《数轴与相反数》的自学内容(浙江省台州市路桥区)

一. 本周教学内容：
数轴、相反数

［教学目的］
1. 使学生掌握数轴的定义、画法及作用，会利用数轴比较有理数的大小。
2. 使学生掌握相反数的概念、特性及表示方法。

二. 重点、难点：
1. 数轴的概念及三要素，有理数与数轴上的点的对应关系。
2. 相反数的概念及意义，会求一个数的相反数。

三. 教学过程：
（一）本周知识考点分析
1. 数轴的定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。其中原点、单位长度、正方向是数轴三要素，缺一不可。
2. 数轴的画法及作用：
（1）画一条水平直线，在直线上取一点O（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，得到了数轴。
（2）学习数轴以后，任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。原点表示数0，正数在原点的右方，负数在原点的左方。
这里有理数与它对应的数轴上的点体现了数与形的结合。
3. 利用数轴比较有理数的大小：
（1）在数轴上表示的两个数中，右边的数总比左边的数大，正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，借助数轴可以比较有理数的大小。
（2）因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数。
所以可用字母，表示a是正数。反之，a是正数，用表示。
同理：表示a是负数，反之，a是负数，则；
表示a是非负数，反之，a是非负数，则。
4. 相反数的概念：
（1）相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，离开原点的距离相等的两个点表示的数，叫做互为相反数。
例如：如下图所示：与，与
在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。
（2）相反数的代数定义：
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
特别地：0的相反数是0，也只有0的相反数是它本身。
（3）相反数的特性及表示方法：
①若a、b互为相反数，则。
反之若，则a、b互为相反数。
②一般地，数a的相反数是，这里a表示任意一个数，可以是正数、负数或零，a还可以表示一个任意代数式。
例：若，则，5与互为相反数。
若，则，0的相反数是0。
若，则与38互为相反数。
若，则，与互为相反数。
实际上：求一个数的相反数只需在它前面添上一个负号即可。
（4）多重符号的化简：
①在一个数的前面添加一个“＋”号，仍然与原数相同。
如：＋8＝8
②在一个数的前面添加一个“－”号，就成为原来的相反数，如就是求的相反数。
所以

【典型例题】
例1. 下列各图中，是数轴的是（ ）
分析：A. 缺少方向，B. 缺少单位，C. 单位不统一。
对照数轴的定义，三个要素缺一不可，故选D。

例2. 在数轴上表示下列各数，并用“＜”把它们连接起来。
分析：要想在数轴上准确地描出各点，首先要正确画出数轴，然后注意数的符号，表示负数的点描在原点的左侧，表示正数的点描在原点的右侧，再根据各数值定出的位置，表示0的点就是原点，再根据“在数轴上的点表示的两个数右边的总比左边的大”写出不等式。
解：
注意：画出一个数所对应的点时，把点画成一个黑圆点，以免与刻度线相混淆。

例3. 的相反数是__________，的倒数是__________。
分析：解决的关键是明确相反数，倒数的定义。
解：的相反数是，倒数是。

例4. 化简下列各数的符号。
（1） （2）
分析：利用多重符号化简的方法。
解：

例5. 若与互为相反数，求x的值。
分析：任何一个有理数都有相反数，且只有一个相反数，可以用或来表示。
与互为相反数，则为5或来解决。
解：
或

例6. 在数轴上表示和，并指出所有大于且小于的整数。
分析：在画出正确数轴以后，在数轴上表示和很容易，但要求出的整数必须慎重，这些整数应该在的右边且在的左边，也就是夹在两数之间的，不能忽略“0”。
解：
大于且小于的整数有。

例7. 在数轴上有两个点A、B，回答下列问题：
（1）将A点向左平移个单位后，表示的数是什么？
（2）将B向右平移3个单位后，表示的数是什么？
（3）B做怎样的平移可以与A互为相反数？
分析：平移以后会表示新的有理数。
解：（1）表示；
（2）表示5；
（3）B点向左平移一个单位后与A互为相反数。

