冀教新版八年级上册数学第12章分式和分式方程 单元测试卷（含解析）

冀教新版八年级上册数学《第12章 分式和分式方程》单元测试卷
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．约分的结果是（　　）
A． B． C． D．
2．下列代数式中，属于分式的是（　　）
A．5x B． C． D．﹣2x2
3．计算﹣的结果是（　　）
A． B．﹣ C． D．﹣
4．下列关于x的方程，是分式方程的是（　　）
A．﹣3＝ B． x﹣y＝5 C．＝+ D．＝1﹣
5．若分式方程＝2﹣有增根，则m的值为（　　）
A．﹣1 B．3 C．1 D．﹣3
6．《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（　　）
A．＝2× B．＝2×
C．＝2× D．＝2×
7．计算的结果为（　　）
A． B． C．x2y2 D．y2
8．解方程，下面的几种解法中，较简便的是（　　）
A．先两边同乘3 B．先两边同乘2
C．括号内先通分 D．先去括号，再移项
9．方程＝的解为（　　）
A．x＝2 B．x＝﹣4 C．x＝4 D．x＝﹣2
10．某飞行器在相距为m的甲、乙两站间往返飞行．在没有风时，飞行器的速度为v．往返所需时间为t1；如果风速度为p（0＜p＜v），则飞行器顺风飞行速度为（v+p），逆风飞行速度为（v﹣p），往返所需时间为t2．则t1、t2的大小关系为（　　）
A．t1＜t2 B．t1≤t C．t1≥t2 D．无法确定
11．若分式的值为正数，则x的取值范围是（　　）
A．x＞﹣2 B．x＜1 C．x＞﹣2且x≠1 D．x＞1
12．已知x＞0，y＞0且，则的值为（　　）
A． B． C．或1 D．4
二．填空题（共12小题，满分36分）
13．等式成立的条件是 　 　．
14．分式有意义的条件是 　 　．
15．用换元法解方程，设＝y，则得到关于y的整式方程为 　 　．
16．将分式化为最简分式，所得结果是 　 　．
17．分式方程的解是 　 　．
18．计算：÷＝　 　．
19．把分式进行通分时，最简公分母为 　 　．
20．已知a1＝x+1（x≠0，且x≠﹣1），a2＝，a3＝，…，an＝．若a2022的值为2022，则x的值为 　 　．
21．已知关于x的方程+＝的解为负数，则a的取值范围是 　 　．
22．已知甲车辆行驶360km与乙车辆行驶480km所用的时间相同，乙车辆的速度比甲车辆的速度快20km/h．问甲、乙两车辆的速度各是多少？设甲车辆速度为xkm/h，根据题意，可列方程为 　 　．
23．解关于x的方程时若产生增根，则m的值等于 　 　．
24．核酸检测是疫情防控的“监测网”，开展全员核酸检测是快速发现病毒感染者、有效切断传播途径、防止疫情扩散的最重要手段．为尽快完成检测任务，某地组织甲、乙两支医疗队，分别开展检测工作，甲队比乙队每小时多检测20人，甲队检测600人比乙队检测500人所用的时间少10%，则甲队每小时检测 　 　人．
三．解答题（共6小题，满分78分）
25．先约分，再求值：，其中a＝﹣2，b＝．
26．阅读下列解题过程，并完成问题：
若＝﹣2，求的值．
解：因为＝﹣2，所以a＝﹣2b．
所以＝＝＝．
（1）解题过程中，由得，是对分式进行了 　 　；
（2）已知＝，求的值；
（3）已知＝＝≠0，求的值．
27．（1）因式分解：3x3﹣12x；
（2）化简：．
28．二十中学开学初在久昌体育购进A、B两种品牌足球，购买A品牌足球花费了2500元，购买B品牌足球花费了2000元，且购买A品牌足球数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多花30元．
（1）求购买一个A品牌、一个B品牌的足球各需多少元；
（2）二十中学为响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A、B两种品牌足球共50个．恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高了8%，B品牌足球按第一次购买时售价的9折出售．如果学校此次购买A、B两种品牌足球的总费用不超过3260元，那么二十中学此次最多可购买多少个B品牌足球？
29．先化简，再求值：，其中．
30．李维家到学校的路程为38km，李维从家去学校总是先乘公交车，下车后再步行2km才能到学校，路途所用的时间共1h，已知公交车的速度是李维步行速度的9倍，求李维步行的速度．
（1）根据题意，甲、乙两名同学分别列出了尚不完整的方程如下：
甲： +＝1
乙：＝9×
①理顺甲、乙两名同学所列方程的思路，请你分别指出未知数x、y表示的意义：
甲：x表示 　 　；
乙：y表示 　 　；
②补全甲、乙两人所列的方程；
（2）求李维步行的速度（写出完整的解答过程）．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．解：＝＝．
故选：A．
2．解：根据分式的定义，可知5x，，﹣2x2都是整式，是分式，
