河南省平顶山市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 河南省平顶山市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 654.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-04-23 16:58:54 | ||
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文档简介
平顶山市重点中学2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
4，本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章7.2。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．若随机变量的分布列如表：
0 1 2 3 4
P 0.1 0.1 0.2 0.3 0.25 0.05
则（ ）
A．0.5 B．0.2 C．0.4 D．0.3
3．在等比数列中，，，则数列的公比为（ ）
A．3 B．2 C． D．
4．甲同学参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的8道试题中，甲能答对其中的4道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出4道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，其中，若中有且仅有两个元素，则r的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A．0.01 B．0.0099 C．0.1089 D．0.1
7．等差数列的前n项和为，若，，则满足的最小的正整数n的值为（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
8．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线：，直线：，若，则实数a可能的取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
10．对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有8项 B．展开式中的常数项是70
C．展开式中各项系数之和为0 D．展开式中的二项式系数之和为64
11．已知双曲线C：，则（ ）
A．双曲线C也叫等轴双曲线
B．双曲线C的一个焦点F到一条渐近线的距离为
C．若过原点的直线l与双曲线C相交，则直线l的倾斜角的取值范围为
D．直线l过双曲线C的右焦点F，且直线l与双曲线的一条渐近线平行，直线l与双曲线C相交于点A，与双曲线C的另一条渐近线相交点于B，则点A是线段BF的中点
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的图象位于x轴下方
B．有且仅有一个极值点
C．有且仅有两个极值点
D．存在，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为________．
14．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程为________里．
15．已知抛物线C：的准线为l，点P为抛物线上的一个动点，则点P到准线l和直线的距离之和的最小值为________，此时点P的坐标为________．（本题第一空2分，第二空3分）
16．已知数列的前n项和为，且满足．则数列的通项公式为________，的最大值为________．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知的展开式中，第4项为．
（1）求正整数n的值；
（2）求的展开式中的系数．
18．（本小题满分12分）
（1）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，有多少种排法？
（2）一场班级元旦晚会有4个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单，第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）从4个男青年教师和5个女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种选法？
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，O为BD的中点，，．
（1）证明：平面ABCD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知正项数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，记数列的前n项和为，证明，．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，证明：在上存在唯一的零点；
（2）若，证明：当时，．
22．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：，椭圆：，点P为椭圆的上顶点，点A，C为椭圆上关于原点对称的两个动点．斜率为的直线PA与椭圆交于另一点B，斜率为的直线PC与椭圆交于另一点D．
（1）求的值；
（2）求的值．
数学
参考答案、提示及评分细则
1．A
抛物线的标准方程为，可得，，故抛物线的准线方程为．
2．C
由随机变量的分布列知，．
3．B
由，可得．
4．D
．故选D．
5．C
两点，之间的距离为5，有，解得．
6．C
设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件，
则，，，，
故所求概率．
7．C
由，可得，又由，有，，，，，可得当时，．
8．A
令，则，所以在R上单调递增，由，即，又在R上单调递增，所以，解得，即不等式的解集为．故选A．
9．BC
若，有，解得或1．
10．BC
的展开式共有9项，故A错误；
展开式中的常数项为，故B正确；
令，则展开式中各项系数之和为，故C正确；
展开式中的二项式系数之和为，故D错误．
11．ACD
对于A选项，由双曲线的定义可知A选项正确；
对于B选项，由双曲线C的渐近线方程为，右焦点的坐标为，可求得焦点F到直线的距离为1，故B选项错误；
