2023届高三下学期4月高考数学（理）考前冲刺训练（广西适用）（含答案）

2023年高考考前冲刺训练（广西适用）
理科数学
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2022·玉林模拟)已知i是虚数单位，若复数z＝(i＋1)2，则|z|等于(　　)
A．2 B. C．3 D．4
2．(2022·宝鸡模拟)已知全集为U，集合A，B为U的子集，若( UA)∩B＝ ，则A∩B等于(　　)
A． UB B． UA C．B D．A
3．(2022·西安模拟)由1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是奇数的概率是(　　)
A. B. C. D.
4．(2022·衡阳模拟)已知sin＝，则cos x等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
5．在1859年的时候，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想．在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x的素数个数可以表示为π(x)≈的结论．若根据欧拉得出的结论，估计105以内的素数的个数为(素数即质数，lg e≈0.434 3，计算结果取整数)(　　)
A．2 172 B．4 343 C．869 D．8 686
6．(2022·广州模拟)(x＋3y)(x－2y)6的展开式中x5y2的系数为(　　)
A．60 B．24 C．－12 D．－48
7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知b＝1，C＝，△ABC的面积为2，则边长a等于(　　)
A．4 B．4 C．5 D．5
8．(2022·毕节模拟)设有下列四个命题：
p1：“ x0<0，使得ln(x0＋1)<0”的否定是“ x≥0，都有ln(x＋1)≥0”；
p2：若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0；
p3：函数y＝f(2－x)的图象可由y＝f(－x)的图象向右平移2个单位长度得到；
p4：若幂函数y＝xn的图象与坐标轴没有公共点，则n<0.
则下列命题中真命题是(　　)
A．p1∨p4 B．( ┐p2 )∧p3
C．p1∨( ┐p3 ) D．p2∧( ┐p4 )
9．已知函数f(x)＝sin，将函数f(x)的图象先向右平移φ(0<φ≤π)个单位长度，再将所得函数图象上所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的倍，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上没有零点，则φ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
10．(2022·金昌模拟)元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走．遇店添一倍，逢友饮一斗．”基于此情景设计了如图所示的程序框图，若输入x＝2，输出x＝33，则判断框中可以填(　　)
A．k>4 B．k>5 C．k>6 D．k>7
11．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，BF2的延长线交C于Q，|BQ|＝|F1Q|，则C的离心率e等于(　　)
A. B. C. D.
12．(2022·安庆模拟)若过点(a，b)(a>0)可以作曲线y＝xex的三条切线，则(　　)
A．0C．0二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2022·渭南模拟)已知{an}为等差数列，其公差为2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，则S10的值为________．
14．(2022·泰安模拟)如图，在四边形ABCD中，＝3，E为边BC的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.
15．已知在正四面体P－ABC中，AB＝3，记以PA为直径的球为球O，则平面ABC截球O所得截面的面积为________．
16．若x(ex＋a)≥ln x＋1对任意x>0恒成立，则实数a的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答)
(一)必考题：共60分．
17．(12分)《中共中央国务院关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》明确提出，支持脱贫地区乡村特色产业发展壮大，加快脱贫地区农产品和食品仓储保鲜、冷链物流设施建设，支持农产品流通企业、电商、批发市场与区域特色产业精准对接．当前，脱贫地区相关设施建设情况如何？怎样实现精准对接？未来如何进一步补齐发展短板？针对上述问题，假定有A，B，C三个解决方案，通过调查，发现有的受调查者赞成方案A，有的受调查者赞成方案B，有的受调查者赞成方案C，现有甲、乙、丙三人独立参加投票(以频率作为概率)．
(1)求甲、乙两人投票方案不同的概率；
(2)若某人选择方案A或方案B，则对应方案可获得2票，选择方案C，则方案C获得1票，设X是甲、乙、丙三人投票后三个方案获得票数之和，求X的分布列和均值．
18．(12分)已知数列{an}满足＋＋…＋＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意的n∈N*，令bn＝求数列{bn}的前n项和Sn.
19．(12分)(2022·绵阳模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA＝AB＝BC＝2，AD＝4，E为棱PD的中点，F是线段PC上一动点．
(1)求证：平面PBC⊥平面PAB；
(2)若直线BF与平面ABCD所成角的正弦值为，求二面角F－EA－D的余弦值．
20．(12分)(2022·广安模拟)已知P为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，|PF1|＋|PF2|＝4，且椭圆离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过F1的直线l交椭圆于A，B两点，点C与点B关于x轴对称，求△AF1C面积的最大值．
21．(12分)(2022·龙岩模拟)已知函数f(x)＝axln x＋1，g(x)＝(a－2)x2－3ex－2＋2xln x＋1，a∈R.
(1)当a＝3时，判断函数f(x)的零点个数；
(2)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
(二)选考题(共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分)
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22．(2022·马鞍山模拟)在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＝8sin θ.
(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
(2)已知点M(－，1)，曲线C1与C2相交于A，B两点，求.
[选修4—5：不等式选讲]
23．(2022·桂林模拟)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|，x∈R.
