江西省九江名校联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

江西省九江名校联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图所示，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋3是曲线y＝f(x)在x＝1处的切线，令h(x)＝xf(x)，h′(x)是h(x)的导函数，则h′(1)的值是(　　)
A．2 B．1 C．－1 D．
2．已知在R上可导的函数的图像如图所示，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知数列满足， ，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若数列满足且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知等差数列满足，，数列满足，记的前项和为，若对于任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
6．“干支(gàn zhī)纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二个符号叫地支，干支按序相配，组成干支纪年法，相配顺序为甲子、乙丑、丙寅…癸酉；甲戌、乙亥、丙子…癸未；甲申、乙酉、丙戌…癸巳；……共得60种不同组合，这就是俗称的“六十甲子”，也叫“干支表”，周而复始干支纪年以每年立春换年，是中华民族的伟大发明.2022年是干支纪年中的壬寅年，则2036年是干支纪年中的（ ）
A．甲寅年 B．乙卯年 C．丙辰年 D．甲巳年
7．衣柜里有灰色，白色，黑色，蓝色四双不同颜色的袜子，从中随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，若对于且都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中，正确的结论有（ ）
A．与异面 B．平面
C． D．平面平面
10．已知数列为等差数列，，且，，是一个等比数列中的相邻三项，记，则的前项和可以是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，，是双曲线：与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限内的公共点，设方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的内切圆与轴相切于点
C．若，则的离心率为
D．若，则的方程为
12．设函数，，下列命题，正确的是（ ）
A．函数在上单调递增，在单调递减
B．不等关系成立
C．若时，总有恒成立，则
D．若函数有两个极值点，则实数
三、填空题
13．数列中，，且，则前2011项的和等于_______．
14．抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，则________.
15．已知正项数列的前n项和为，且，则不超过的最大整数是_____________．
16．已知（），下列结论正确的是_________．
①当时，恒成立；
②当时，的零点为且；
③当时，是的极值点；
④若有三个零点，则实数k的取值范围为.
四、解答题
17．已知函数，．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最小值；
18．设正项等比数列且的等差中项为．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，数列的前n项为，数列满足，为数列的前项和，求．
19．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为4的正方形，E为PA的中点，过E与底面ABCD平行的平面与棱PC，PD分别交于点G，F，M在线段AE上，且．
(1)求证：BG//平面；
(2)若PA⊥平面ABCD，且，求平面CFM与平面PCD所成锐二面角的余弦值．
20．由郭帆执导吴京主演的电影《流浪地球》于2019年2月5日起在中国内地上映，影片引发了观影热潮，预计《流浪地球》票房收入47亿人民币，超过《红海行动》成为中国影史票房亚军，仅次于《战狼2》.某电影院为了解该影院观看《流浪地球》的观众的年龄构成情况，随机抽取了40名观众，将他们的年龄分成7段：，，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）试求这40名观众年龄的平均数、中位数、众数；
（2）（i）若从样本中年龄在50岁以上的观众中任取3名赠送VIP贵宾观影卡，求这3名观众至少有1人年龄不低于70岁的概率；
（ii）该电影院决定采用抽奖方式来提升观影人数，将《流浪地球》电影票票价提高20元，并允许购买电影票的观众抽奖3次，中奖1次、2次、3次分别奖现金元、元，元.设观众每次中奖的概率均为，若要使抽奖方案对电影院有利，则最高可定为多少元？（结果精确到个位）
21．设椭圆的方程为，点为坐标原点，点、的坐标分别为、，点在线段上，满足，直线的斜率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若动直线与椭圆交于、两点，且恒有，是否存在一个以原点为圆心的定圆，使得动直线始终与定圆相切？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.
22．已知函数．
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)记函数，设，是函数的两个极值点，若，且恒成立，求实数的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】利用导数的几何意义，先求出，再求出，从而得到.
【详解】由图可知直线经过点，所以，即；
因为h(x)＝xf(x)，所以，
所以.故选B.
【点睛】本题主要考查导数的几何意义，函数在某点处的导数为该点处切线的斜率.题目较为简单.
2．B
【分析】根据函数图象判断、的不同区间上的符号，再由求解集即可.
