苏教版高二下学期数学期末试题（五）含答案

苏教版高二下学期数学期末试题（五）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置.
1．命题“”的否定是 ．
2．(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)6展开式中x2项的系数为 ．
3．将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分配一人，则不同的分配方案共有______种。
4．在极坐标系中，点与点关于射线对称，则=________．
5．若求（）+（）+……+（） .
6．若两条曲线的极坐标方程分别为与，它们相交于两点，则线段的长为 ．
7．求经过极点三点的圆的极坐标方程 .
8．展开式的常数项为 ．
9．过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，
记，则当最小时 ．
10．已知整数数对如下排列：，按此规律，则第个数对为__________．
11．将甲、乙、丙、丁四名老师分配到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分配到同一个学校，则不同分法的种数为 ．
12．已知曲线的方程为为参数），过点作一条倾斜角为的直线交曲线于、两点，则的长度为 ．
13． 个正整数排列如下：
1，2，3，4，……，n
2，3，4，5，……，n+1
……
n，n+1，n+2，n+3，……，2n-1 则这个正整数的和 ．
14．已知函数，关于的方程，给出下列四个命题：
① 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；② 存在实数，使得方程恰有3个不同的实根；③ 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④ 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中真命题的序号为______ ______ ．
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
已知二阶矩阵属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值2的一个特征向量为，求矩阵M及其逆矩阵．
16.（本题满分14分）
已知直线为参数），为参数）。
（1）当时，求被截得的弦长；
（2）过坐标原点O作的垂线，垂足为A，当变化时，求A点的轨迹的参数方程。
17. （本题满分14分）
已知二项式，（n∈N）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的
比是10：1，
（1）求展开式中各项的系数和
（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项
18．（本题满分16分）
某中学从高中三个年级选派2名教师和10名学生去外校考察学习，学生的名额分配如下：
高一年级
高二年级
高三年级
3人
5人
2人
(1)若从10名学生中选出2人做组长，求他们中恰好有1人是高二年级学生的概率；
(2)若将2名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高二年级的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
19. （本题满分16分）
如图，在棱长为1的正方体中，、分别为和的中点．
(1)求异面直线和所成的角的余弦值；
(2)求平面与平面所成的锐二面角；
(3)若点在正方形内部或其边界上，且平面，求的取值范围．
20. （本题满分16分）
已知，且正整数n满足，．
(1)求n；
(2)若，是否存在，当时，恒成立？若存在，求出最小的，若不存在，试说明理由；
(3)若的展开式有且只有6个无理项，求．

参考答案
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在相应位置.
1．命题“”的否定是
2．(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+……+(1+x)6展开式中x2项的系数为 ．35
3．将5名大学生毕业生分配到某公司所属的三个部门中去，要求每个部门至少分配一人，则不同的分配方案共有______种。解：
4．在极坐标系中，点与点关于射线对称，则=________
5．若求（）+（）+……+（） .2004
6．若两条曲线的极坐标方程分别为与，它们相交于两点，则线段的长为 ．
7．求经过极点三点的圆的极坐标方程 .
8．展开式的常数项为 -20
9．过平面区域内一点作圆的两条切线，切点分别为，
记，则当最小时 ．
10．已知整数数对如下排列：，按此规律，则第个数对为__________（5,7）
11．将甲、乙、丙、丁四名老师分配到三个不同的学校，每个学校至少分到一名老师，且甲、乙两名老师不能分配到同一个学校，则不同分法的种数为 30
12．已知曲线的方程为为参数），过点作一条倾斜角为的直线交曲线于、两点，则的长度为 16
13． 个正整数排列如下：
1，2，3，4，……，n
2，3，4，5，……，n+1
3，4，5，6，……，n+2
……
n，n+1，n+2，n+3，……，2n-1
则这个正整数的和 ．
14．已知函数，关于的方程，给出下列四个命题：
① 存在实数，使得方程恰有2个不同的实根；
② 存在实数，使得方程恰有3个不同的实根；
③ 存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；
④ 存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.
其中真命题的序号为______ ______ ①③④
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题满分14分）
已知二阶矩阵属于特征值－1的一个特征向量为，属于特征值2的一个特征向量为，求矩阵M及其逆矩阵．
解：M=……………7分 =.……………7分
16.（本题满分14分）
已知直线为参数），为参数）。
（1）当时，求被截得的弦长；
（2）过坐标原点O作的垂线，垂足为A，当变化时，求A点的轨迹的参数方程。
解：（1）的普通方程为，的普通方程为， …………2分
∴圆心O到直线的距离，∴被截得的弦长。 ………… 4分
（2）的普通方程为∴直线，………6分
由得 …………8分
解∴A点的轨迹的参数方程为参数）。 …………10分17. （本题满分14分）
已知二项式，（n∈N）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的
比是10：1，
（1）求展开式中各项的系数和
（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项
解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，
∴，解得n=8
令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)=1
(2) 展开式中第r项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为,,,
若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：
≤ 并且 ≤，解得5≤r≤6；
所以系数最大的项为T=1792；二项式系数最大的项为T=1120
变式训练4：①已知()n的第5项的二项式系数与第三项的二项系数的比是14:3，求展开式中不含x的项.
②求(x－1)－(x－1)2＋(x－1)3－(x－1)4＋(x－1)5的展开式中x2项的系数.
解：
18．（本题满分16分）
某中学从高中三个年级选派2名教师和10名学生去外校考察学习，学生的名额分配如下：
高一年级
高二年级
高三年级
3人
5人
2人
(1)若从10名学生中选出2人做组长，求他们中恰好有1人是高二年级学生的概率；
(2)若将2名教师安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高二年级的教师人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
.解：（1）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件，则
=，故所求概率为． …………………6分
（2）解法1：的所有取值为0，1，2．每位教师选择高二年级的概率均为.
所以，，
． ……………………..10分
随机变量的分布列为：
0
1
2
所以． ……………………16分
解法2：由题意可知，每位教师选择高二年级的概率均为.
则随机变量服从参数为2，的二项分布，即～.
随机变量的分布列为：
0
1
2
所以．
19. （本题满分16分）
如图，在棱长为1的正方体中，、分别为和的中点．
(1)求异面直线和所成的角的余弦值；
(2)求平面与平面所成的锐二面角；
(3)若点在正方形内部或其边界上，且平面，求的取值范围．
解：（1）以D为原点，DA，DC，DD1分别为轴，建立如图所示的直角坐标系，
则，，，.……………2分
，，
． ………………4分
（2）平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
∴
取得平面的一个法向量……………7分
，因为为锐角，
∴所求的锐二面角为． ……………….9分
（3）设（）．
，由得，即．
，．
…….12分
，当时，；当时，∴．
故EP的取值范围为． …………..……14分
20. （本题满分16分）
已知，且正整数n满足，．
(1)求n；
(2)若，是否存在，当时，恒成立？若存在，求出最小的，若不存在，试说明理由；
(3)若的展开式有且只有6个无理项，求．
解：(1)由可知n=8. …………..……3分
(2)存在.展开式中最大二项式系数满足条件，
又展开式中最大二项式系数为，∴j=4． …………..……9分
(3)展开式通项为=，分别令k=1，2，3，…，8，
检验得k=3或4时是k的整数倍的r有且只有三个．故k=3或4……16分
19.解：(1)，又，.
故椭圆的方程为． ………………………4分
圆与直线相切，设圆的半径为，
则有，的方程为………………………8分
(2)设直线的方程为，由解得
，，
． …………12分
恰好被椭圆三等分，=， ……….14分
，，直线的方程为．…..……16分