湖北省部分省级示范高中2022～2023学年下学期高二期中测试
数学试题答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C C A C D A B D ABD AB BCD BD
13、35 14、7 15、 16、820
17.（1）证明：当时，由，得，所以.
又，故是首项为2，公差为2的等差数列.--------------------------------------------------（5分）
（2）由（1）可得
当时，.
当时，不适合上式，故------------------------------------------------（10分）
18.解：（1）男生女生分别捆绑作为两个整体全排列，内部也分别排列，有种；（4分）
（2）先排4名男生，3名女生插在男生中间3个空档里，方法数为种；--------------------（8分）
（3）甲、乙二人，从左向右和从右向左的排法相同，方法数为种．--------------------------（12分）
19.解：（1）由可得：----------------------------------（2分）
--------------------------------------------------------------（4分）
，
所以数列是首项为，公比为的等比数列.------------------------------------------------------------（6分）
（2）由（1）可得，--------------------------------------------------------（8分）
设数列的前项之和为
------（10分）
若函数单调递增，------------------------------------------（11分）
满足条件的最大整数的值为81.---------------------------------------------------------------------------------（12分）
20.解：（1）函数的定义域为.
.---------------------------------------------------------------------------------------------------------（1分）
令，解得.--------------------------------------------------------------------------------------------（2分）
的变化情况如表所示.
0
单调递减 单调递增
从上表可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增;---------------（4分）
的极小值点为，无极大值点.-----------------------------------------------------------------------（6分）
（2）令，解得.当时，；当时，.
又的图象经过特殊点
当时，，当时，
根据以上信息，作出的大致图象如图所示：
------------------------------------------------------------------------（8分）
关于的方程的解的个数为函数的图象与直线的交点个数.------------------（9分）
由（1）及图可得，当时，有最小值.----------------------------------------------（10分）
所以，关于的方程有不同的两个解，实数的取值范围为.--------------------（12分）
21.解：（1）由已知有
，--------------------------------------------（2分）
-------------------------------（5分）
又，，
又当时也适合上式，所以.--------------------------------------------------------（6分）
（2）由（1）可知，----------------------------------------------------------------------------（7分）
，其中，记------------------（8分）
则①
②
②得：，---------------------------------------（10分）
，------------------------------------------------------------------------------------------------------（11分）
.----------------------------------------------------------------------------------------------（12分）
22.解：（1）函数在区间上是单调递增函数，
，恒成立，
转化为：恒成立，----------------------------------------------------------------------（2分）
令
则..---------------------------------------------（3分）
实数的取值范围是；-------------------------------------------------------------------------------------（4分）
（2）证明：依题意在区间上有两个不相等的实数根，
即方程在区间上有两个不相等的实数根，-------------------------------------（5分）
记，
则，解得，--------------------------------------------------------------------------------------（6分）
.-----------------------（7分）
--------------------------------------------------------------（8分）
令 ----------------（9分）
记
，因此函数存在唯一零点，
从而
而
函数上单调递减，，
可得：-------------------------------------------------（11分）
，故.---------------------------------------------------------------------------（12分）湖北省部分省级示范高中２０２２~２０２３学年下学期期中测试
高二数学试卷
一、单选题:本题共８小题,每小题５分,共４０分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
３A３ ３
１．计算 ５
＋４C６ ( )
３! ＝ ．
７０ １００ １３０ ２６０
A．３ B．３ C．３ D．３
２．“a３＋a７＝２a５”是“数列{an}为等差数列”的( )．
A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
f(１－Δx) f()
３．设函数f (x) 在
－ １
x＝１处的导数为２,则lim ＝( )．
Δx→０ ３Δx
２ ２
A．－３ B．３ C．－２ D．２
４．记Sn 为数列{an}的前n 项和,给出以下条件,其中一定可以推出数列{an} 为等比数列的条件是
( )．
A．Sn＝２n＋２ B．an＋１＝２an C．Sn＝２an－１ D．{Sn}是等比数列
５．武汉市第二十三中学“艺术节”举办一场文艺汇演,有６个不同的节目要分配给高一年级的７班、
８班、９班、１２班４个班级做准备,其中两个班级各分配２个节目,另两个班级各分配１个节目,共
有多少种不同的分配方式( )．
A．１４４ B．１８０ C．９６０ D．１０８０
６．如图展示的是一个树形图的从上至下的前６行生长过程,依据图中所示的生长
规律,第１０行的圆点个数是( )．
A．５５ B．３４
C．２１ D．１３ 第６题图
７．已知
eln２
a＝ ,
３ ４
２ b＝
,c＝ ３ (其中e为自然常数),则a、b、c的大小关系为
２e ３e
( )．
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
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８．若直线x＋y＋a＝０是曲线f(x)＝x３＋bx－１４与曲线g(x)＝x２－３lnx 的公切线,则a－b＝
( )．
A．２６ B．２３ C．１５ D．１１
二、多选题:本题共４小题,每小题５分,共２０分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.
