2023届高三下学期4月高考数学（理）考前冲刺训练（贵州适用）（Word版含答案）

2023年高考考前冲刺训练（贵州适用）
理科数学
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(2022·济南模拟)若复数z＝，则|z－i|等于(　　)
A．2 B. C．4 D．5
2．(2022·成都模拟)设集合A＝{x∈N*|x<3}．若集合B满足A∪B＝{1,2,3}，则满足条件的集合B的个数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．(2022·抚顺六校协作体联考)在轴截面顶角为直角的圆锥内，作一内接圆柱，若圆柱的表面积等于圆锥的侧面积，则圆柱的底面半径与圆锥的底面半径的比值为(　　)
A. B．2 C．2 D.
4．(2022·益阳模拟)若＝，则sin2α－sin αcos α－3cos2α等于(　　)
A. B. C. D.
5．(2022·杭州模拟)已知向量a，b，c满足a＝(3,0)，b＝(0,4)，c＝λa＋(1－λ)b(λ∈R)，则|c|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
6．(2022·中卫模拟)设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P，使得|PF1|＋|PF2|＝2b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B．3 C. D.
7．盒中装有形状、大小相同的球6个，其中红球3个，编号为1,2,3，蓝球3个，编号为4,5,6，从中随机取两球，则两球颜色不同，且编号之和不小于7的概率为(　　)
A. B. C. D.
8．(2022·烟台模拟)将最小正周期为π的函数f(x)＝2sin＋1(ω>0)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的图象的对称中心为(　　)
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
9．(2022·大连模拟)公元1715年英国数学家布鲁克·泰勒在他的著作中陈述了“泰勒公式”，如果满足一定的条件，泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值构建一个多项式来近似表达这个函数．泰勒公式将一些复杂函数近似地表示为简单的多项式函数，使得它成为分析和研究许多数学问题的有力工具，例如：ex＝＝＋＋＋＋…＋＋…，其中x∈R，n∈N，试用上述公式估计的近似值为(精确到0.001)(　　)
A．1.647 B．1.649 C．1.645 D．1.646
10．(2022·南通模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1且S＝anSn－an(n≥2)，则S10等于(　　)
A．－ B. C. D.
11．(2022·盐城模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝，c＝3，asin B＝.D，E分别为线段AB，AC上的动点，＝，则DE的最小值为(　　)
A. B. C. D.
12．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x－2)，且当x∈(－2,2]时，f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－|logax|(a>1)在x∈(0,5)上有四个零点，则实数a的取值范围为(　　)
A．(3,4]∪(5，＋∞) B．[3,4)∪(5，＋∞)
C．(3,4]∪[5，＋∞) D．(3,4)∪(5，＋∞)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．(2022·宜宾模拟)执行如图所示的程序框图，若输入n的值为5，则输出S的值为________．
14．二项式(－)5的展开式中含x2的项的系数是________．(用数字作答)
15．若a>0，b>0且2ab＝2a＋b＋3，则2a＋b的最小值为________．
16．已知函数f(x)＝2－，若不等式f(ax)＋f ≥2对 x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答)
(一)必考题：共60分．
17．(12分)(2022·成都模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，＝an＋1－n－1，n∈N*.
(1)证明为等差数列，并求{Sn}的通项公式；
(2)若cn＝(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和Tn.
18．(12分)(2022·张家口模拟)中医药传承数千年，治病救人济苍生．中国工程院院士张伯礼在接受记者采访时说：“中医药在治疗新冠肺炎中发挥了核心作用，能显著降低轻症病人发展为重症病人的几率．对改善发热、咳嗽、乏力等症状，中药起效非常快，对肺部炎症的吸收和病毒转阴都有明显效果．”现有6位症状相同的患者，平均分成A，B两组，A组服用甲种中药，B组服用乙种中药．服药一个疗程后，A组中每人康复的概率都为，B组3人康复的概率分别为，，.