对于选项C，由双曲线C的渐近线方程为，若直线l与双曲线相交，只需要直线l的斜率，可求得直线l的倾斜角的取值范围为，故C选项正确；
对于选项D，可知△OBF为等腰直角三角形，，可知点B的横坐标为，联立方程解得点A的横坐标为，由，可知点A为线段BF的中点，选项D正确．
12．AB
当时，，，所以，故A正确；
由题意知，，令，易得在上单调递减，又，，所以，使得，所以当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以有且仅有一个极值点．故B正确，C错误；所以，故D错误．故选AB．
13．
，则，则，解得．
14．6
由题意可知，此人每天所走路程构成了公比的等比数列，有，解得，．
15．
记点P到准线l的距离为，到直线的距离为，抛物线的焦点F的坐标为，由，有，由图可知点F到直线的距离d为最小值，可求得，联立方程解得点P的坐标为．
16．
由可得，当时，，有，有，可得数列成等比数列，有，可得．记，有，可得，当时，，有．
17．解：（1）的展开式中，第4项为，……2分
可得，解得，
故正整数n的值为5；……5分
（2）的展开式中第项为，
其中，1，2，3，4，5，……7分
令，可求得，……9分
故展开式中的的系数为．……10分
18．解：（1）将甲、乙、丙三人看成一个人，排法有（种）；……4分
（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的4个节目在中间排列，排法为（种）；……8分
（3）问题可以分成两类：
第一类2名男生和2名女生参加，有种选法，
第二类3名男生和1名女生参加，有种选法，
依据分类计数原理，共有80种选法．……12分
19．（1）证明：如图，连接OC，
在Rt△BCD中，由可得，
∵，，
∴，，……2分
∵，，，∴，
∴，……4分
∵，，BD，平面ABCD，，
∴平面ABCD；……6分
（2）解：由（1）和等腰三角形BCD可知，OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
可得，，，，，
又由，有，可得点A的坐标为，……7分
设平面PBC的法向量为，
由，，有
取，，，可得平面PBC的一个法向量为．……9分
设平面PAD的法向量为，
由，，有取，，，可得平面PAD的一个法向量为．……11分
由，，，可得平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．……12分
20．解：（1）可化为，……2分
有，可得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，……5分
有，
可得数列的通项公式为；……6分
（2）由，……9分
有．……12分
21．证明：（1）若，，，
，
当时，则在上单调递减，，，
∴在上存在唯一零点；
（2），……6分
令，若，，……8分
令，则，
令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，……9分
所以，所以在上恒成立，……10分
所以．……12分
22．解：（1）设点A的坐标为，可得点C的坐标为，……1分
由点A在椭圆上有，可得，……2分
点P的坐标为，由，，……3分
有，
故的值为；……4分
（2）直线AP的方程为，
联立方程消去y可得，解得或，点A的横坐标为，……6分
联立方程消去y可得，解得或，点B的横坐标为，……8分
有；……9分
同理，……10分
可得，
故的值为．……12分
数学
全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号、回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
4，本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册，选择性必修第三册第六章~第七章7.2。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2．若随机变量的分布列如表：
0 1 2 3 4
P 0.1 0.1 0.2 0.3 0.25 0.05
则（ ）
A．0.5 B．0.2 C．0.4 D．0.3
3．在等比数列中，，，则数列的公比为（ ）
A．3 B．2 C． D．
4．甲同学参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的8道试题中，甲能答对其中的4道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出4道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知集合，，其中，若中有且仅有两个元素，则r的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A，B，（A的对立事件）存在如下关系：．若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者是否患病．已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ）
A．0.01 B．0.0099 C．0.1089 D．0.1
7．等差数列的前n项和为，若，，则满足的最小的正整数n的值为（ ）
A．31 B．32 C．33 D．34
8．已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线：，直线：，若，则实数a可能的取值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
10．对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．展开式共有8项 B．展开式中的常数项是70
C．展开式中各项系数之和为0 D．展开式中的二项式系数之和为64
11．已知双曲线C：，则（ ）
A．双曲线C也叫等轴双曲线
B．双曲线C的一个焦点F到一条渐近线的距离为
C．若过原点的直线l与双曲线C相交，则直线l的倾斜角的取值范围为
D．直线l过双曲线C的右焦点F，且直线l与双曲线的一条渐近线平行，直线l与双曲线C相交于点A，与双曲线C的另一条渐近线相交点于B，则点A是线段BF的中点
12．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，的图象位于x轴下方
B．有且仅有一个极值点
C．有且仅有两个极值点
D．存在，使得
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为________．
14．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程为________里．