【详解】由图知：、上，上，
又、上，上，
∴的解集为.
故选：B
3．A
【分析】由题得，再利用累乘法求解.
【详解】解：由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：A．
4．C
【分析】利用数列的单调性结合函数的单调性可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围.
【详解】因为数列是单调递增数列，则函数在上为增函数，可得，
函数在上为增函数，可得，可得，
且有，即，即，解得或.
综上所述，.
故选：C.
5．A
【分析】由等差数列通项公式可得，进而由递推关系可得，借助裂项相消法得到，又，问题等价于对任意的，恒成立.
【详解】由等差数列的性质知，则，
又，则等差数列的公差，
.
由，得，
则不等式恒成立等价于恒成立，
而，问题等价于对任意的，恒成立．
设，，
则，即，解得：或.
故选：A
【点睛】思路点睛：本题考查等差数列的通项公式，递推关系式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查函数与方程的思想方法，以及运算能力，属于中档题．
6．C
【分析】由题意，“天干”是以10为公差的等差数列，“地支”是以12为公差的等差数列，然后根据干支纪年法即可求解.
【详解】解：由题意，“天干”是以10为公差的等差数列，“地支”是以12为公差的等差数列，从2022年到2036年经过了14年，又2022年是干支纪年中的壬寅年，
因为，所以“天干”中壬往后数4个为丙，
因为， 所以“地支”中丑往后数2个为辰，
所以2036年是“干支纪年法”中的丙辰年，
故选：C.
7．D
【分析】记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，求出，，根据条件概率公式求解即可．
【详解】从四双不同颜色的袜子中随机选4只，记“取出的袜子至少有两只是同一双”为事件A，记“取出的袜子恰好有两只不是同一双”为事件B，
事件A包含两种情况：“取出的袜子恰好有两只是同一双”，“取出的袜子恰好四只是两双”，则，
又，则，
即随机选4只，已知取出两只是同一双，则取出另外两只不是同一双的概率为．
故选：D．
8．D
【分析】根据题意转化为对于且时，都有恒成立，构造函数，转化为时，恒成立，求得 的导数，转化为在上恒成立，即可求解.
【详解】由题意，对于且都有成立，
不妨设，可得恒成立，
即对于且时，都有恒成立，
构造函数，
可转化为，函数为单调递增函数，
所以当时，恒成立，
又由，所以在上恒成立，
即在上恒成立，
又由，所以，
即实数的取值范围为.
故选：D.
9．BC
【分析】还原展开图对应的原正方体，再逐项分析判断作答.
【详解】如图，正方体是给定的展开图所对应的正方体，其中点与重合，
显然，直线与直线都过点，即它们是相交直线，A不正确；
因平面平面，平面，则平面，B正确；
连，因，且，则四边形是平行四边形，，
在正方形中，，因此，，C正确；
连，连，则，而平面，平面，则有，
又，平面，于是得平面，而平面，
因此，，即是二面角的平面角，显然是锐角，即平面与平面不垂直，
因平面平面，所以平面与平面不垂直，D不正确.
故选：BC
【点睛】关键点睛：几何体展开图还原成几何体，了解几何的结构特征，熟悉不同条件下其展开图的形状是解决问题的关键.
10．BD
【解析】设出等差数列的公差，再由已知列式求得公差，得到数列的通项公式，进一步得到的通项公式，然后利用等差数列的前项和公式及错位相减法求的前项和，则答案可求．
【详解】设等差数列的公差为，由，，是一个等比数列中的相邻三项，
得，即，整理得，即或．
或．
当时，，
当时，．
若，则的前项和为；
若，设的前项和为，
则，
，
，
则．
故选：BD
11．BCD
【分析】利用双曲线的标准方程及椭圆方程可得判断A，利用切线长性质结合双曲线的定义可判断B，利用双曲线和椭圆的定义得到、的关系式，再利用和离心率公式可判断C，利用勾股定理得到，进而求出椭圆的方程判断D.
