湖南省长沙麓山名校2022-2023学年高二下学期期中考试数学试题（含解析）

长沙麓山名校2022-2023学年高二下学期期中考试
数学
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题：，的否定是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
4.为了发展学生的兴趣和个性特长，培养全面发展的人才.某学校在不加重学生负担的前提下.提供个性、全面的选修课程.为了解学生对于选修课《学生领导力的开发》的选择意愿情况，对部分高二学生进行了抽样调查，制作出如图所示的两个等高条形图，根据条形图，下列结论正确的是（ ）
甲 乙
A.样本中不愿意选该门课的人数较多
B.样本中男生人数多于女生人数
C.样本中女生人数多于男生人数
D.该等高条形图无法确定样本中男生人数是否多于女生人数
5.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
6.2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足.若人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，且，为偶函数，若，则（ ）
A.116 B.115 C.114 D.113
8.若定义在上的函数的导函数为，且，，则下列不等关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.下列命题正确的是（ ）
A.若甲、乙两组数据的相关系数分别为0.66和，则乙组数据的线性相关性更强；
B.在检验与是否有关的过程中，根据数据算得，已知，，则有的把握认为与有关，
C.已知随机变量服从正态分布，若，则；
D.在回归分析中，残差平方和与决定系数都可以用来刻画回归的效果，它们的值越小，则模型的拟合效果越好.
10.下列选项中，与的值相等的是（ ）
A. B.
C. D.
11.若，则（ ）
A. B.
C. D.
12.若两曲线与存在公切线，则正实数的取值可以是（ ）
A.1 B. C. D.
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.在平面直角坐标系中，角是以为顶点，轴为始边，若角的终边过点，求______.
14.若为奇函数，则实数______.
15.方程的两根都大于2，则实数的取值范围是______.
15.已知函数，对任意的，恒成立，则的取值范围是______.
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（10分）已知集合，.
（1）求，；
（2）若集合，且，求实数的取值范围.
18.（12分）已知，.
（1）求的值；
（2）若，且，求的值.
19.（12分）已知函数在处的极值为10.
（1）求，的值；
（2）求函数在上的值域.
20.（12分）已知，.
（1）若.求证：；
（2）若，求的最小值.
21.（12分）目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写为BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是.临床医学给出中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖.某公司为了解员工的身体质量指数，研究人员从公司员工体检数据中，抽取了8名员工（编号1~8的身高和体重数据，并计算得到他们的值（精确到0.1）如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高 164 176 ◎ ◎ ◎ ◎ 168 182
体重 60 72 77 54 ◎ ◎ 72 55
22.3 23.2 28.3 20.3 23.5 23.7 25.5 16.6
（1）现从这8名员工中选取2人进行复检，记抽取到值为“正常”员工的人数为，求的分布列及数学期望；
（2）某调查机构分析发现公司员工的身高和体重之间有较强的线性相关关系，在编号为3、4、5、6的体检数据丢失之前调查员甲已进行相关的数据分析，并计算得出该组数据的线性回归方程为，且根据回归方程预估一名身高为180cm的员工体重为71kg.计算得到的其他数据如下，.
（1）求的值及表格中8名员工体重的平均值；
（2）在数据处理时，调查员乙发现编号为8的员工体重数据有误，应为63kg，身高数据无误.请你根据调查员乙更正的数据重新计算线性回归方程，并据此预估一名身高为180cm的员工的体重.
（附：对于一组数据，，……，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，）
22.（12分）已知函数
（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）若函数有两个极值点为，，且，若恒成立，求实数的取值范围.
数学参考答案
1.A 2.D 3.D
4.B【详解】对于A，由图乙可知，样本中男生，女生都大部分愿意选择该门课，则样本中愿意选该门课的人数较多，A错误；
对于BCD，由图甲可知，在愿意和不愿意的人中，都是男生占比较大，
所以可以确定，样本中男生人数多于女生人数，B正确，CD错误.故选：B.
