江西省宜春十校联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

江西省宜春十校联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．曲线在点处的切线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
2．已知函数在定义域内可导，其图象如图所示.记的导函数为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知数列满足， ，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列是递增数列，且对任意都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数对任意自变量都有，且函数在上单调．若数列是公差不为的等差数列，且，则的前项之和是（ ）
A． B． C． D．
6．在1和19之间插入个数，使这个数成等差数列，若这个数中第一个为，第个为，当取最小值时，的值是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．某次抽奖活动准备了8张奖券，其中标有“奖20元”、“奖10元”、“奖5元”各一张，另外五张均为“祝你好运”，现有4人来抽奖，每人抽两张，则不同的中奖情况有（ ）
A．24 B．60 C．420 D．2520
8．已知，，对，且，恒有，则实数的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
二、多选题
9．某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中，正确的结论有（ ）
A．与异面 B．平面
C． D．平面平面
10．已知数列为等差数列，，且，，是一个等比数列中的相邻三项，记，则的前项和可以是（ ）
A． B． C． D．
11．已知点P在双曲线C：上，，分别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则（ ）
A．点P到x轴的距离为 B．
C．为钝角三角形 D．
12．设函数，，下列命题，正确的是（ ）
A．函数在上单调递增，在单调递减
B．不等关系成立
C．若时，总有恒成立，则
D．若函数有两个极值点，则实数
三、填空题
13．在数列中，已知， ，记为数列的前项和，则________.
14．若直线l经过抛物线的焦点，与抛物线交于A、B两点，且线段中点的横坐标为2，则线段的长为___．
15．对于数列定义：，，，，，称数列为数列的阶差分数列.如果（常数），那么称数列是阶等差数列.现在设数列是阶等差数列，且，，，则数列的通项公式为__________.
16．当x=______时，函数y=x4-2x3+x+2018取得最小值．
四、解答题
17．已知函数.
(1)当时，求在点的切线方程；
(2)若曲线有两条过点的切线，求的取值范围.
18．已知是等比数列的前项和，其中，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的最大项和最小项．
19．已知在四棱锥中，底面ABCD为边长为4的正方形，E为PA的中点，过E与底面ABCD平行的平面与棱PC，PD分别交于点G，F，点M在线段AE上，且．
(1)求证：平面CFM；
(2)若平面ABCD，且，求点G到平面CFM的距离．
20．由郭帆执导吴京主演的电影《流浪地球》于2019年2月5日起在中国内地上映，影片引发了观影热潮，预计《流浪地球》票房收入47亿人民币，超过《红海行动》成为中国影史票房亚军，仅次于《战狼2》.某电影院为了解该影院观看《流浪地球》的观众的年龄构成情况，随机抽取了40名观众，将他们的年龄分成7段：，，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试求这40名观众年龄的平均数、中位数、众数；
（2）（i）若从样本中年龄在50岁以上的观众中任取3名赠送VIP贵宾观影卡，求这3名观众至少有1人年龄不低于70岁的概率；
（ii）该电影院决定采用抽奖方式来提升观影人数，将《流浪地球》电影票票价提高20元，并允许购买电影票的观众抽奖3次，中奖1次、2次、3次分别奖现金元、元，元.设观众每次中奖的概率均为，若要使抽奖方案对电影院有利，则最高可定为多少元？（结果精确到个位）
21．已知椭圆经过点，且离心率为，抛物线的焦点F与的右焦点重合.
(1)求与的标准方程；
(2)过的右顶点的直线与交于A，B两点，线段AB的中点为E，点O为坐标原点，证明：.
22．设抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点，抛物线在两点切线交于点，当直线垂直轴时，面积为.
(1)求抛物线的方程；
(2)若，求直线的方程.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【分析】求出函数的导数，在处的导数就是切线的斜率，然后求出倾斜角即可．
【详解】解：可得，，，
设切线的倾斜角为， 可得
故选D．
【点睛】本题考查直线的倾斜角，利用导数研究曲线上某点切线方程，考查计算能力，是基础题．
2．A
【分析】根据原函数图象与导函数的关系，即可得到结果.
【详解】对于不等式对，
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为；
当时，，则结合图象，知原不等式的解集为．
综上，原不等式的解集为．
故选：A
3．A
【分析】由题得，再利用累乘法求解.
【详解】解：由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：A．
4．D
【分析】根据数列是递增数列，结合数列的函数特性，即可求得的取值范围.
【详解】因为，递增，且对任意都有成立，
所以，．
故选：D．
5．B
【分析】由已知可得函数的图象关于直线对称，再结合函数及数列单调性可得，然后利用等差数列前n项和公式计算作答.
【详解】因为函数对任意自变量都有，于是函数的图象关于直线对称，
数列是公差不为的等差数列，则数列是单调数列，又函数在上单调，
由得，
所以的前项之和是.
故选：B
6．B
【分析】设等差数列公差为,可得,再利用基本不等式求最值,从而求出答案.
【详解】设等差数列公差为,则,从而,
此时,故,
所以,
即,当且仅当,即时取“=”,
又,解得,
所以,所以,
故选:B.