【模拟试题】（答题时间：40分钟）
［基础题］
1. 如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
2. 如图所示，点M表示的数是（ ）
A. 2.5 B. C. D. 1.5
3. 下列说法正确的是（ ）
A. 有原点、正方向的直线是数轴
B. 数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数
C. 有些有理数不能在数轴上表示出来
D. 任何一个有理数都可以用数轴上的点表示
4. 下列各组数中，大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 数轴上原点及原点右边的点表示的数是（ ）
A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数
6. 数轴上点M到原点的距离是5，则点M表示的数是（ ）
A. 5 B. C. 5或 D. 不能确定
7. 在数轴上表示的点中，在原点右边的点有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
8. 最大的负整数是___________；小于3的非负整数有______________________。
9. 若，则x的整数值有___________个。
10. 从数轴上表示的点开始，向右移动6个单位长度，再向左移动5个单位长度，最后到达的终点所表示的数是___________。
11. 在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接起来。
12. 数轴上与原点的距离是6的点有___________个，这些点表示的数是___________；与原点的距离是9的点有___________个，这些点表示的数是___________。
13. 12的相反数是___________；___________的相反数是。
14. 如果一个数的相反数是负数，那么这个数一定是（ ）
A. 正数 B. 负数 C. 零 D. 正数、负数或零
15. __________的相反数是它本身。
16. 一个数的相反数是非负数，这个数一定是（ ）
A. 正数或零 B. 非零的数
C. 负数或零 D. 零
17. 下列叙述正确的是（ ）
A. 符号不同的两个数是互为相反数
B. 一个有理数的相反数一定是负有理数
C. 与2.75都是的相反数
D. 0没有相反数
18. 在数轴上点A、B分别表示和，则数轴上与A、B两点的距离相等的点表示的数是___________。
19. 的意义是___________，的意义是___________。
20. 在数轴上表示出各数及它们的相反数。
21. 化简下列各数：

［探究应用题］
22. （应用题）
小明在A地东15米，他走了15米，结果离A地还有30米，这是怎么回事？
23. （创新题）
数轴上表示整数的点称为整点。某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（ ）
A. 2002或2003 B. 2003或2004
C. 2004或2005 D. 2005或2006
24. （易错题）
与的大小关系有三种：①＞；②＝；③＜。请举例说明。
25. （综合题）
已知与互为相反数，求m的值。
26. 若向东走8米，记作米，如果一个人从A地出发向东走12米，再走米，又走了米，你能判断此人这时在何处吗？

【试题答案】
［基础题］
1. D 2. C 3. D 4. A 5. C 6. C 7. C
8.
9. 6。分别为-2，-1，0，1，2，3
10. 0
11. 图略，
12. 两个，6和；两个，9或
13.
14. A 15. 0 16. C
17. C 18. 0
19. 的相反数；本身
20. 图略
21.

［探究应用题］
22. 小明向东走了15米
23. C
若线段AB的端点与整点重合，则线段AB盖住2005个点；若端点不与整点重合，则AB盖住2004个点。
24. 时，；
；
时，
25. 或，
26. 此人这时在A地东13米处

【励志故事】
用进废退
意大利小男孩托蒂有一只十分奇怪的眼睛。说“十分奇怪”，主要是因为眼科大夫多次会诊得出的结论都相同：从生理上看，这是一只完全正常的眼睛。但是这只眼睛却是失明的。一只完全正常的眼睛何以失明了呢？原来，当小托蒂呱呱坠地时，由于这只眼睛轻度感染，曾被绷带缠了两个星期，正是这种对常人来说几乎没有任何副作用的治疗，对刚刚出生、大脑正处于构建发育关键期的婴儿托蒂造成了极大的伤害。他的大脑由于长时间无法从这只眼睛接受任何外界信息，就认为它瞎了，于是原先该为它工作的大脑神经组织也随之“战略转移”了。
小托蒂遭遇的不幸并非偶然性的特殊个案。后来，研究人员在动物身上做了很多类似的实验，发现结果都是一样的，都严格执行着“用进废退”的规则。