江西省百师教育联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

江西省百师教育联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．曲线在处的切线倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数对于任意的满足，其中是函数的导函数，则下列各式正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知数列满足， ，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
4．设函数，数列{an}满足，，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．（1，4） D．（3，4）
5．已知函数对任意自变量都有，且函数在上单调．若数列是公差不为的等差数列，且，则的前项之和是（ ）
A． B． C． D．
6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中被5除余3且被7除余2的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列各项之和为（ ）
A．56383 B．57171 C．59189 D．61242
7．若5名女生和2名男生去两地参加志愿者活动，两地均要求既要有女生又要有男生，则不同的分配方案有（ ）种．
A．20 B．40 C．60 D．80
8．已知函数，若对任意恒成立，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．如图所示的几何体由一个三棱锥和一个半圆锥组合而成，两个锥体的底面在同一个平面内，是半圆锥底面的直径，D在底面半圆弧上，且，与都是边长为2的正三角形，则（ ）
A． B．平面
C．异面直线与所成角的正弦值为 D．该几何体的体积为
10．已知数列为等差数列，，且，，是一个等比数列中的相邻三项，记，则的前项和可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知点P在双曲线C：上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（ ）
A．点P到x轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
12．设函数，，下列命题，正确的是（ ）
A．函数在上单调递增，在单调递减
B．不等关系成立
C．若时，总有恒成立，则
D．若函数有两个极值点，则实数
三、填空题
13．已知数列满足，(为正整数)，则______．
14．已知抛物线，为的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于两点，则________.
15．已知数列满足，，，是递增数列，是递减数列，则__________．
16．设函数，若无最大值，则实数的取值范围为______.
四、解答题
17．已知函数．
(1)若，求曲线在点处的切线方程．
(2)讨论的单调性．
18．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和.
19．已知在四棱锥中，底面ABCD为边长为4的正方形，E为PA的中点，过E与底面ABCD平行的平面与棱PC，PD分别交于点G，F，点M在线段AE上，且．
(1)求证：平面CFM；
(2)若平面ABCD，且，求点G到平面CFM的距离．
20．为了深入贯彻党的十九大和十九届五中全会精神，坚持以新时代中国特色社会主义思想为指导，落实立德树人根本任务，着眼建设高质量教育体系，强化学校教育主阵地作用，深化校外培训机构治理，构建教育良好生态，有效缓解家长焦虑情绪，促进学生全面发展、健康成长．教育部门最近出台了“双减”政策，即有效减轻义务教育阶段学生过重作业负担和校外培训负担，持续规范校外培训（包括线上培训和线下培训）．“双减”政策的出台对校外的培训机构经济效益产生了严重影响．某大型校外培训机构为了规避风险，寻求发展制定科学方案，工作人员对2020年的前200名报名学员消费等情况进行了统计整理，其中消费情况数据如表．
消费金额（千元）
人数 30 50 60 20 30 10
(1)该大型校外培训机构转型方案之一是将文化科主阵地辅导培训向音体美等兴趣爱好培训转移，为了深入了解当前学生的兴趣爱好，工作人员利用分层抽样的方法在消费金额为和的学员中抽取了5人，再从这5人中选取3人进行有奖问卷调查，求抽取的3人中消费金额为的人数的分布列和数学期望；
(2)以频率估计概率，假设该大型校外培训机构2020年所有学员的消费可视为服从正态分布，，分别为报名前200名学员消费的平均数以及方差（同一区间的花费用区间的中点值替代）．
（ⅰ）试估计该机构学员2020年消费金额为的概率（保留一位小数）；
（ⅱ）若从该机构2020年所有学员中随机抽取4人，记消费金额为的人数为，求的分布列及方差．
参考数据：；若随机变量服从正态分布，则，，．
21．已知椭圆，离心率，P为椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，若的周长为，
(1)求椭圆E的方程；
(2)若，M，N为椭圆上不同的两点，且，证明椭圆上存在定点Q使得四边形为平行四边形．
22．已知函数．
(1)若a＝1，求函数的单调区间及在x＝1处的切线方程；
(2)设函数，若时，恒成立，求实数a的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】计算出的值，即可求得切线的倾斜角.
【详解】设曲线在处的切线倾斜角为，
因为，则，因为，因此，.
故选：B.
2．C
【分析】令，结合题意可得，利用导数讨论函数
的单调性，进而得出，变形即可得出结果.
【详解】令，
则，
又，
所以，
令，
令，
所以函数在上单调递减，
在单调递增，
所以，
即，
则.
故选：C
3．A
【分析】由题得，再利用累乘法求解.
【详解】解：由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：A．
4．D
【分析】根据数列{an}是递增数列列不等式，由此求得的取值范围.
【详解】由于数列{an}是递增数列，所以
.
故选：D
5．B
【分析】由已知可得函数的图象关于直线对称，再结合函数及数列单调性可得，然后利用等差数列前n项和公式计算作答.
【详解】因为函数对任意自变量都有，于是函数的图象关于直线对称，
数列是公差不为的等差数列，则数列是单调数列，又函数在上单调，
由得，
所以的前项之和是.