【点睛】本题主要考查数列和不等式的综合运用,需要学生对所学知识融会贯通,灵活运用.
7．B
【分析】分两类：（1）“奖20元”、“奖10元”、“奖5元”三张奖券三人获得；（2）“奖20元”、“奖10元”、“奖5元”三张奖券二人获得. 分别求得不同的中奖情况种数，相加即可得到结果.
【详解】分类讨论：
（1）“奖20元”、“奖10元”、“奖5元”三张奖券三人获得（每人1张）：共有种；
（2）“奖20元”、“奖10元”、“奖5元”三张奖券二人获得（有1人得2张，有1人得1张）：共有种.
所以，不同的中奖情况共有种.
故选：B.
8．B
【分析】设，确定函数单调递增，得到，设，求导得到函数的单调区间，计算最值得到答案.
【详解】设， ，
对，且，恒有，即，
在上单调递增，故恒成立，
即，设，，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
故，即.
故选：B
9．BC
【分析】还原展开图对应的原正方体，再逐项分析判断作答.
【详解】如图，正方体是给定的展开图所对应的正方体，其中点与重合，
显然，直线与直线都过点，即它们是相交直线，A不正确；
因平面平面，平面，则平面，B正确；
连，因，且，则四边形是平行四边形，，
在正方形中，，因此，，C正确；
连，连，则，而平面，平面，则有，
又，平面，于是得平面，而平面，
因此，，即是二面角的平面角，显然是锐角，即平面与平面不垂直，
因平面平面，所以平面与平面不垂直，D不正确.
故选：BC
【点睛】关键点睛：几何体展开图还原成几何体，了解几何的结构特征，熟悉不同条件下其展开图的形状是解决问题的关键.
10．BD
【解析】设出等差数列的公差，再由已知列式求得公差，得到数列的通项公式，进一步得到的通项公式，然后利用等差数列的前项和公式及错位相减法求的前项和，则答案可求．
【详解】设等差数列的公差为，由，，是一个等比数列中的相邻三项，
得，即，整理得，即或．
或．
当时，，
当时，．
若，则的前项和为；
若，设的前项和为，
则，
，
，
则．
故选：BD
11．BC
【分析】根据双曲线的方程、定义与性质，结合三角形的面积求出P的坐标，结合两点的距离公式、斜率公式以及余弦定理，对选项逐一判断即可．
【详解】设点．因为双曲线，所以．
又，所以，故A错误．
将代入得，得．
由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得．
由双曲线的定义得，所以，故B正确．
在中，，且，
则为钝角，所以为钝角三角形，故C正确．
由余弦定理得，所以，故D错误．
故选：BC．
12．AC
【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项的正误；由函数在区间上的单调性比较、的大小关系，可判断B选项的正误；分析得出函数在上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出的取值范围，可判断C选项的正误；分析出方程在上有两个根，数形结合求出的取值范围，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，则.
由，可得，由，可得.
所以，函数在上单调递增，在单调递减，A选项正确；
对于B选项，由于函数在区间上单调递减，且，
所以，，即，又，
所以，，整理可得，B选项错误；
对于C选项，若时，总有恒成立，
可得，构造函数，
则，即函数为上的减函数，
对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，，C选项正确；
对于D选项，，则，
由于函数有两个极值点，令，可得，
则函数与函数在区间上的图象有两个交点，
当时，，如下图所示：
当时，即当时，函数与函数在区间上的图象有两个交点.
所以，实数的取值范围是，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
13．
【分析】由递推关系求出数列的前几项，观察归纳确定数列的周期，结合数列的周期性求 .
【详解】因为， ，所以，，，，，所以数列是周期为3的周期数列，且，所以．
故答案为：.
14．6
【解析】根据焦点半径公式得焦点弦长，由此计算．
【详解】设，则，抛物线中，
所以．
故答案为：6．
15．
【分析】根据给的递推关系，可求，，根据是阶等差数列，可得是以3为首项，公差为1的等差数列，进而可用递推累加进行求解.
【详解】由题意可知，，所以，又是阶等差数列,故，所以可得是以3为首项，公差为1的等差数列 ，故，即，所以 .
故答案为：
16．
【分析】根据函数求得导函数，进而得导函数的零点．根据导函数的符号判断单调区间，可判断使函数取得极小值的x值．
【详解】由y=x4-2x3+x+2018，得y′=4x3-6x2+1，
由y′=4x3-6x2+1=0，得4x3-6x2+1=（2x2-2x-1）（2x-1）=0
解方程可得或
当 或时，y′<0
当 或时，y′>0
所以函数的单调递减区间为或
单调递增区间为 或
所以当时函数取得极小值
而当时，函数值
当时，函数值
所以当时函数取得最小值
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的极值与最值，化简求值过程较为复杂，属于难题．
17．(1)
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义与直线方程的点斜式求解即可；
（2）设切点为，由题意可得有两个不等的实根，由此即可求解
【详解】（1）当时，切点为
，切线斜率
切线方程为，即
（2）设切点为，由知：
，
整理得①
因为过点的切线有两条，
所以①式有两个不等实根
所以有，
即
18．（1）或； （2）；．
【分析】（1）由题意，根据等比数列的通项公式，化简得，分类讨论，即可求解公比，进而的数列的通项公式；
（2）由（1）求得，当为正奇数时，得到在正奇数集上单调递减，进而求得，当为正偶数集时，求得在正偶数集上单调递增，求得，即可得到结论.