(1)设事件C表示A组中恰好有1人康复，事件D表示B组中恰好有1人康复，求P(CD)；
(2)若服药一个疗程后，每康复1人积2分，假设认定：积分期望值越高药性越好，请问甲、乙两种中药哪种药性更好？
19．(12分)(2022·赣州模拟)如图1，已知等边△ABC的边长为3，点M，N分别是边AB，AC上的点，且满足＝2，＝＋，如图2，将△AMN沿MN折起到△A′MN的位置．
(1)求证：平面A′BM⊥平面BCNM；
(2)若四棱锥A′－BCNM的体积为，求二面角B－A′C－N的余弦值．
20．(12分)已知B(－1,0)，C(1,0)为△ABC的两个顶点，P为△ABC的重心，边AC，AB上的两条中线长度之和为6.
(1)求点P的轨迹C的方程．
(2)已知点N(－3,0)，E(－2,0)，F(2,0)，直线PN与曲线C的另一个公共点为Q，直线EP与FQ交于点M，求证：当点P变化时，点M恒在一条定直线上．
21．(12分)(2022·许昌模拟)已知函数f(x)＝xex＋a(x＋ln x)．
(1)当a＝－2e2时，求f(x)的单调区间；
(2)当a<0时，若函数f(x)的最小值为M，求证：M≤1.
(二)选考题(共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做的第一题计分)
[选修4—4：坐标系与参数方程]
22．(2022·平顶山模拟)在平面直角坐标系中，设曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线C2的极坐标方程为ρ＝acos θ(a>0)．
(1)求曲线C1的普通方程；
(2)若曲线C2上恰有三个点到曲线C1的距离为，求实数a的值．
[选修4—5：不等式选讲]
23．(2022·朔州模拟)已知函数f(x)＝|x|＋|ax－1|(a∈R)．
(1)若a＝2，求不等式f(x)>x2＋1的解集；
(2)若当x∈(0,2)时，f(x)参考答案
1．B　2.D　3.D　4.C　5.B　6.A
7．B　[记“从盒中取两球，两球颜色不同，且编号之和不小于7”为事件A，
则P(A)＝＝.]
8．C　[∵函数f(x)＝2sin＋1(ω>0)的最小正周期为π，
∴＝π，
即ω＝1，f(x)＝2sin＋1，
∴g(x)＝2sin＋1
＝2sin＋1，
由2x＋＝kπ，k∈Z，
可得x＝－，k∈Z，
故函数g(x)的图象的对称中心为，k∈Z.]
9．B　[由题意知，结果只需精确到0.001即可，
令x＝0.5，取前6项可得，
＝≈＝＋＋＋＋＋
＝1＋0.5＋＋＋＋≈1.649，
所以的近似值为1.649.]
10．B　[由S＝anSn－an(n≥2)得，
S＝(Sn－Sn－1)Sn－(Sn－Sn－1)，
即Sn－1－Sn＝SnSn－1，
∴－＝1，
又＝＝1，
∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝n，
则Sn＝，
∴S10＝.]
11．C　[依题意，如图所示，
在△ABC中，A＝，c＝3，由正弦定理得，
＝，
又∵asin B＝，解得b＝2，
设 ＝＝k(0≤k≤1)，
则AD＝3k，CE＝2k，
∴AE＝2－2k，
在△AED中，由余弦定理得，
ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos A
＝(2－2k)2＋9k2－2×(2－2k)×3k×＝19k2－14k＋4，
对于二次函数y＝19k2－14k＋4，
其图象开口向上，对称轴为k＝∈[0,1]，
∴ymin＝19×2－14×＋4＝，
∴DE的最小值为.]
12．A　[因为f(x＋2)＝f(x－2)，
所以f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)的周期为4.
f(x)＝
可化为f(x)＝
若函数g(x)＝f(x)－|logax|(a>1)在x∈(0,5)上有四个零点，等价于函数f(x)与h(x)＝|logax|的图象在x∈(0,5)上有四个交点．
作出f(x)和h(x)＝|logax|的图象如图所示．
只需满足解得a>5；
只需满足
解得3综上所述，实数a的取值范围为(3,4]∪(5，＋∞)．]
13．36　14.－10
15．6
解析　∵2ab≤2(当且仅当2a＝b时取等号)，
∴2a＋b＋3≤2，
设x＝2a＋b>0，则x＋3≤，
解得x≤－2(舍)或x≥6，
即2a＋b≥6，
∴(2a＋b)min＝6.