【详解】对于A：由可得，所以，故A错误；
对于B：设的内切圆的圆心为I，且圆与边、、相切于N、M、K，
可得，，，又因为，
所以，又，
解得，，
可得M的横坐标为1，即I的横坐标为1，故B正确；
对于C：在椭圆中，，，则，
由，得 ，解得a＝3，
则的离心率，故C正确；
对于D：因为，，
所以，，
若，则，
又c＝2，，解得，，
则椭圆的方程为，故D正确．
故选：BCD.
12．AC
【分析】利用函数的单调性与导数的关系可判断A选项的正误；由函数在区间上的单调性比较、的大小关系，可判断B选项的正误；分析得出函数在上为减函数，利用导数与函数单调性的关系求出的取值范围，可判断C选项的正误；分析出方程在上有两个根，数形结合求出的取值范围，可判断D选项的正误.
【详解】对于A选项，函数的定义域为，则.
由，可得，由，可得.
所以，函数在上单调递增，在单调递减，A选项正确；
对于B选项，由于函数在区间上单调递减，且，
所以，，即，又，
所以，，整理可得，B选项错误；
对于C选项，若时，总有恒成立，
可得，构造函数，
则，即函数为上的减函数，
对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
令，其中，.
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减.
所以，，，C选项正确；
对于D选项，，则，
由于函数有两个极值点，令，可得，
则函数与函数在区间上的图象有两个交点，
当时，，如下图所示：
当时，即当时，函数与函数在区间上的图象有两个交点.
所以，实数的取值范围是，D选项错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
13．1007
【分析】先由递推关系式求出数列的周期，再结合周期计算前2011项的和即可.
【详解】∵，∴，∴，，
．则数列是周期为3的周期数列，∴前2011项的和
．
故答案为：1007.
14．6
【分析】要求，需要求出，设直线的斜率为，根据条件表示出线段的垂直平分线方程，令，可得，又由点差法可得，从而可求出，即也可知道，从而可求出
【详解】由题意得，设线段的中点为，
则，
设直线的斜率为，
则线段的垂直平分线方程为，
令，得，即，
又，作差得
整理得，
所以，
∴．
故答案为6．
【点睛】本题考查直线与抛物线相交的弦的垂直平分线问题，关键在于点差法以及弦长公式的运用，考查学生的计算能力，是基础题
15．88
【分析】由，可得时，，，解得，时，，代入可得：，化为：，利用等差数列的通项公式即可得出．利用，时，右边成立）可得：，再利用累加求和方法即可得出结论．
【详解】解：，时，，，解得．
时，，代入可得：，
化为：，
可得数列为等差数列，首项为1，公差为1，
，
解得．
，时，右边成立）
即，
所以，
∴
所以，
所以不超过的最大整数是88.
故答案为：88
16．②④
【分析】①将代入，利用导数计算原函数的最小值，判断是否成立；
②再将代入，讨论函数的单调性，再结合零点的存在性定理判断；
③将代入，求导判断是否成立，且在的两侧异号；
④利用参变分离思想处理，将问题转化为有三个解，然后构造函数，求导讨论函数的单调性及极值，画图函数的大致图像，数形结合去分析.
【详解】①当时，，，故①错误；
②当时，，，
令，，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
故，故在上单调递增.
因为，，
由函数零点存在性定理知，存在，使得，故②正确；
③当时，，，，
令，，令，
解得，故在上单调递减，在上单调递增，
故,在上单调递增，
故不是的极值点，故③错误；
④有三个零点等价于方程有三个根，
即方程有三个根，令，，
故在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减，，，
大致图象如图所示，
故k的取值范围为，故④正确
故答案为：②④.
【点睛】本题考查导数与函数极值、导数与不等式、导数与函数零点及零点个数等综合问题，难度较大，考查分类讨论、参变分离、数形结合等思想方法的运用.
17．(1)
(2)见解析.
【分析】（1）由导数的几何意义得出切线方程；
（2）分类讨论，结合导数得出函数在区间上的最小值；
【详解】（1）当时，，
∴，
∴，，
所以曲线在点处的切线方程为，即
（2）由，可得，
由，可得，
当，即时，时，恒成立，单调递增，
所以函数在区间上的最小值为；
当，即时，时，恒成立，单调递减，
所以函数在区间上的最小值为；
当，即时，时，，单调递减，
时，，单调递增，
所以函数在区间上的最小值为；
综上，当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为；
当时，函数在区间上的最小值为；
18．（1）；（2）.
