广东省惠州市惠阳区2022-2023学年高一下学期4月第一次段考数学试题（含解析）

惠州市惠阳区2022-2023学年高一下学期4月第一次段考
数学试题
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，若，则（ ）
A．1 B．5 C．－1 D．－5
3．已知向量满足，且，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．将函数的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为（ ）
A． B．
C． D．
5．设平面向量，，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．或
7．如图所示，矩形的对角线相交于点，为的中点，若，则等于（ ）．
A． B． C．1 D．
8．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设大正方形的面积为，小正方形的面积为，且，则（ ）
A． B．
C．2 D．3
二、多选题
9．下列各式中，值为的是（ ）
A． B． C． D．
10．设，，是任意的非零向量，则下列叙述正确的有（ ）
A．若，，那么
B．若，则.
C．如果与是共线向量，那么有且只有一个实数，使.
D．有且只有一对实数，，使.
11．（多选）已知向量，，和实数，则下列各式一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，则（ ）
A．的最小正周期为
B．的一个对称中心坐标为
C．的图象可由函数的图象向左平移个单位得到
D．在区间上单调递减
三、填空题
13．化简：=__________．
14．若的三个顶点,则顶点的坐标为________.
15．已知平面向量，则向量与的夹角为__________.
16．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为，若，则________．
四、解答题
17．已知角的终边经过点．
(1)求的值；
(2)求的值．
18．设是两个相互垂直的单位向量，且
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，求的值．
19．已知向量，，与的夹角为.
(1)求；
(2)求.
20．已知，为第二象限角．
(1)求的值；
(2)求的值．
21．已知函数．
(1)求函数的最小正周期;
(2)将函数的图象向右平移个单位,在纵坐标不变的前提下,横坐标缩短为原来的,得到函数的图象,求函数在上的最值．
22．已知函数在一个周期内的图像如图所示.
(1)求函数的解析式；
(2)设，且方程有两个不同的实数根，求实数的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】求出，利用并集概念进行求解.
【详解】，故.
故选：C
2．A
【分析】根据向量平行列方程，化简求得的值.
【详解】，
由于，所以.
故选：A
3．C
【分析】向量在向量上的投影向量的定义计算即可.
【详解】解：因为向量，且，那么，
所以向量在向量上的投影向量为，
故选：C.
4．D
【分析】根据三角函数图象的变换关系求解.
【详解】函数的周期为，
图象向右平移个周期，即平移后，
所得图象对应的函数为，
即．
故选:D.
5．B
【分析】根据，可得，从而可求出，再根据向量的模的计算公式计算即可.
【详解】解：因为，
所以，即，解得，
则，
所以.
故选：B.
6．A
【解析】先利用平方关系求出，，再利用两角差的余弦公式将展开计算，根据余弦值及角的范围可得角的大小.
【详解】∵，，，
∴，，
∴ .
又∵，∴，
∴，
∴.
故选：A.
【点睛】本题考查两角和的余弦公式的应用，属于基础题.
7．A
【分析】利用向量的线性运算结合平面向量基本定理可求的值.
【详解】由平面向量基本定理，
化简
，
所以，即，
故选：A．
8．B
【解析】设大正方形的边长为，则由已知条件可得小正方形的边长为，设为，在中，由勾股定理得， ，可求得，所以
【详解】解：设大正方形的边长为，
因为，所以，得，
所以小正方形的边长为，
所以，
设为，则，
在中，由勾股定理得，
所以，
解得或（舍去），
所以
故选：B
9．ABD
【分析】根据诱导公式可判断A；由二倍角的正弦公式可计算B；由二倍角的余弦公式可判断C；由诱导公式可计算D.
【详解】对于A：，所以A正确
对于B：，所以B正确
对于C：，所以C不正确
对于D：，所以D正确，
故选：ABD.
10．AC
【解析】A选项中由平行的传递性判定；B选项中考虑特殊向量判定；C选项中由向量的共线定理判定 ；D选项中由基底需满足不共线判定.
