2022-2023学年天津市高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年天津市高一（下）期中数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共10小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列说法错误的是( )
A. B. 、是单位向量，则
C. 若，则 D. 任一非零向量都可以平行移动
2. 设复数满足，则的虚部是( )
A. B. C. D.
3. 已知，且，则等于( )
A. B. C. D.
4. 某同学的通用技术作品如图所示，该作品是由三个相同的正四棱柱制作而成，这三个正四棱柱的公共部分构成的多面体的面数为( )
A. B. C. D.
5. 如图，一个水平放置平面图形的直观图是边长为的菱形，且，则原平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
6. 在中，，，，则( )
A. B. C. D.
7. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是( )
A. B.
C. D. 且
8. 在中，若，则该三角形的形状是( )
A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形
9. 已知，若，则( )
A. B. C. D.
10. 由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个正四棱锥底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥，其侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共20分）
11. 已知为虚数单位，复数，则 ．
12. 一个几何体的表面展开图如图，该几何体中与“祝”字相对的字是______ ；与“你”字相对的字是______ ．
13. 已知向量、满足：，，，则 ．
14. 复数，在复平面上对应的点分别为，，则 ______ ．
15. 已知正方体的棱长为，，分别为，的中点，则三棱锥的体积为______ ．
三、解答题（本大题共4小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
已知复数，，其中为虚数单位．
若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围；
若满足，求的值．
17. 本小题分
已知向量，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ求及向量在向量上的投影向量的坐标；
Ⅲ若，求实数的值．
18. 本小题分
如图，在平行四边形中，点是的中点，点，分别是，的三等分点设，．
用，表示，；
如果，，有什么位置关系？用向量方法证明你的结论．
19. 本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知．
若的面积等于，求，；
若，求的面积；
若，求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于项，因为，所以，故A项正确；
对于项，由单位向量的定义知，，故B项正确；
对于项，两个向量不能比较大小，故C项错误；
对于项，因为非零向量是自由向量，可以自由平行移动，故D项正确．
故选：．
2.【答案】
【解析】由，得，
则复数的虚部为．
3.【答案】
【解析】由平行关系可得，解得．
故选A．
4.【答案】
【解析】如图，三个正四棱柱的公共部分构成的多面体是外部六个全等的正四棱锥底面对接形状的多面体，该多面体有个面．

5.【答案】
【解析】根据题意，把直观图还原出原平面图形为平行四边形，如下图
其中：，，
故原平面图形的面积为．

6.【答案】
【解析】由余弦定理可知，
解得，
所以，
又，解得．
故选：．
7.【答案】
【解析】是与同向的单位向量，是与同向的单位向量，
若使成立，则与方向相同，选项中只有能保证．
故选C．

8.【答案】
【解析】解：由可得，
，
即，
展开可得，，
，
，
，
为等腰三角形．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：若，
则，
，，，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】如图
设四棱锥的底面边长为，四棱锥的高为，侧面三角形底边上的高为，
侧面三角形底边上的高与底面正方形边长的比值为，
即，
其中四棱锥的侧面积为，以该四棱锥的高为边长的正方形面积为，
则以该四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为：，
故选B．

11.【答案】
【解析】复数，则．

12.【答案】前 程
【解析】解：根据题意，几何体的表面展开平面图还原成长方体后，
长方体的前后两个面上分别是祝和前，上下两个面上分别是你和程，
左右两个面上分别是似和锦．
该几何体中与“祝”字面相对的是“前”字面，
与“你”字面相对的是“程”字面．
故答案为：前、程．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用向量的数量积求向量的模，属于中档题．
将两边平方展开可得，再计算的值，进而可得答案．
【解答】
解：因为，
则，
因为，，
所以，
所以，
可得．
故答案为．

14.【答案】
【解析】解：复数，在复平面上对应的点分别为，，
则，，
故．
故答案为：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：如图，
正方体的棱长为，、分别为、的中点，
，
故答案为：．
由题意画出图形，再由等体积法求三棱锥的体积．
本题考查利用等体积法求多面体的体积，是基础的计算题．
16.【答案】解：复数在复平面内对应的点位于第二象限，
，解得，
的取值范围是；
由题意得，
，
则，解得，
综上，可知．
【解析】根据复数的几何意义得到关于的不等式组，求出的取值范围即可；
根据复数的四则运算求出，结合复数相等的条件即可求解．
本题考查了复数的几何意义，考查复数的运算，是中档题．
17.【答案】解：，，
则，
故；
Ⅱ，，
则，
向量在向量上的投影向量的坐标为；
Ⅲ，
则，解得．
18.【答案】解：，
，
，证明：由得，，，
，
，
．
19.【答案】解：，
由余弦定理得，即，
，
，
联立解得；
，
由正弦定理得，
联立解得，；
，，
即，
联立解得，
．
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