浙江省七彩阳光联盟2022-2023学年高二下学期4月期中联考数学试题（含答案）

绝密★考试结束前
七彩阳光联盟2022-2023学年高二下学期4月期中联考
数学学科
考生须知：
1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知数列的前n项和为，则等于（ ）
A．32 B．45 C．51 D．56
2．如果直线：与直线：平行，那么实数t的值为（ ）
A．4 B．－4 C．4或－4 D．1或－4
3．若曲线在处的切线方程为，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
4．等差数列的公差不为0，其前n和满足，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．若正方形ABCD的边长为a，E，F分别为CD，CB的中点（如图1），沿AE，AF将△ADE，△ABF折起，使得点B，D恰好重合于点P（如图2），则直线PA与平面PCE所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数存在两个零点，则实数t的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知双曲线C：的左、右焦点为，，过的直线l分别交双曲线C的左、右两支于A、B．若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．已知，，，其中e是自然对数的底数，则a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数，．下列结论正确的是（ ），
A．函数不存在最大值，也不存在最小值 B．函数存在极大值和极小值
C．函数有且只有1个零点 D．函数的极小值就是的最小值
10．已知是数列的前n项和，．下列结论正确的是（ ）
A．若是等差数列，则 B．若是等比数列，则
C．若是等比数列，则公比一定为2 D．若是等比数列，则公比是2或－2
11．如图，棱长为2的正方体中，M为的中点，动点N在平面ABCD内的轨迹为曲线Γ．下列结论正确的有（ ）
A．当时，Γ是一个点
B．当动点N到直线，的距离之和为时，Γ是椭圆
C．当直线MN与平面ABCD所成的角为60°时，Γ是圆
D．当直线MN与平面所成的角为60°时，Γ是双曲线
12．已知抛物线C：的焦点为F，，是抛物线C上的两个不同的动点，点A关于x轴的对称点为A＇，抛物线C的准线交x轴于点P．下列结论正确的是（ ）
A．若直线AB过点F，则，且
B．若直线AB过点F，则P，A＇，B三点共线
C．若直线AB过点P，则，且
D．若直线AB过点P，则的最小值为4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应的横线上．
13．徐悲鸿的马独步画坛，无人能与之相颉颃．《八骏图》是徐悲鸿最著名的作品之一，画中刚劲矫健、剽悍的骏马，在人们心中是自由和力量的象征，鼓舞人们积极向上．现有8匹善于奔跑的马，它们奔跑的速度各有差异．已知第i（i等于1，2，…，6，7）匹马的最长日行路程是第i＋1匹马最长日行路程的1.1倍，且第8匹马的最长日行路程为500里，则这8匹马的最长日行路程之和为 里．（取）
14．如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，，AP与AB，AD的夹角都是60°，若M是PC的中点，则直线MB与AP所成角的余弦值为 ．
15．已知椭圆：和双曲线：的焦点相同，，分别为左、右焦点，M是椭圆和双曲线在第一象限的交点．已知，双曲线的离心率为2，则椭圆的离心率为 ．
16．若函数极值点为，则的值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知的展开式中所有项的二项式系数和为128，各项系数和为－1．
（1）求n和a的值；
（2）求的展开式中的常数项．
18．（12分）
盒子中有2个不同的白球和3个不同的黑球
（1）若将这些小球取出后排成一排，使得黑球互不相邻，白球也不相邻，共有多少种不同的排法？
（2）随机一次性摸出3个球，使得摸出的三个球中至少有1个黑球，共有多少种不同的摸球结果？
（3）将这些小球分别放入另外三个不同的盒子，使得每个盒子至少一个球，共有多少种不同的放法？
（注：要写出算式，结果用数字表示）
19．（12分）
已知等差数列满足，且，，成等比数列．
（1）求的通项公式；
（2）设，的前n项和分别为，．若公差为整数，且，求．
20．（12分）
如图，三棱柱的体积为，侧面是矩形，，，且已知二面角是钝角．
（1）求的长度；
（2）求二面角的大小．
21．（12分）
已知双曲线C：的离心率为，点在双曲线C上．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若点A，B在双曲线C的左、右两支上，直线PA，PB均与圆O：相切，记直线PA，PB的斜率分别为，，△ABP的面积为S．
①是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
②已知圆O的面积为，求S．
22．（12分）
已知函数，，．
（1）当时，求函数的单调性；
（2）若不等式对任意的恒成立，求a的取值范围．
七彩阳光联盟2022-2023学年高二下学期4月期中联考
数学学科参考答案暨评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A D C A C B C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
题号 9 10 11 12
答案 BCD AB ACD ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中对应的横线上．
13．5700 14． 15． 16．1
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（1）
∵由条件可得，
∴解得．
（2）．
∵展开式的通项为：
．
∴①当即时，；
②当即时，；
∴所求的常数项为．
18．
（1）“黑球互不相邻，白球也不相邻”即：黑球排在1，3，5位置，白球排在2，4位置；
分两步：先排黑球，再排白球，∴，共有12种不同排法．
（2）分三类：①“1黑2白”：；②“2黑1白”：；③“3黑”：．
∴，共有10种不同的摸球结果
（3）先分组再分配．
分两类：①“1＋1＋3”型：；②“1＋2＋2”型：．
∴，共有150种不同的放法．
19．
（1）设等差数列的公差为d．
∵
∴
∵，，成等比
∴
∴
∴
解得或
∴当时；
当时；
∴或．
（2）取，所以
∴
∴．
∴
．
20．（1）∵，且，
∴AC⊥平面，
∵，
∴平面，
∴，
∴．
∵可知二面角的平面角是钝角，
∴作垂直BC的延长线于H
∵可得，且，
∴平面ABC，
∴，
∴，
∴中，
∴
∴．
∵中，，，
∴由余弦定理可求得．
∴．
（2）以C为坐标原点，以CA、CB分别为x、y轴，过C作平面BAC的垂线作为z轴，建立空间直角坐标系．
∵，，，，
∴，
∴可得平面的法向量为．
又可知平面的法向量为．
设所求角为θ，
∵可知所求二面角为锐角，
∴，
∴二面角为
【其他正确解法，同样酌情给分】
21．
（1）∵，解得，
∴双曲线C的方程为．
（2）设过点P的直线l的方程为
∵当直线l与圆O相切时，有，
转化整理为：．（※）
①∵，是（※）方程的两个根，∴为定值．
②∵圆O的面积为，
∴，代入（※）方程，可求得，．
∴直线PA，PB的方程分别为和，
∵，
∴
同理，
∴．
∴，．
设PA，PB切圆O于M，N，则
∴，
∴，
∴，
∴．
22．
（1）时，，定义域为．
∵，
∴
∴
∴在上递增，在上递减，
∴．
∴在定义域内单调递减
【另解】：
∵（切线不等式），
∴
∴恒成立，
∴在定义域内单调递减．
（2）将整理、转化为：
对任意的恒成立，（※）
设，
∵，∴
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴．
∴（※）转化为，
即对任意的恒成立．
设，其中，则．
∵对任意的恒成立，
∴在时单调递增
∴，
∴
∴．
∴所求范围为