故选：B
6．C
【解析】根据“被5除余3且被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果.
【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23，
公差为的等差数列，记数列
则
令，解得.
故该数列各项之和为.
故选：C.
【点睛】本题考查等差数列的应用，属基础题。
7．C
【分析】利用分步乘法原理、排列组合数以及不均匀分组的方法进行求解.
【详解】第一步，先安排2名男生，有种排法；
第二步，安排5名女生：
第1种情况，5名女生分两组，一组1人，一组4人，有种分法，
第2种情况，5名女生分两组，一组2人，一组3人，有种分法，
所以5名女生分两组去两地参加志愿者活动共有：种排法，
所以，总共有种分配方案.故A，B，D错误.
故选：C.
8．A
【分析】转化条件为在上为增函数，由函数的单调性与导数的关系可求实数m的取值范围.
【详解】若对任意恒成立，
则函数在上为增函数，
所以在上恒成立，所以在上恒成立，
所以，所以实数m的取值范围为，
故选：A.
9．ABD
【分析】取中点O，由线面垂直的判断定理和性质定理可判断A；由、，可得，再由线面平行的判断定理可判断B；取中点M，可得即与所成角即为与所成角，由余弦定理求出和平方关系求出可判断C；求出几何体体积可判断D．
【详解】对于A，取中点O，连接，所以为等腰直角三角形，且，又因为， ，所以平面，平面，所以，A正确．
对于B，，∴，而，∴，
∴，平面，平面，∴平面，B正确．
对于C，取中点M，连接知，
∴，∴与所成角即为与所成角，为，
，由余弦定理得，C错．
对于D，该几何体体积，D正确．
故选：ABD.
10．BD
【解析】设出等差数列的公差，再由已知列式求得公差，得到数列的通项公式，进一步得到的通项公式，然后利用等差数列的前项和公式及错位相减法求的前项和，则答案可求．
【详解】设等差数列的公差为，由，，是一个等比数列中的相邻三项，
得，即，整理得，即或．
或．
当时，，
当时，．
若，则的前项和为；
若，设的前项和为，
则，
，
，
则．
故选：BD
11．BC
【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可．
【详解】设点．因为双曲线，所以．
又，所以，故A错误．
将代入得，得．
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得．
由双曲线的定义得，所以，故B正确．
在中，，且，
则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确．
由余弦定理得，所以，故D错误．
故选：BC．
12．AC
【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项的正误；由函数在区间上的单调性比较、的大小关系，可判断B选项的正误；分析得出函数在上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出的取值范围，可判断C选项的正误；分析出方程在上有两个根，数形结合求出的取值范围，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，则.
由，可得，由，可得.
所以，函数在上单调递增，在单调递减，A选项正确；
对于B选项，由于函数在区间上单调递减，且，
所以，，即，又，
所以，，整理可得，B选项错误；
对于C选项，若时，总有恒成立，
可得，构造函数，
则，即函数为上的减函数，
对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，，C选项正确；
对于D选项，，则，
由于函数有两个极值点，令，可得，
则函数与函数在区间上的图象有两个交点，
当时，，如下图所示：
当时，即当时，函数与函数在区间上的图象有两个交点.
所以，实数的取值范围是，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
13．/0.8
【分析】根据递推公式依次计算各项，可知数列是以为周期的周期数列；根据周期数列特点可求得结果.
【详解】因为，
，
，
，
所以是周期为3的数列，
因为，
所以，
故答案为：
14．
【分析】设，写出直线方程，再与抛物线方程联立，得韦达定理，再利用焦半径公式代入计算.
【详解】设，由题意可得直线方程为，与抛物线方程联立，得，所以，由抛物线焦半径公式得.
故答案为：.
15．
【分析】由是递增数列可推出，由是递减数列，可推出，所以，即的首项为3，公差为的等差数列，即可求出.
【详解】解：因为是递增数列，所以，
故，
因为，所以，
所以，
又，所以，
因为是递减数列，所以，
同理，所以，
所以，即的首项为3，公差为的等差数列，
即．
故答案为：.
16．
【分析】画出函数和的图象，利用导数分析函数的图象的特征和关系，得到的图象，利用数形结合思想考察图象，得到无最大值的条件，解得的取值范围.
【详解】解：画出函数和的图象，,, 函数和的图象在处相切，由三次函数和一次函数的性质可知，在时,当时，,
令=0，得,
当时，取得极大值为,
结合图象观察可知，当且仅当时函数f(x)没有最大值，
解得，
故答案为：.
【点睛】本题考查利用导函数研究函数的图象和图象间的关系，涉及分段函数，三次函数的性质，关键是数形结合思想的运用，属中高档题.
17．(1)
(2)见解析
【分析】（1）由导数求出斜率、切点坐标可得答案；
（2）求出，分，，讨论可得答案.
【详解】（1）当时，，则，
∴，
∴，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）函数的定义域为，
,
当时，由得或，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，由恒成立，
所以在上单调递增；
当时，由得或，由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
综上可知：当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；
18．（1）； （2）当为偶数时，.当为奇数时，.