16.
解析　∵f(x)＋f(－x)＝2－＋2－＝4－＝2，
∴f(x)＝2－f(－x)，
由f(ax)＋f ≥2得f(ax)≥2－f ＝f
＝f(2ln x)，
∵y＝为R上的减函数，
∴f(x)为R上的增函数，
∴ax≥2ln x，
当x>0时，a≥，
令g(x)＝，
则g′(x)＝＝，
∴当x∈(0，e)时，g′(x)>0；
当x∈(e，＋∞)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(0，e)上单调递增，
在(e，＋∞)上单调递减，
∴g(x)max＝g(e)＝，
∴a≥，
即实数a的取值范围为.
17．(1)证明　因为an＋1＝Sn＋1－Sn，
＝an＋1－n－1，
所以Sn＝n(an＋1－n－1)
＝n(Sn＋1－Sn)－n(n＋1)，
整理得－＝1，
所以是首项为＝＝1，公差为1的等差数列．
故＝1＋(n－1)＝n，则Sn＝n2.
(2)解　由(1)可得Sn＝n2，
则an＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)，
又a1＝1也符合等式，
所以an＝2n－1(n∈N*)，
则cn＝＝
＝n·3n，
Tn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋(n－1)×3n－1＋n·3n，①
3Tn＝1×32＋2×33＋…＋(n－2)·3n－1＋(n－1)·3n＋n·3n＋1，②
由①－②得－2Tn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1，
则Tn＝
－
＝·3n＋1＋.
18．解　(1)依题意有，
P(C)＝C××2＝，
P(D)＝××＋×C××＝.
又事件C与D相互独立，
则P(CD)＝P(C)P(D)
＝×＝，
所以P(CD)＝.
(2)设A组中康复的人数为X1，
则X1～B，
所以E(X1)＝3×＝.
设A组的积分为X2，则X2＝2X1，
所以E(X2)＝2E(X1)＝.
设B组中康复的人数为Y1，
则Y1的可能取值为0,1,2,3，
P(Y1＝0)＝××＝，
P(Y1＝1)＝××＋×C××＝，
P(Y1＝2)＝C×××＋××＝，
P(Y1＝3)＝××＝，
故Y1的分布列为
Y1 0 1 2 3
P
所以E(Y1)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝，
设B组的积分为Y2，则Y2＝2Y1，
所以E(Y2)＝E(2Y1)＝2E(Y1)＝，
因为>，
所以甲种中药药性更好．
19．(1)证明　因为＝2，
所以BM＝BA，AM＝1，BM＝2，
＝－＝＋－＝－＝(－)＝，
所以AN＝2，CN＝1.
在△AMN中，MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcos A＝12＋22－2×1×2cos 60°＝3，
所以MN＝，AM2＋MN2＝AN2，
所以AM⊥MN，
所以在图2中，
MN⊥A′M，MN⊥BM，
又A′M∩BM＝M，A′M，BM 平面A′BM，
所以MN⊥平面A′BM，
又MN 平面BCNM，
所以平面A′BM⊥平面BCNM.
(2)解　S△ABC＝×32×sin 60°＝，S△AMN＝×1×＝，
所以S四边形BCNM＝S△ABC－S△AMN＝，
设四棱锥A′－BCNM的高为h，
则由VA′－BCNM＝S四边形BCNMh得＝×h，则h＝1，
又A′M＝1，
所以A′M⊥平面BCNM，
以M为坐标原点，MB，MN，MA′为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则B(2,0,0)，N(0，，0)，A′(0,0,1)，
在等边△ABC中，取AB的中点D，连接CD，
则CD⊥AB，所以CD∥MN，
DM＝－1＝，
CD＝×3＝，
因此C，
＝，
＝(2,0，－1)，
＝(0，，－1)，
设平面A′BC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则
取x1＝1，得m＝，
设平面A′CN的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则
取y2＝1，得n＝(－，1，)，
设二面角B－A′C－N为θ，由图知θ为钝角，
则|cos θ|＝|cos〈m，n〉|＝
＝＝，
所以二面角B－A′C－N的余弦值为－.