故选：C．
3．解：原式＝
＝
＝
故选：A．
4．解：A．方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
B．方程分母中不含未知数，故不是分式方程；
C．方程分母中不含表示未知数的字母，π是常数，故不是分式方程；
D．方程分母中含未知数x，故是分式方程．
故选：D．
5．解：去分母得：3x＝2（x﹣1）﹣mx，
∵分式方程有增根，
∴x﹣1＝0，即x＝1，
把x＝1代入整式方程得：3＝﹣m，
∴m＝﹣3．
故选：D．
6．解：∵规定时间为x天，
∴慢马送到所需时间为（x+1）天，快马送到所需时间为（x﹣3）天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
∴＝2×．
故选：B．
7．解：
＝
＝y2．
故选：D．
8．解：根据×x＝x，得
较简便的解法为：先去括号，再移项．
故选：D．
9．解：去分母得：5x＝8x﹣12，
解得：x＝4，
检验：把x＝4代入得：x（2x﹣3）≠0，
∴分式方程的解为x＝4．
故选：C．
10．解：∵t1＝，t2＝+＝，
∴t1﹣t2＝﹣＝，
∵0＜p＜v，
∴t1﹣t2＜0，
∴t1＜t2．
故选：A．
11．解：原式＝，
当x≠1时，（x﹣1）2＞0，
当x+2＞0时，分式的值为正数，
∴x＞﹣2且x≠1．
故选：C．
12．解：∵x＞0，y＞0且，
∴，
则2xy＝（x﹣y）2，
∴
＝
＝
＝
＝4．
故选：D．
二．填空题（共12小题，满分36分）
13．解：根据分式的基本性质，等式成立的条件是a≠0．
故答案为：a≠0．
14．解：根据题意得：3+x≠0，
∴x≠﹣3．
故答案为：x≠﹣3．
15．解：设＝y，
∴，，
则原方程为：，
整理得：y2﹣10y﹣6＝0．
故答案为：y2﹣10y﹣6＝0．
16．解：＝＝，
故答案为：．
17．解：根据题意得：x+1＝0且x﹣2≠0，
∴x＝﹣1．
检验：当x＝﹣1时，x﹣2≠0，
∴x＝﹣1是原方程的解．
故答案为：x＝﹣1．
18．解：原式＝÷
＝
＝2．
故答案为：2．
19．解：分式的分母分别是3ab2、2a2、6ab，最简公分母为6a2b2．
故答案为：6a2b2．
20．解：把a1＝x+1代入得；a2＝＝＝﹣，
把a2＝﹣代入得：a3＝＝＝，
把a3＝代入得：a4＝＝＝x+1，
依次类推，结果以x+1，﹣，循环，
∵2022÷3＝674，
∴a2022＝＝2022，
去分母得：x＝2022（x+1），
去括号得：x＝2022x+2022，
解得：x＝﹣．
故答案为：﹣．
21．解：去分母得：x+1+x＝x+a，
解得：x＝a﹣1，
∵分式方程的解为负数，
∴a﹣1＜0且a﹣1≠0且a﹣1≠﹣1，
∴a＜1且a≠0，
∴a的取值范围是a＜1且a≠0，
故答案为：a＜1且a≠0．
22．解：设甲车辆速度为xkm/h，则乙车辆速度为（x+20）km/h，
由题意，得＝．
故答案为：＝．
23．解：去分母得：
x﹣3＝m﹣1，
移项，合并同类项得：
x＝m+2．
∵关于x的方程时若产生增根，
∴m+2＝1，
∴m＝﹣1．
故答案为：﹣1．
24．解：设甲队每小时检测x人，则乙队每小时检测（x﹣20）人，
由题意得：＝×（1﹣10%），
解得：x＝80．
经检验，x＝80是原方程的解，且符合题意．
即甲队每小时检测80人，
故答案为：80．
三．解答题（共6小题，满分78分）
25．解：原式＝，
＝，
＝，
当a＝﹣2，b＝时，
原式＝＝．
26．解：（1）分式的分子、分母都除以b2，
故答案为：约分；
（2）∵＝，
∴b＝2a，
∴原式＝
＝
＝；
（3）设＝k（k≠0），
则x＝3k，y＝4k，z＝6k，
∴原式＝
＝
＝．
27．解：（1）原式＝3x（x2﹣4）
＝3x（x+2）（x﹣2）；
（2）原式＝
＝．
28．解：（1）设购买一个A品牌的足球需要x元，则购买一个B品牌的足球需要（x+30）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，且符合题意，
∴x+30＝50+30＝80．
答：购买一个A品牌的足球需要50元，购买一个B品牌的足球需要80元．
（2）设二十中学此次购买m个B品牌足球，则购买（50﹣m）个A品牌足球，
依题意得：50×（1+8%）（50﹣m）+80×0.9m≤3260，
解得：m≤，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为31．
答：二十中学此次最多可购买31个B品牌足球．
29．解：
＝
＝
＝．
当时，
原式＝．
30．解：（1）①甲所列方程中x表示李维步行速度，
乙所列方程中y表示李维步行的时间，
故答案为：李维步行速度，李维步行的时间；
②甲所列方程为+＝1，
乙所列方程为＝9×；
（2）设李维步行速度为xkm/h，则公交车行驶速度为9xkm/h，
根据题意，得： +＝1，
解得：x＝6，
经检验：x＝6是分式方程的解，
答：李维步行的速度为6km/h．