【详解】A选项由平面向量平行的传递性可知成立；
B选项中若，则错误；
C选项是向量的共线定理成立；
D选项中若要使用作为基底，必须满足不共线，错误.
故选：AC
【点睛】本题考查了平面向量平行的判定，数量积运算法则，向量的共线定理，还考查了向量中基底成立的条件，属于简单题.
11．ABC
【分析】根据数量积的运算律逐个选项判断即可.
【详解】由向量数量积的运算律可知ABC正确.
对于D，令，，则，而，，均为任意向量，所以不一定成立.
故选：ABC
12．ABD
【分析】首先化简，根据周期公式即可判断A，代入检验即可判断B，通过三角函数的平移原则即可判断C，求出结合正弦函数的单调性即可判断D.
【详解】对A，，
由周期公式可得,A正确；
对B，因为,故为对称中心，B正确；
对C，的图象向左平移个单位得到，C错误;
对D，当，，
根据正弦函数的图象与性质可知，在单调递减,故D正确.
故选：ABD.
13．
【分析】利用向量的运算法则进行适当组合与变形，完后利用加法、减法的几何意义化简得出．
【详解】[解法一]原式 ．
[解法二] 原式.
故答案为：．
14．
【解析】由可得,进而求解即可
【详解】由题,因为,所以,
设,所以,,
所以,即,
故答案为:
【点睛】本题考查相等向量在平行四边形中的应用,考查向量的坐标表示
15．
【分析】根据结合数量积的坐标运算即可得解.
【详解】因为，
所以，
因为，
所以.
故答案为：.
16．
【解析】由已知利用同角三角函数的平方关系可求，然后利用降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式化简即可．
【详解】根据题意，且，，
化简 .
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了同角三角函数的平方关系，降幂公式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
17．(1)；
(2).
【分析】（1）利用三角函数的定义即可求解；
（2）三角函数的定义求出的值，再根据诱导公式，即可求出结果．
【详解】（1）点P到坐标原点的距离．
∵，
∴，
∴．
（2）由三角函数的定义，可得，
∴．
18．（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ），则存在唯一的使，解得所求参数的值；
（Ⅱ）若，则，解得所求参数的值．
【详解】解：（Ⅰ）若，则存在唯一的，使，
，
当时，；
（Ⅱ）若，则，
因为是两个相互垂直的单位向量，
当时，.
【点睛】本题考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式的应用．
19．(1)
(2)
【分析】（1）由，结合，即可求解；
（2）由，即可求解.
（1）
解：由题意，向量，，与的夹角为，
可得，
又由.
（2）
解：因为向量，，且，
所以.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据同角三角函数结合已知得出，即可根据二倍角的正弦公式代入数值得出答案；
（2）根据两角和差的余弦公式代入数值得出答案.
【详解】（1），为第二象限角，
，
则；
（2）.
21．(1)
(2)最小值为,最大值为1
【分析】（1）根据半角公式及辅助角公式对进行化简,再根据最小正周期公式求得即可;
（2）先根据图象变换将解析式求出,再根据求得中相位的范围,进而求得的值域即可.
【详解】（1）解:由题知,
即,
所以的最小正周期;
（2）由（1）知,
将函数的图象向右平移个单位可得: ,
再由纵坐标不变,横坐标缩短为原来的可得: ,
故,
因为,所以,
所以,
故,
故最小值为,最大值为1.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根据图像可知，再通过图像求出周期，进而求出，再代入点，求解即可；（2）令，则，作出函数的图像，数形结合即可求解.
【详解】（1）显然，又，所以，
所以，又函数过点，所以，
所以，又，所以，
所以所求的函数的解析式为.
（2），且方程有两个不同的实数根，
即与的图像在内有两个不同的交点，
令，则，作出函数的图像如下：
由图像可知：与的图像在内有两个不同的交点时，
，故实数的取值范围为.