 2lna x2 ,则 x1 x2 2lna．2022 学年第二学期浙大附高期中考试
高二数学试卷
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求的
2
1.已知集合 A x y 1 x ， B x x 3 ，则 A B （ ）
A. 3,1 1, 3 0, 3 ,1 B. C. D.
2.设复数 z 满足 (1 i)z 1 i，则 z i在复平面内对应的点在第几象限． （ ）
A. 一 B.二 C.三 D.四
3.已知非零向量a,b满足 a 2 b，且 a b b ，则a与b 的夹角为 （ ）
π π 2π 5π
A. B. C. D.
6 3 3 6
S6
4.已知等比数列 a 的前nn 项和为 Sn ，且a2 ,3a5 ,9a8 成等差数列，则 （ ） S3
4 1
A. 4 B. 3 C. D.
3 3
π
5.若函数 y sin(πx ) 在[0,m]上单调递增,则m 的最大值为 （ ）
6
2 1 1
A. 1 B. C. D.
3 2 3
6.第 19届亚运会将于 2023年 9月 23日至 10月 8日在杭州举行。甲、乙等5名杭州亚运会志愿者到羽毛
球、游泳、射击、体操四个场地进行志愿服务, 每个志愿者只去一个场地,每个场地至少一名志愿者, 若
甲去羽毛球场, 则不同的安排方法共有 （ ）
A. 96种 B. 60种 C. 36种 D. 24 种
7.已知抛物线C : y2 8x 的焦点为 F ，准线为 l ，点 A在抛物线C 上， AB l 于点 B ，若
2
FAB ，则 BF （ ）
3
16 8 16 3 8 3
A. B. C. D.
3 3 3 3
a b c
8.已知 a 4 ln ，b 3 ln ， c 2 ln ，其中 a 4,b 3,c 2，则 （ ）
4 3 2
A. a b c B. c a b C. c b a D. a c b
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.已知m,n是两条不同的直线, , 是两个不同的平面,则下列结论正确的为 （ ）
A. 若 m∥α,n α,则 m∥n B. 若m n ，m ， n ，则
C.若 α⊥β,m α,m β,则 m⊥n D.若 α∥β,m⊥α,n∥β,则 m⊥n
10.已知圆 2 2M : x y 4x 1 0 ，点P(a,b)是圆M 上的动点，则下列结论正确的是 （ ）
A. 圆M 关于直线 x 3y 2 0对称 B. 直线 x y 0被圆M 所截得的弦长为 3
b 1
C. 的最大值为 2 2 D. a b 的最小值为 5 2
a 3 2
3
11.已知函数 f (x) x 3x
2 4，则 （ ）
A. f (x)的极小值为 2 B. f (x)有两个零点
C. 点 (1,2)是曲线 y f (x)的对称中心 D. 直线 y 3x 5是曲线 y f (x)的切线
an ,n为偶数
12.已知数列 an 满足 a1 8,a2 1,a nn 2 ，Tn 为数列 a为奇数 n
的前 项和, 则下数说法正
an 2,n
确的有 （ ）
n 2
A. n 为偶数时, a ( 1) 2 B. T
2
2n n 9n n
C. T99 2049 D. Tn 的最大值为 20
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
6
1
13. x 展开式中的常数项为 ．
2 x
500π
14.已知圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为 的球面上,圆柱的底面直径为 8,则该圆柱的体积
3
为 .
a
15. 已知等差数列 a 的前 n 项和为 S ， n N *, S S 6n n 3 ，则 的取值范围为 . n
a5
x, y x y16.若对任意正实数 都有 (2y )(ln x ln y) 0 ，则实数m 的取值范围为 .
e m
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
a,a b
17.（10 分）已知 a,b R，记max a,b ，函数 f (x) max x 1 , x 2 x R
b,a b
（1）写出 f (x)的解析式，并求出 f (x)的最小值.
（2）若函数 g(x) x2 kf (x) 在 ( , 1]上是单调函数，求 k 的取值范围.
1
18.（12 分）已知函数 f (x) 3sin xcos x cos 2x 1, x R．
2
（1）求函数 f (x)的最小值和最小正周期；
（2）已知 ABC内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c，且c 3, f (C) 0，若向量m (1,sin A) 与
n (2,sin B)共线，求a,b的值．
19. （12 分）在①an 2n 1,3bn 2Tn 3②2Sn n
2 an ,bn a2nSn 这两组条件中任选一组，补充在
下面横线处，并解答下列问题.
已知数列 a 的前 nn 项和是 Sn ，数列 bn 的前n 项和是Tn ，__________.
（1）求数列 an , bn 的通项公式；
an
（2）设cn , 数列 c 的前nn 项和为Rn ，求 Rn . bn
2
20. （12 分）如图：已知 PAB所在的平面与菱形 ABCD所在的平面垂直，且 PA PB AB，
2
ABC 60 ， E 为 AB 的中点．
（1）证明：CE PA；
（2）若 F 为线段 PD 上的点，且 EF 与平面PEC 的夹角为 45 ，求平面EFC 与平面 PBC 夹角的
余弦值．
3
21.（12 分）已知 A( 2,0), B(2,0)平面内一动点 P 满足 kPA kPB ．
4
（1）求 P 点运动轨迹C 的轨迹方程;
3
（2）已知直线 l 与曲线C 交于 M , N 两点, 当 P 点坐标为 1, 时, kPM kPN 0恒成立, 试探究 2
直线 l 的斜率是否为定值？若为定值请求出该定值, 若不是定值请说明理由．
x
22.（12 分）已知函数 f (x) ae x 2．
（1）当 a 2时,求 f (x)在 1,3 上的值域;
（2）若 f (x)有两个零点 x1, x2 ,且 x1x2 0 ,证明:0 a 2且 x1 x2 2ln a．