5.C【详解】已知，且，则，
则，
则.故选：C.
6.B【详解】设人交谈时的声强为，则火箭发射时的声强为，
则，解得：，
则火箭发射时的声强为，将其代入中，
得：，故火箭发射时的声强级约为.故选：B
7.C【详解】由，得，
即，所以，
所以函数的周期为4，又为偶函数，则，
所以，所以函数也为偶函数，
又，所以，，
所以，又，即，所以，
又，，∴
所以
故选：C.
8.C【详解】令，，则，
因为，所以在上恒成立，
因此函数在上单调递减，故，
即，即，故A错；
又，所以，所以在上恒成立，
因为，所以，故B错；
又，所以，即，故C正确；
又，所以，即，故D错误.故选：C.
9.AC【详解】A：由知：乙组数据的线性相关性更强，正确；
B：由，即，则有的把握认为与有关，错误；
C：由已知：随机变量的分布曲线关于对称，故，正确；
D：残差平方和越小，模型的拟合效果越好，但决定系数越大，模型的拟合效果越好，错误.故选：AC
10.BC
【详解】因为，A.，故错误；
B.，故正确；
C.，故正确；
D.，故错误；故选：BC.
11.AB【详解】对于选项A：∵，且，∴，∴，
∴，故A正确；
对于选项B：∵，且，∴，故B正确；
对于选项C：∵，当，则，故C错误；
对于选项D：设，，，则，故D错误；故选：AB.
12.AB【详解】设两曲线与的两个切点分别为，，
由可得；由可得，
则过两切点的切线方程分别为，
化简得，.
因为两条切线为同一条，所以，解得.
令，
令，得，当时，；
当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，则，
所以.故选：AB.
13.【详解】解：∵角的终边过点，∴，，
∴.
故答案为：
14.1【详解】若为奇函数，则，
故，解得.
故答案为：1.
15.【详解】解：由题意，方程的两根都大于2，
令，
可得，即，解得.
故答案为：.
16.【详解】当时，不符合题意.
当时，则，即，
设，则恒成立，故在上单调递增.
因为，，所以.因为，即，
所以，所以，
所以.设，则.
由，得，由，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
故，即的取值范围是.
故答案为：
17.【详解】（1）解不等式，即，
解得或，
则，
所以
而，则
（2）由（1）知，，因，
当，即，时，满足，则
当时，，解得，
所以实数的取值范围是
18.【详解】（1）∵，
∴，解得
∴；
（2）∵，且，∴
∴，
∴
，
又，
∴，∴.
∴
又∵，∴
19.【详解】（1）
由题意知，即，
解得：或
而要在能取到极值，则，故舍去，
∴，
（2）由（1）知，
令得或
当时，，函数是减函数，
当时，，函数是增函数，
∴时，函数取得最小值，
而，，
∴函数在上的值域为
20.【详解】（1）由，所以.
所以
，
当且仅当，，，时取等号，
即，由此得证.
（2）依题意，，
所以，当且仅当时等号成立，
整理得，解得，
所以的最小值为4
21.（1）解：依题意8名员工数值为“正常”的人有5人，
记抽取到正常的人数为，则的可能取值为0、1、2，
则，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
所以
（2）解：（1）由预估身高180cm的体重为71kg，则
故
（2）由（1）的更正前的数据，
由，
得
更正后的数据，
所以，，
所以，
故，
更正后该组数据的线性回归方程为
当时，，
所以重新预估一名身高为180cm的一个的体重约为71.4kg.
22.【详解】（1）法一：由题意得恒成立，
设，则，
设函数，则，
所以函数单调递增，，
即，函数单调递增，，
故；
法二：当时，，
设，则
∵，∴，为增函数，
∴，∴在区间上递增，
∴，故满足题意；
当时，不满足题意；
综上，
（2）因为，
∴方程有两个不相等的实根，，
且，，
又，
所以
，
令，，
则，
即，为递减函数，
∴，所以.