河南省周口市沈丘县长安高级中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

沈丘县长安高中2022-2023学年度下期高二年级期中考试
数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若，则（ ）
A.2 B.2或3 C.3 D.4
2.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
3.某村镇道路上有10盏照明路灯，为了节约用电，需要关闭其中不相邻的4盏，但考虑行人夜间出行安全，两端的路灯不能关闭，则关灯方案的种数有（ ）
A.10 B.15 C.20 D.5
4.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
A. B. C. D.
5.设随机变量X的概率分布列如下表，则（ ）
X 1 2 3 4
P m
A. B. C. D.
6.一个袋子中100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球，从中不放回地随机摸出20个球作为样本，用随机变量X表示样本中黄球的个数，则X服从（ ）
A.二项分布，且 B.两点分布，且
C.超几何分布，且 D.超几何分布，且
7.如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.现给这5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种颜色可供选择，则恰用4种颜色的概率是（ ）
A. B. C. D.
8.若的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列问题中不属于排列问题的是（ ）
A.从10个人中选出2人去劳动
B.从10个人中选出2人去参加数学竞赛
C.从班级内30名男生中选出5人组成一个篮球队
D.从数字5 6 7 8中任取2个不同的数做中的底数与真数
10.已知事件A，B，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
11.下列说法中正确的是（ ）
A.将4个相同的小球放入3个不同的盒子中，要求不出现空盒，共有3种放法
B.被7除后的余数为2
C.若，则
D.抛掷两枚骰子，取其中一个的点数为点P的横坐标，另一个的点数为点P的纵坐标，连续抛掷这两枚骰子三次，则点P在圆内的次数的均值为
12.“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲发现早500年左右.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ）
A.在“杨辉三角”第6行中，从左到右第6个数是15
B.由“第行所有数之和为”猜想：
C.在“杨辉三角”中，从第1行起，前10行每一行的第2个数之和为66
D.存在，使得为等差数列
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知随机变量X服从正态分布，且，则____________.
14.设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占、、，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为和.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为，则推测丙车间的次品率为______.
15.甲 乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局，且每一局比赛甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终比赛的局数，若，则的最大值为__________.
16.的展开式中的系数为________________（用数字作答）.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.求值：（用数字作答）
（1） （2）
18.已知的展开式的二项式系数和为64.
（1）求的值；
（2）求展开式中二项式系数最大的项.
19.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”.求：
（1）“每个项目都有人报名”的报名情况种数；
（2）“四名同学最终只报了两个项目”的概率；
（3）.
20.某地区拟建立一个艺术博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层筛选，甲、乙两家建筑公司进入最后的招标.现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司可正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲、乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的.
（1）求甲、乙两家公司共答对2道题目的概率；
（2）设甲公司答对题数为随机变量X，求X的分布列、数学期望和方差；
（3）请从期望和方差的角度分析，甲、乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
21.某医药企业使用新技术对某款血夜试剂进行试生产.
（1）在试产初期，该款血液试剂的I批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检.已知该款血夜试剂在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.
①求批次Ⅰ的血液试剂经过前三道工序后的次品率；
②第四道工序中智能自动检测为次品的血液试剂会被自动淘汰，合格的血液试剂进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次Ⅰ的血液试剂智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）；
（2）已知某批次血液试剂的次品率为，设100个血液试剂中恰有1个为不合格品的概率为，求的最大值点.
22.2022年河南 陕西 山西 四川 云南 宁夏 青海 内蒙古8省区公布新高考改革方案，这8省区的新高中生不再实行文理分科，今后将采用“”高考模式.“”高考模式是指考生总成绩由全国统一高考的语文 数学 外语3个科目成绩和考生选择的3科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750分.“3”是三门主科，分别是语文 数学 外语，这三门科目是必选的；“1”指的是要在物理 历史里选一门，按原始分计入成绩；“2”指考生要在生物学 化学 思想政治 地理4门中选择2门，但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分.
（1）若按照“”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”的概率；
（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试 满分450分，并给前640名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布.
①考生甲得知他的成绩为260分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为210分，290分以上共有91人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；
②考生丙得知他的实际成绩为425分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为240分，360分以上共有91人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪.
附：，，
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长安中学2022-2023学年度下期高二年级期中考试数学试卷
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C D D C C C C ABC AC ACD BD
1.因为，则或，所以，或3.
2.因为，，所以.
3.采用插空法，让4盏需要关闭的灯插空，有种方法.
4.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：，，，，，，，共7种，故所求概率.
5.依题意，，即事件的对立事件是的事件，所以.
6.由于是不放回地随机摸出20个球作为样本，所以由超几何分布得定义得X服从超几何分布，所以.
7.若按要求用5种颜色任意涂色：
先涂中间块，有5种选择，再涂上块，有4种选择.再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块和右块均有3种选择；若下块与上块涂不同颜色，则下块有3种选择，左块和右块均有2种选择.则共有种方法.