【分析】（1）利用已知条件列出方程，求出首项与公比，然后求解通项公式．
（2）化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可．
【详解】（1）设等比数列的公比为，
由题意，得，解得，
所以.
（2）由（1）得，
∴，
∴，
∴.
【点睛】本题考查数列的递推关系式以及数列求和，考查转化思想以及计算能力．
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）延长FM与DA的延长线交于点N，连接CN交AB于点H，先证明，，得四边形BHFG为平行四边形，再证明BG平面CFM．
（2）建立空间直角坐标系，求平面PCD和平面CFM的法向量，计算法向量的夹角余弦的绝对值即为所求.
【详解】（1）证明：

延长FM与DA的延长线交于点N，连接CN交AB于点H，连接FH．
因为平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD平面，
且E为PA的中点，所以且．同理可得，．
又，所以，
又，所以H为AB的中点，所以，且．
又，，
所以，且，所以四边形BHFG为平行四边形，所以
又平面CFM，平面CFM，
所以BG平面CFM．
（2）由题意易得AB，AD，AP两两垂直，故以A为坐标原点，直线AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图空间直角坐标系，
则C（4，4，0），D（0，4，0），F（0，2，3），M（0，0，2），P（0，0，6），
所以＝（－4，0，0），，，．
设平面PCD的一个法向量，
则，即，取，
设平面CFM的一个法向量，
则，即，取，
设平面CFM与平面PCD所成锐二面角的大小为，
则，
即平面CFM与平面PCD所成的锐二面角的余弦值为．
20．(1)37,35,35
(2)(i) ,(ii)37
【分析】（1）根据频率分布直方图的数据，以及平均数、中位数、众数的计算公式即得解；
（2）(i)根据频率分布直方图得到样本中50岁以上的观众人数，以及不低于70岁的观众人数，利用超几何概型即得解；
（ii）由题意知服从二项分布，利用二项分布的概率公式即得解.
【详解】平均数
，
前三组的频率之和为：0.15+0.20+0.30=0.65,
故中位数落在第3组，设中位数为x，则
即中位数为35，第三组的频率最大，故众数为35.
（2）(i)由频率分布直方图年龄在50岁以上的观众共有名，年龄不低于70岁的观众有2名，记事件A为“这3名观众至少有1人年龄不低于70岁的概率”，则：
.
(ii)设观众三次抽奖所获得的奖金总额为随机变量，其所有可能取得值为：（单位：元）, 表示顾客三次抽奖都没有获奖.
所以：，
观众在三次抽奖中获得的奖金总额的期望值为：
令
所以x最高定价为37元时，才能使得抽奖方案对电影院有利.
【点睛】本题考查了统计和概率综合，考查了学生数学应用，数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.
21．(1)
(2)存在，且圆的方程为
【分析】（1）设点的坐标，根据已知条件求出点的坐标，根据可求得的值，进而可得出椭圆的方程；
（2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线斜率不存在时，设直线的方程为，求出的值，可得出求出原点到直线的距离；在直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由可求得原点到直线的距离.综合可得出定圆的方程.
【详解】（1）解：设点的坐标，点在线段上，满足，
，，故，，
因为，，解得：，∴椭圆的方程.
（2）解：当直线斜率不存在时，设直线的方程为，
所以，，此时原点到直线的距离为；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设点、，原点到直线的距离为，所以，
整理得，
由可得，
，
由韦达定理可得，，
，
，
所以，，
所以，所以.
综上所述，定圆的方程是
所以当时，存在定圆始终与直线相切，且定圆的方程是.
【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
22．(1)
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义即可求曲线在处的切线方程；
（2）将转化为，从而构造，根据导数即可求得的最小值，从而得解.
【详解】（1），所以切线斜率为，
又，切点为，所以切线方程为：．
（2），
若，则恒成立，
，，
，
，
设，则，
令，，
则，
在上单调递减；
，，
，
，
， ，
当时，，
，
即实数的最大值为
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页