【详解】（1）
当时，解得，又
当 时，，又，，
，
（2）由（1）和知，，
当为正奇数时，
又
所以在正奇数集上单调递减，∴，且，
（利用指数函数说明单调性亦可）
当为正偶数集时，
又
所以在正偶数集上单调递增，∴，且，
综上：；.
【点睛】在解决等差、等比数列的运算与应用问题，解答此类问题,一是利用基本量,根据通项公式和求和公式，列出方程组求诶；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）延长FM与DA的延长线交于点，连接CN交AB于点，连接FH，通过证明四边形BHFG为平行四边形得，故平面CFM．
（2）解法1： G到平面CFM的距离即为到平面CHF的距离，使用等积法求到平面CHF的距离；
解法2：将G到平面CFM的距离转化为A到平面MNH的距离，使用等积法求A到平面MNH的距离．
【详解】（1）证明：延长FM与DA的延长线交于点，连接CN交AB于点，连接FH，
因为平面平面ABCD，且为PA的中点，
所以，，，，
又，所以，
又，所以为AB的中点，所以，且，
所以，且，所以四边形BHFG为平行四边形，所以，
又平面CFM，平面CFM，所以平面CFM．
（2）解法1：由（1）知G到平面CFM的距离，即为到平面CHF的距离，
因为平面ABCD，且，F为PD的中点，
所以点F到平面BCH的距离为3，
所以，
连接FA，取AD的中点O，连接OF，OH，
所以，因为平面ABCD，所以平面ABCD，因为平面ABCD，所以，，
又，所以
在中，，
又，，所以平面PAD，因为平面PAD，所以，
又，所以，
所以，所以，
所以，
设到平面FHC的距离为h，则，所以，
即点G到平面CFM的距离为．
解法2：由（1）知G到平面CFM的距离，即为B到平面CFM的距离，
又因为H为AB的中点，所以A到平面CFM的距离等于B到平面CFM的距离，
即A到平面MNH的距离等于G到平面CFM的距离．
连接MH，取MH的中点Q，连接NQ．
因为，，
所以，所以．
所以．
设A到平面MNH的距离为h，则，
即，所以，
即点G到平面CFM的距离为．
20．(1)37,35,35
(2)(i) ,(ii)37
【分析】（1）根据频率分布直方图的数据，以及平均数、中位数、众数的计算公式即得解；
（2）(i)根据频率分布直方图得到样本中50岁以上的观众人数，以及不低于70岁的观众人数，利用超几何概型即得解；
（ii）由题意知服从二项分布，利用二项分布的概率公式即得解.
【详解】平均数
，
前三组的频率之和为：0.15+0.20+0.30=0.65,
故中位数落在第3组，设中位数为x，则
即中位数为35，第三组的频率最大，故众数为35.
（2）(i)由频率分布直方图年龄在50岁以上的观众共有名，年龄不低于70岁的观众有2名，记事件A为“这3名观众至少有1人年龄不低于70岁的概率”，则：
.
(ii)设观众三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，其所有可能取得值为：（单位：元）, 表示顾客三次抽奖都没有获奖.
所以：，
观众在三次抽奖中获得的奖金总额的期望值为：
令
所以x最高定价为37元时，才能使得抽奖方案对电影院有利.
【点睛】本题考查了统计和概率综合，考查了学生数学应用，数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
21．(1)，
(2)证明见解析
【分析】（1）根据条件列方程组求解椭圆方程，进而得到抛物线方程；
（2）要证，只需证明＝0即可，设直线的方程与抛物线方程联立，由韦达定理得证.
【详解】（1）由经过点，且离心率为，得
解得，
所以的标准方程为，
，所以的标准方程为.
（2）证明：的右顶点为，设，
易知直线的斜率不为0，设直线的方程为，与联立得，
所以，
所以
，
所以
所以成立.
【点睛】关键点点睛：直线与抛物线交于A，B两点，点O为坐标原点，则的充要条件是直线恒过定点.
22．(1)
(2)或
【分析】（1）直线垂直轴，设，利用导数求切点处切线的斜率，得切线和切线的方程，联立方程组求得点坐标，再由面积为，求出，得抛物线的方程；
（2）直线方程：，，利用导数求切点处切线的斜率，得切线和切线的方程，联立方程组求得点坐标，与抛物线方程联立，韦达定理可证，，得，由，解出，得直线的方程.
【详解】（1）由，得，则有 ，直线轴时，不妨设，
曲线在点处切线的斜率为，切线方程为： ，
同理切线的方程为：，
联立方程得， ，则，得抛物线的方程
（2）设直线方程：，，
与抛物线方程联立方程组得：，则有，
由，得，则有 ，所以，
切线方程： ，切线方程： ，联立得，
，，又，得，
又，，所以，
，
所以，则直线方程：或.
【点睛】思路点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页