若恰只用其中4种颜色涂色：
先在5种颜色中任选4种颜色，有种选择.先涂中间块，有4种选择，再涂上块，有3种选择.再涂下块，若下块与上块涂相同颜色，则左块有2种选择，为恰好用尽4种颜色，则右块只有1种选择；若下块与上块涂不同颜色，则下块有2种选择，左块和右块均只有1种选择.则共有种方法，故恰用4种颜色的概率是.
8.，，，，，
∵第6项的系数最大，∴，则.
9.A.从10个人中选出2人去劳动，与顺序无关，故错误；
B.从10个人中选出2人去参加数学竞赛，与顺序无关，故错误；
C.从班级内30名男生中选出5人组成一个篮球队，与顺序无关，故错误；
D.从数字5、6、7、8中任取2个不同的数做中的底数与真数，底数与真数位置不同，即与顺序有关，故正确.
10.对于A，由，故A正确；
对于B，由，故B错误；
对于C，D，由，，
则，故C正确；D错误.
11.对于A：选一个盒子放两个球，另外两个盒子放一个球，共有种放法，故A正确；
对于B，，展开式中只有最后一项不是7的倍数，所以被7除后的余数为5，故B错误；
对于C：在中，
令，得，令，得，
两式相加除以2，得，故C正确；
对于D：在一次抛掷两枚骰子的过程中，点P共有36种情况，其中在圆内的有，，，，，，，，共8种，所以掷这两枚骰子一次，点P在圆内的概率为.
因为，所以的均值为，故D正确，
12.对于A选项，在“杨辉三角”第6行中，从左到右第6个数是，A错；
对于B选项，由二项式系数的性质知，B对；
在“杨辉三角”中，当时，从第1行起，每一行的第2个数之和为，C错；
对于D选项，取，则，
因为，所以数列为公差为1的等差数列，D对.
13.0.14.
因为，所以，
因此.
14.
令A表示“取到的是一件次品”，，，分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然，，是样本空间S的一个划分，且有，，.由于，，设，
由全概率公式得：，而，故.
15.
依题可知，随机变量X的取值可能为2，3，
，，
所以，
而，所以当时，的最大值为.
16.
因为，
所以的展开式中含的项为，
的展开式中的系数为.
17.（1）.
（2）.
18.（1）由题意的展开式的二项式系数和为64，即，解得；
19.（2）因为，根据展开式中间项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为，
即.
19.（1）“每个项目都有人报名”，则必有两人报同一个项目，故此时报名情况有种；
（2）“四名同学最终只报了两个项目”，此时可先选出两个项目，
报名情况为分别有两人报这两个项目，或者一人报其中一个，另三人报名另一个项目，
故共有种报名情况，
则“四名同学最终只报了两个项目”的概率是；
（3）事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，有种报名方法，则，
事件B为“只有甲同学一人报关怀老人项目”，
若A，B同时发生，即恰有2名同学所报项目相同且只有甲同学一人报关怀老人项目，
则有种报名方法，则，故.
20.（1）记“甲、乙两家公司共答对2道题”的事件为A，它是甲乙各答对1道题的事件、甲答对2题乙没答对题的事件和，它们互斥，
则有，
所以甲、乙两家公司共答对2道题目的概率是.
（2）设甲公司答对题数为X，则X的取值分别为1，2，3，
，，，
则X的分布列为：
X 1 2 3
P
期望，方差.
（3）设乙公司答对题数为Y，则Y的取值分别为0，1，2，3，
，，
，，
则Y的分布列为：
Y 0 1 2 3
P
期望，
方差，
显然，，
所以甲公司竞标成功的可能性更大.
21.（1）①批次Ⅰ的血夜试剂经过前三道工序后的次品率为
，
②设批次Ⅰ的血夜试剂智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B，
由已知得，，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个血液试剂恰为合格品为事件，
.
（2）100个血液试剂中恰有1个不合格的概率，
因此，
令，得，
当时，；当时.
所以的最大值为.
22.（1）设事件A：选出的六科中含有“语文，数学，外语，历史，地理”，
从物理 历史里选一门，生物学 化学 思想政治 地理4门中选择2门的方案有种等可能情况，事件A即从剩余生物学 思想政治 化学三个科目中选择一个有种等可能情况，
所以.
（2）设此次网络测试的成绩.
①由题意可知，因为，
且，
即，，所以.
而，，
所以前640名学生成绩的最低分低于，而考生甲的成绩为260分，所以甲同学能够获得荣誉证书.
②（结果是开放的，只要学生的统计理由充分，即可得分，以下两种理由供参考）
若考生乙所说为真，则，
，
而，所以，从而.
理由1：根据统计学中的原则，即认为为小概率事件，即丙同学的成绩为425分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学所说为假.
理由2：，4000名学生中成绩大于420分的约有人，这说明4000名考生中，也会出现约5人的成绩高于420分的“极端”样本，由于样本的随机性，丙同学的成绩为425分也有可能发生，所以可认为乙同学所说为真.