全部选对的得５分,部分选对的得２分,有选错的得０分.
９．一箱产品共有１６件,其中有１４件合格品,２件次品,从这１６件产品中任意抽取３件,则抽出的３
件产品中至少有１件次品的抽法表述正确的是( )．
A．C１２ C２１４＋C２２ C１ ３１４ B．C１６－C３１４
C．C１ C２ １ ２ ２ １２ １５ D．C２ C１５－C２ C１４
１０．记Sn 为等比数列{an}的前n 项和,则( )．
A．{１}是等比数列a B．{anan＋１}是等比数列n
C．Sn,S２n,S３n成等比数列 D．Sn,S２n－Sn,S３n－S２n成等比数列
２
１１．设等差数列 {an} 的前n 项和为S ,且S ＝ S ,S ＝２８,记T 为数列 {１n ４ ５ ７ n } 的前n 项和,若３ Sn
Tn＜λ恒成立,则λ的值可以是( )．
A．１ B．２ C．３ D．４
ì x ,
x－１x＜１
１２．已知函数f(x)＝ í ,下列选项正确的是( )．
lnxe
, x x≥１
A．函数f (x) 的单调减区间为(－ ,１)∪(e,＋ )
B．函数f (x) 的值域为(－ ,１]
C．若关于x 的方程f２(x)－af(x)＝０有３个不相等的实数根,则实数a 的取值范围是 (０,１)
D．若关于x 的方程f２(x)－a f(x)＝０有６个不相等的实数根,则实数a的取值范围是 (０,１)
三、填空题:本题共４小题,每小题５分,共２０分.
１３．有５个编了号的抽屉,要放进８个相同的小球,每个抽屉不空的放法共有 种．
１４．已知数列
n－２
{an}的通项公式为an ＝ ,其前 项和为 ,则 取得最小值时 的值为２n－１５ n Sn Sn n
．
已知函数 ( )满足 ( ) (π) π１５． f x f x ＝f′ ４ sinx－cosx
,则f(x)在x＝ 处的导数为３ ．
１６．已知数列{a nn}满足an＋１＋(－１)an＝２n－１,则{an}的前４０项的和为 ．
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四、解答题:本题共６小题,共７０分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
１７．(１０分)若数列
１
{an}的前n 项和为Sn,且满足an＋２SnSn－１＝０(n≥２),a１＝２．
(１)求证:数列{１S }为等差数列;n
(２)求数列{an}的通项公式．
１８．(１２分)有７名学生站在一排,其中女生３名、男生４名,请按要求完成下列问题．
(１)如果所有男生站在一起并且所有女生站在一起,那么有多少种排法
(２)如果男生、女生相间站一排,那么有多少种排法
(３)如果男生中的甲和女生中的乙从左到右顺序一定,那么有多少种排法
１９．(１２分)
２a
已知数列{an}的首项
２
a１＝ ,且满足３ an＋１＝
n
１＋a ．n
(１)求证:数列{１－１}为等比数列;an
( １ １ １ １２)若a ＋a ＋a ＋
＋ ,求满足条件的最大整数
１ ２ ３ a ＜８２ n．n
２０．(１２分)给定函数f(x)＝(x＋１)ex．
(１)求函数f(x)的单调区间,并求出f(x)的极值点;
(２)若关于x 的方程f(x)＝a 有两个不同的解,求实数a 的取值范围．
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２１．(１２分)在数列
１
{a }中,已知a ＝ ,a ＝ １
n＋１
n １ ÷２ n＋１ １＋n an＋ ３n ．è
( a１)设b ＝ nn ,求数列{n bn
}的通项公式;
(２)求数列{an}的前n 项和Sn．
２２．(１２分)已知函数f(x)＝x２＋aln(x＋１)．
(１)若函数 ＝ é１ y f(x)在区间 êê ,＋ ÷ 内是单调递增函数,求实数２ a
的取值范围;
()若函数 ２２ y＝f(x)有两个极值点x１,x２,且x１＜x２,求证:x１ln ＜f(x２)＜０．
e
(注:e为自然对数的底数)
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