(1)画出f(x)的图象，若g(x)＝x＋m与y＝f(x)的图象有三个交点，求实数m的取值范围；
(2)已知函数f(x)的最大值为n，正实数a，b，c满足＋＝n，求证：a＋2b＋3c≥3.
参考答案
1．A　2.C　3.D　4.A　5.D　6.B
7．A　[因为S△ABC＝absin C＝2，
所以asin ＝2，
则a＝4.]
8．B　[命题“ x0<0，使得ln(x0＋1)<0”的否定是“ x<0，都有ln(x＋1)≥0”，
所以命题p1为假命题；
若函数f(x)是奇函数，只有当在x＝0上有定义时，才有f(0)＝0，
所以命题p2为假命题，则命题┐p2为真命题；
将函数y＝f(－x)的图象向右平移2个单位长度，可得y＝f(－(x－2))＝f(2－x)，
所以命题p3为真命题，命题┐p3为假命题；
当n＝0时，幂函数y＝xn的图象与坐标轴没有公共点，
所以命题p4为假命题，则┐p4为真命题；
根据复合命题的真假判定方法，可得命题p1∨p4，p1∨(┐p3)和p2∧(┐p4)都是假命题；
命题(┐p2)∧p3为真命题．]
9．D　[f(x)＝sin＝cos x，
将函数f(x)的图象先向右平移
φ(0<φ≤π)个单位长度，
可得y＝cos(x－φ) ，
再将所得函数图象上所有点的纵坐标保持不变，
横坐标变为原来的倍，
得到g(x)＝cos(2x－φ)，
由x∈，
设t＝2x－φ，
则t∈且0<φ≤π，
则－≤－φ<，0≤π－φ<π，
因为函数g(x)在上没有零点，
即y＝cos t在上没有零点．
所以π－φ≤，
解得φ≥，
所以≤φ≤π.]
10．B　[根据框图可得
开始 循环1 循环2 循环3 循环4 循环5
x 2 3 5 9 17 33
k 1 2 3 4 5 6
输出x＝33，则k＝6，此时跳出循环．]
11．D　[由椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B，
可得B(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)．
如图所示．
|BF1|＝|BF2|＝a，
|OF1|＝|OF2|＝c.
设|QF2|＝m，
则|F1Q|＝|BQ|＝a＋m.
由椭圆的定义可得
|F1Q|＋|F2Q|＝2a，
即a＋m＋m＝2a，解得m＝a.
所以在△BQF1中，|BF1|＝a，
|BQ|＝a，|F1Q|＝a，
所以cos∠QBF1＝
＝＝.
在△BF1F2中，|BF1|＝|BF2|＝a，
|F1F2|＝2c，
所以cos∠F2BF1＝cos 2∠OBF1
＝2cos2∠OBF1－1＝22－1.
所以22－1＝，
即2＝，
所以e2＝＝1－＝，
所以e＝.]
12．D　[由题可得y′＝(x＋1)ex，
设切点坐标为(x0，x0)，
则(x0＋1)＝ ，
整理得(x－ax0－a)＝－b，
由题意知关于x0的方程(x－ax0－a)＝－b有三个不同的解，
设f(x)＝(x2－ax－a)ex，
则f′(x)＝(x＋2)(x－a)ex，
由f′(x)＝0，得x＝－2或x＝a，
又a>0，
所以当x<－2时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
当－2当x>a时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
又当x→－∞时f(x)→0，
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，且f(－2)＝>0，f(a)＝－aea<0，
所以函数f(x)的大致图象如图所示，
因为f(x)的图象与直线y＝－b有三个交点，
所以0<－b<，
即－(a＋4)13．－110　14.
15.
解析　如图，取BC的中点D，连接AD，过点P作PE⊥平面ABC于点E，
由正四面体P－ABC的特征可知，
点E为AD上靠近点D的三等分点．
因为PA为球O的直径，PE⊥平面ABC，∠AEP＝90°，
所以平面ABC截球O所得截面的直径为AE.
因为AB＝3，
所以AE＝AD＝×＝，
故平面ABC截球O所得截面面积为π×2＝.
16．[－1，＋∞)
解析　由x(ex＋a)≥ln x＋1可得ax≥ln x＋1－xex，
因为x>0，
所以a≥
＝恒成立．
令f(x)＝ex－x－1，
则f′(x)＝ex－1，
当x<0时，f′(x)<0；
当x>0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
所以f(x)≥f(0)＝0，
即ex≥x＋1(当且仅当x＝0时取等号)，
故ex＋ln x≥x＋ln x＋1，
当且仅当x＋ln x＝0时取等号．
在同一平面直角坐标系中画出
y＝ln x与y＝－x的图象，
如图所示，
可知两函数在
(0,1)之间有一个交点，
故存在x0∈(0,1)，
使得x＋ln x＝0成立，
故
≤＝－1，
当且仅当x＝x0时等号成立，
故a≥－1，即实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
17．解　(1)因为甲、乙两人投票方案相同的概率为
×＋×＋×＝，
所以甲、乙两人投票方案不相同的概率为1－＝.
