四川省峨眉山市2022-2023学年高一下学期4月月考数学试题（含解析）

峨眉山市2022-2023学年高一下学期4月月考
数学试题
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教 A版必修第一册第五章至必修第二册第七章。
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在平行四边形ABCD中，（ ）
A. B. C. D.
2.设，其中a b为实数，则（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.下列函数为偶函数且在上为减函数的是（ ）
A. B.
C. D.
4.已知，，三点共线，则（ ）
A. B. C. D.2
5.已知a，b c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且，则△ABC是（ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.钝角三角形
6.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
7.如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时海里，在A处看灯塔S在船的北偏东的方向上.1小时后，船航行到B处，在B处看灯塔S在船的北偏东的方向上，则船航行到B处时与灯塔S之间的距离为（ ）
A.海里 B.海里 C.海里 D.海里
8.已知复数是关于的方程的一个根，若复平面内满足的点的集合为图形，则围成的面积为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，井20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知复数，，则（ ）
A. B.的共轭复数为
C.复数对应的点位于第二象限 D.复数为纯虚数
10.在△ABC中，，，，，E为AC的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
11.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，若，，，满足此条件的三角形只有一个，则x的值可能为（ ）
A. B.2 C. D.3
12.已知函数，则（ ）
A.的图象关于直线对称
B.的图象关于点对称
C.既是周期函数又是奇函数
D.的最大值为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的最小正周期为__________，最小值为__________.（本题第一空3分，第二空2分）
14.已知函数的图象关于点对称，则__________.
15.已知M为线段AB上的任意一点，O为直线AB外一点，A关于点O的对称点为C，B关于点C的对称点为D，若，则________.
16.如图，某公园内有一个边长为12m的正方形ABCD区域，点M处有一个路灯，，，现过点M建一条直路分别交正方形区域两边AB，BC于点P和点Q，若对五边形APQCD区域进行绿化，则此绿化区域面积的最大值为________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知复数.
（1）若z为实数，求m的值；
（2）若z为纯虚数，求m的值；
（3）若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，求m的取值范围.
18.（12分）
已知平面向量，，，且.
（1）求的坐标；
（2）求向量在向量上的投影向量的模.
19.（12分）
已知角的始边为轴非负半轴，终边过点.
（1）求的值；
（2）已知角的始边为轴非负半轴，角和的终边关于轴对称，求的值.
20.（12分）
赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）.类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形.已知.
（1）证明：F为AD的中点.
（2）求向量与夹角的余弦值.
21.（12分）
如图，在平面四边形ABCD中，，.
（1）若，，，求△ACD的面积；
（2）若，，求的最大值.
22.（12分）
已知函数的部分图象如图所示.
（1）求的解析式；
（2）将函数图象的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，若在区间上无零点，求正数的取值范围.
高一数学试题参考答案
1.D 【解析】本题考查平面向量的减法，考查直观想象的核心素养.
.
2.C 【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养.
因为a，，，所以，，解得，.
3.C 【解析】本题考查函数的性质，考查数形结合的数学思想.
根据函数的图象易知为偶函数且在上为减函数，故选C.
4.C 【解析】本题考查三点共线，考查数学运算的核心素养.
由题可知，，因为A，B，C三点共线，所以，即.
5.D 【解析】本题考查解三角形，考查化归与转化的数学思想.
由余弦定理得，整理得，所以，即A为钝角，所以△ABC是钝角三角形.
6.A 【解析】本题考查函数的性质，考查逻辑推理的核心素养.
由题意知，，故.
7.B 【解析】本题考查解三角形的实际应用，考查直观想象的核心素养.
由题意得，在△ABS中，，，.
由正弦定理有，代入数据得，解得.
因为，所以，（海里）.
8.A 【解析】本题考查复数的应用，考查直观想象的核心素养.
由题可知，则，所以，解得，由，可得，所以围成的图形是半径为1的圆，其面积为.
9.AD 【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养.
由于，，故A正确；的共轭复数为，故B错误；，复数对应的点位于第四象限，故C错误；为纯虚数，故D正确.
10.BD 【解析】本题考查平面向量的运算，考查直观想象的核心素养.
因为，所以，故A错误；由向量加法的三角形法则，可得，故B正确；，故C错误；，故D正确.
11.ABC 【解析】本题考查解三角形，考查化归与转化的数学思想.
由正弦定理得，则，又，且满足条件的三角形只有一个，即x有唯一的角与其对应，所以，故.故选ABC.
12.ABD 【解析】本题考查函数图象及其性质，考查化归与转化的数学思想.
因为，所以的图象关于直线对称，正确；因为，所以的图象关于点对称，B正确；，所以C错误；令，则当时，，当时，，当1时，取得最大值正确.
【解析】本题考查三角函数的图象，考查直观想象的核心素养.
的最小正周期，最小值为-3.
14. 【解析】本题考查正切函数，考查数学运算的核心素养.
因为的图象关于点对称，所以，所以，因为，所以.
15. 【解析】本题考查平面向量的基本定理，考查逻辑推理的核心素养.
因为A关于点O的对称点为C，所以.
又B关于点C的对称点为D，所以.
又，所以.
因为A，B，M三点共线，所以，即.
16.120 【解析】本题考查三角形的面积，考查逻辑推理的核心素养.
设，，因为，所以，即，所以，可得，所以三角形BPQ面积的最小值为，又因为正方形ABCD的面积为，所以五边形APQCD面积的最大值为.
17.解：（1）若z为实数，则，所以或.
（2）若z为纯虚数，则所以.
（3）若复数z在复平面内所对应的点位于第四象限，则解得得，所以m的取值范围为.
18.解：（1）设，因为，所以.
又，
解得，，所以.
（2），
所以，
则向量在向量上的投影向量的模为.
19.解：（1）由题可知，则.
（2）由题可知，
由（1）可知，
所以
20.（1）证明：因为，所以.
又因为，
所以，
所以，即E为CF的中点，
所以F为AD的中点.
（2）解：设，，
所以，则，
所以.
又，
所以向量与夹角的余弦值为.
21.解：（1）在△ABC中，.
因为，所以，
所以△ACD的面积.
（2）设，，
则，.
在△ABC中，，
则，
在△ACD中，，则，
所以，
当时，取得最大值.
22.解：（1）因为，可得，
因为在处附近单调递增，所以，
所以，因为，所以
因为在处附近单调递减，且当时，在处的第一次取值为，所以，可得.
即.
（2）将图象的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，可得到的图象，
再把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，
则，因为，
所以
则，解得
由，可得，即正数的取值范围为.