20．(1)解　因为P为△ABC的重心，且边AC，AB上的两条中线长度之和为6，
所以|PB|＋|PC|＝×6
＝4>|BC|，
故由椭圆的定义可知点P的轨迹C是以B(－1,0)，C(1,0)为焦点的椭圆(不包括长轴的端点)，且a＝2，c＝1，
所以b＝，
所以点P的轨迹C的方程为
＋＝1(x≠±2)．
(2)证明　设直线PQ的方程为
x＝my－3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
联立方程
得(3m2＋4)y2－18my＋15＝0，
则y1＋y2＝，
y1y2＝，
所以2my1y2＝(y1＋y2)，
又直线PE的方程为
y＝(x＋2)
＝(x＋2)，
又直线QF的方程为
y＝(x－2)
＝(x－2)，
联立方程
得x＝，
把2my1y2＝(y1＋y2)代入上式得
x＝
＝＝－，
所以当点P运动时，点M恒在定直线x＝－上．
21．(1)解　当a＝－2e2时，
f(x)＝xex－2e2(ln x＋x)，
f(x)的定义域是(0，＋∞)，
则f′(x)＝(x＋1)ex－2e2＝(xex－2e2)，
设φ(x)＝xex－2e2，
φ′(x)＝(x＋1)ex>0，
则φ(x)在(0，＋∞)上单调递增，
且φ(2)＝0
所以当0即f′(x)<0；
当x>2时，φ(x)>0，即f′(x)>0，
所以函数f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)．
(2)证明　f(x)的定义域是(0，＋∞)，
f′(x)＝(xex＋a)，
令g(x)＝xex＋a，x>0，
则g′(x)＝(x＋1)ex>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为a<0，
所以g(0)＝a<0，g(－a)＝－ae－a＋a>－a＋a＝0，
故存在x0∈(0，－a)，使得g(x0)＝x0＋a＝0.
当x∈(0，x0)时，g(x)<0，
即f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(x0，＋∞)时，g(x)>0，
即f′(x)>0，f(x)单调递增，
故当x＝x0时，f(x)取得最小值，
即M＝f(x0)＝x0＋a(ln x0＋x0)，
由x0＋a＝0，
得M＝x0＋aln(x0)＝－a＋aln(－a)，
令x＝－a>0，h(x)＝x－xln x，
则h′(x)＝1－(1＋ln x)＝－ln x，
当x∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减，
故当x＝1，即a＝－1时，h(x)取最大值h(1)＝1，故M≤1.
22．解　(1)由已知得t＝2(x－)，代入y＝－1＋t，消去参数t得，
曲线C1的普通方程为
x－y－4＝0.
(2)由曲线C2的极坐标方程
ρ＝acos θ得ρ2＝aρcos θ，
又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，
所以x2＋y2＝ax，
即2＋y2＝2，
所以曲线C2是以为圆心，以为半径的圆．
因为曲线C2上恰有三个点到曲线C1的距离为，
所以圆心到直线x－y－4＝0的距离d＝－，
即－＝，
解得a＝10(2－)．
23．解　(1)当a＝2时，
f(x)＝
所以f(x)>x2＋1等价于
或
或
解得－3故当a＝2时，不等式f(x)>x2＋1的解集为(－3,0)∪(1,2)．
(2)当x∈(0,2)时，f(x)因为x2－x＋1＝2＋>0，
故－x2＋x－1而当x∈(0,2)时，－x＋1<1，x＋－1≥2－1，
当且仅当x＝时取等号，
故1≤a<2－1，
即a的取值范围为[1,2－1)．