(2)X的所有可能取值为3,4,5,6，
因为P(X＝3)＝3＝，
P(X＝4)＝C×2×
＝＝，
P(X＝5)＝C××2
＝＝，
P(X＝6)＝C×3＝，
所以X的分布列如下：
X 3 4 5 6
P
所以E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝.
18．解　(1)当n＝1时，得＝，
解得a1＝1；
当n≥2时，
可得＋＋…＋＝，①
＋＋…＋＝，②
由①－②，得＝－＝，
则an＝2－n，
当n＝1时，a1＝2－1＝1也符合上式，
所以数列{an}的通项公式为
an＝2－n.
(2)bn＝
当n为偶数时，
Sn＝[1＋(－1)＋(－3)＋…＋2－(n－1)]＋(20＋2－2＋…＋22－n)
＝＋
＝＋
＝－；
当n为奇数时，
Sn＝Sn＋1－bn＋1
＝－
－21－n
＝－.
综上所述，Sn＝
19．(1)证明　因为AB⊥AD，BC∥AD，则BC⊥AB，
因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
所以BC⊥PA，
因为PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，
又因为BC 平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAB.
(2)解　易知AB，AD，AP两两垂直，
以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,4,0)，E(0,2,1)，P(0,0,2)，
设＝λ＝λ(2,2，－2)＝(2λ，2λ，－2λ)，＝＋＝(2λ－2,2λ，2－2λ)，其中0≤λ≤1，
易知平面ABCD的一个法向量为
u＝(0,0,1)，
由已知可得|cos〈u，〉|＝＝＝，
解得λ＝，
所以F为PC的中点，即F(1,1,1)，
设平面AEF的法向量为m＝(x，y，z)，
＝(0,2,1)，＝(1,1,1)，
则取y＝1，
可得m＝(1,1，－2)，
易知平面ADE的一个法向量为n＝(1,0,0)，
所以cos〈m，n〉＝＝＝，
由图可知，二面角F－EA－D的平面角为钝角，
故二面角F－EA－D的余弦值为－.
20．解　(1)由P为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，|PF1|＋|PF2|＝4，
可得2a＝4，
所以a＝2，
又e＝＝，
则c＝×a＝2，
所以b2＝a2－c2＝4，
故椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意可知，过F1的直线l的斜率存在且不为0，
可设其方程为y＝k(x＋2)(k≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则C(x2，－y2)，
由
得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－8＝0，
则
所以
＝|2y2||x1－x2|－|2y2||－2－x2|
＝|y2||(x1－x2)－(－2－x2)|
＝|y2||x1＋2|
＝|k(x2＋2)(x1＋2)|
＝|k[x1x2＋2(x1＋x2)＋4]|
＝
＝＝
＝
≤＝，
当且仅当k＝±时，等号成立．
所以△AF1C面积的最大值为.
21．解　(1)当a＝3时，f(x)＝3xln x＋1，f′(x)＝3(ln x＋1)，
由f′(x)>0，得x>；
由f′(x)<0，得0∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴f(x)min＝f ＝<0，
又f ＝>0，f(1)＝1>0，
∴f ·f <0，f ·
f(1)<0，
∴f(x)在，上各有1个零点，
∴函数f(x)有2个零点．
(2)∵f(x)≥g(x)恒成立，
即axln x≥(a－2)x2－3ex－2＋2xln x，
∴aln x≥(a－2)x－＋2ln x，
∴a(x－ln x)≤＋2(x－ln x)，
∴a(x－ln x)≤3ex－ln x－2＋2(x－ln x)，
令x－ln x＝t，
t′＝1－＝(x>0)，
由t′>0，得x>1；
由t′<0，得0∴当x＝1时，tmin＝1，∴t≥1，
则a≤3·＋2对t≥1恒成立，
记h(t)＝(t≥1)，
h′(t)＝
＝，
∵t≥1，∴h′(t)≥0，
∴h(t)在[1，＋∞)上为增函数，
∴h(t)≥h(1)＝，
∴a≤＋2.
22．解　(1)曲线C1的参数方程为
(t为参数)，
消去参数 t 得曲线C1的普通方程为x－y＋2＝0.
曲线C2的极坐标方程为
ρcos2θ＝8sin θ，
根据
得曲线C2的直角坐标方程为
x2＝8y.
(2)曲线C1的参数方程为
(t为参数)，
转换为标准式为
(t′为参数)，代入x2＝8y，
得到t′2－7t′－5＝0，
所以t′1＋t′2＝，t′1t′2＝－.
故
＝
＝＝.
23．(1)解　当x≤－1时，f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝－x－1＋x－2＝－3，
当－1当x≥2时，f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝x＋1－x＋2＝3，
则f(x)＝
画出f(x)的图象如图①所示，
g(x)＝x＋m可以看成y＝x向上或向下平移得到，如图②所示，
由图可知，实数m的取值范围为(－2，1)．
(2)证明　由(1)可知函数f(x)的最大值为3，则n＝3，
即＋＝3，
由柯西不等式得
a＋2b＋3c＝·[(a＋c)＋(2b＋2c)]
≥
2＝3，
故a＋2b＋3c≥3.