【分析】（1）利用基本元的思想将已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，由此求得数列的通项公式.（2）对分成奇数和偶数两种情况，利用分组求和法求的数列的前项和.
【详解】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由得，
又，解得.
.
(2)由(1)知，因此.
从而数列的前项和
当为偶数时，.
当为奇数时，
【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想求等差和等比数列的通项公式，考查了分组求和法以及分类讨论的数学思想方法，属于中档题.题目给定数列为等差或者等比数列的情况下，将已知条件转化为，通过解方程组的方法求得这四个基本量，这是解数列题常用的方法.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）延长FM与DA的延长线交于点，连接CN交AB于点，连接FH，通过证明四边形BHFG为平行四边形得，故平面CFM．
（2）解法1： G到平面CFM的距离即为到平面CHF的距离，使用等积法求到平面CHF的距离；
解法2：将G到平面CFM的距离转化为A到平面MNH的距离，使用等积法求A到平面MNH的距离．
【详解】（1）证明：延长FM与DA的延长线交于点，连接CN交AB于点，连接FH，
因为平面平面ABCD，且为PA的中点，
所以，，，，
又，所以，
又，所以为AB的中点，所以，且，
所以，且，所以四边形BHFG为平行四边形，所以，
又平面CFM，平面CFM，所以平面CFM．
（2）解法1：由（1）知G到平面CFM的距离，即为到平面CHF的距离，
因为平面ABCD，且，F为PD的中点，
所以点F到平面BCH的距离为3，
所以，
连接FA，取AD的中点O，连接OF，OH，
所以，因为平面ABCD，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以，，
又，所以
在中，，
又，，所以平面PAD，因为平面PAD，所以，
又，所以，
所以，所以，
所以，
设到平面FHC的距离为h，则，所以，
即点G到平面CFM的距离为．
解法2：由（1）知G到平面CFM的距离，即为B到平面CFM的距离，
又因为H为AB的中点，所以A到平面CFM的距离等于B到平面CFM的距离，
即A到平面MNH的距离等于G到平面CFM的距离．
连接MH，取MH的中点Q，连接NQ．
因为，，
所以，所以．
所以．
设A到平面MNH的距离为h，则，
即，所以，
即点G到平面CFM的距离为．
20．(1)分布列见解析，
(2)（ⅰ）；（ⅱ）分布列见解析，
【分析】（1）根据分层抽样分别求出消费金额为和抽取的人数，求出随机变量的可能取值，分别求出相应概率，进而求得分布列和数学期望；
（2）（ⅰ）求出，的值，结合正态分布求出概率；
（ⅱ）由（ⅰ）求出二项分布的分布列及方差.
【详解】（1）解：由题意得，抽中的5人中消费金额为的人数为，
消费金额为的人数为，
设消费金额为的人数为，则，
所以，，，
的分布列为
1 2 3
则；
（2）解：（ⅰ）由题意得
，
所以，
所以；
（ⅱ）由题意及（ⅰ）得，
所以，，
，，
，
的分布列为
0 1 2 3 4
．
21．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）的周长为，结合离心率求出，即可求出，写出椭圆方程；（2）设，因为过点，可写出直线的方程，设而要求法解出点，同理求出点，利用、两点坐标求出所在直线过原点，根据对称性求出点坐标.
【详解】（1）因为，所以，依题意，所以，联立解得，所以椭圆E方程为
（2）当直线斜率存在时，设方程为，则直线的方程为，设点，联立方程，
可得：，
则，即，
所以，
同理，
所以，
即为方程的两个根，方程可化为，所以，所以，当直线斜率不存在时，方程与椭圆相交于，此时，所以直线过原点，若四边形为平行四边形，
则取对称点时成立.
22．(1)的减区间为，增区间为；切线方程为.
(2)
【分析】（1）将a＝1代入函数中，求出函数的导数，判断导数的正负，可得函数的单调区间；根据导数的几何意义求得切线方程；
（2）化简，利用导数求出，分类讨论，分别求出，令求解即可.
【详解】（1）当时，
由，有，
由有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的减区间为，增区间为；
又，所以切点为，
切线斜率，
所以切线方程，
即切线方程为.
（2），
，
设，
则
∵，∴，
在上单调递增，
，
①当，即时，
，
在上单调递增，
则，
∴，
故．
②当，即时，
，
，，
即，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则
，
∴，
∴．
由，
令函数，且，
，
在上单调递增，，
∵，
∴．
综上，实数a的取值范围是：．
【点睛】导数题常作为压轴题出现，常见的考法：
①利用导数研究含参函数的单调性（或求单调区间），
②求极值或最值
③求切线方程
④通过切线方程求原函数的解析式
⑤不等式恒（能）成立问题，求参数的取值范围
⑥证明不等式
⑦已知函数的零点个数求参数的取值范围
解决问题思路：对函数求导利用函数的单调性进行求解；构造新函数对新函数，然后利用函数导数性质解决.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页