15．已知抛物线C：的准线为l，点P为抛物线上的一个动点，则点P到准线l和直线的距离之和的最小值为________，此时点P的坐标为________．（本题第一空2分，第二空3分）
16．已知数列的前n项和为，且满足．则数列的通项公式为________，的最大值为________．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知的展开式中，第4项为．
（1）求正整数n的值；
（2）求的展开式中的系数．
18．（本小题满分12分）
（1）7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，有多少种排法？
（2）一场班级元旦晚会有4个唱歌节目和2个相声节目，要求排出一个节目单，第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目，有多少种排法？
（3）从4个男青年教师和5个女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2名男教师和1名女教师参加，有多少种选法？
19．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，O为BD的中点，，．
（1）证明：平面ABCD；
（2）求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）
已知正项数列满足，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，记数列的前n项和为，证明，．
21．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，证明：在上存在唯一的零点；
（2）若，证明：当时，．
22．（本小题满分12分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆：，椭圆：，点P为椭圆的上顶点，点A，C为椭圆上关于原点对称的两个动点．斜率为的直线PA与椭圆交于另一点B，斜率为的直线PC与椭圆交于另一点D．
（1）求的值；
（2）求的值．
数学
参考答案、提示及评分细则
1．A
抛物线的标准方程为，可得，，故抛物线的准线方程为．
2．C
由随机变量的分布列知，．
3．B
由，可得．
4．D
．故选D．
5．C
两点，之间的距离为5，有，解得．
6．C
设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件，
则，，，，
故所求概率．
7．C
由，可得，又由，有，，，，，可得当时，．
8．A
令，则，所以在R上单调递增，由，即，又在R上单调递增，所以，解得，即不等式的解集为．故选A．
9．BC
若，有，解得或1．
10．BC
的展开式共有9项，故A错误；
展开式中的常数项为，故B正确；
令，则展开式中各项系数之和为，故C正确；
展开式中的二项式系数之和为，故D错误．
11．ACD
对于A选项，由双曲线的定义可知A选项正确；
对于B选项，由双曲线C的渐近线方程为，右焦点的坐标为，可求得焦点F到直线的距离为1，故B选项错误；
对于选项C，由双曲线C的渐近线方程为，若直线l与双曲线相交，只需要直线l的斜率，可求得直线l的倾斜角的取值范围为，故C选项正确；
对于选项D，可知△OBF为等腰直角三角形，，可知点B的横坐标为，联立方程解得点A的横坐标为，由，可知点A为线段BF的中点，选项D正确．
12．AB
当时，，，所以，故A正确；
由题意知，，令，易得在上单调递减，又，，所以，使得，所以当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，所以有且仅有一个极值点．故B正确，C错误；所以，故D错误．故选AB．
13．
，则，则，解得．
14．6
由题意可知，此人每天所走路程构成了公比的等比数列，有，解得，．
15．
记点P到准线l的距离为，到直线的距离为，抛物线的焦点F的坐标为，由，有，由图可知点F到直线的距离d为最小值，可求得，联立方程解得点P的坐标为．
16．
由可得，当时，，有，有，可得数列成等比数列，有，可得．记，有，可得，当时，，有．
17．解：（1）的展开式中，第4项为，……2分
可得，解得，
故正整数n的值为5；……5分
（2）的展开式中第项为，
其中，1，2，3，4，5，……7分
令，可求得，……9分
故展开式中的的系数为．……10分
18．解：（1）将甲、乙、丙三人看成一个人，排法有（种）；……4分
（2）选两个唱歌节目排在首尾，剩下的4个节目在中间排列，排法为（种）；……8分
（3）问题可以分成两类：
第一类2名男生和2名女生参加，有种选法，
第二类3名男生和1名女生参加，有种选法，
依据分类计数原理，共有80种选法．……12分
19．（1）证明：如图，连接OC，
在Rt△BCD中，由可得，
∵，，
∴，，……2分
∵，，，∴，
∴，……4分
∵，，BD，平面ABCD，，
∴平面ABCD；……6分
（2）解：由（1）和等腰三角形BCD可知，OC，OB，OP两两垂直，以O为坐标原点，向量，，方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
可得，，，，，
又由，有，可得点A的坐标为，……7分
设平面PBC的法向量为，
由，，有
取，，，可得平面PBC的一个法向量为．……9分
设平面PAD的法向量为，
由，，有取，，，可得平面PAD的一个法向量为．……11分
由，，，可得平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．……12分
20．解：（1）可化为，……2分
有，可得数列是以1为首项，1为公差的等差数列，……5分
有，
可得数列的通项公式为；……6分
（2）由，……9分
有．……12分
21．证明：（1）若，，，
，
当时，则在上单调递减，，，
∴在上存在唯一零点；
（2），……6分
令，若，，……8分
令，则，
令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，……9分
所以，所以在上恒成立，……10分
所以．……12分
22．解：（1）设点A的坐标为，可得点C的坐标为，……1分
由点A在椭圆上有，可得，……2分
点P的坐标为，由，，……3分
有，
故的值为；……4分
（2）直线AP的方程为，
联立方程消去y可得，解得或，点A的横坐标为，……6分
联立方程消去y可得，解得或，点B的横坐标为，……8分
有；……9分
同理，……10分
可得，
故的值为．……12分
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